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专题12 巧解最值 坐标几何
【2024扬州高三期末第8题】在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则OC的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
利用托勒密定理，结合长度关系列出不等式直接求解.
由已知，．设．
在四边形OACB中，应用托勒密定理得，
即，，当且仅当点D，A，C，B共圆，
即时，等号成立．
（2018·全国·高三竞赛）
1．半径为的内含于半径为的，已知存在一个四边形外切于且内接于．则的最小值是．
A． B． C． D．
（2021·北京·高三强基计划）
2．在圆内接四边形中，，则四边形的面积是 ．
（2018·全国·高三竞赛）
3．设内接于单位圆，且圆心在的内部．若在边、、上的射影分别为点、、，求的最大值．
根据图形关系得到全等三角形，进而结合点的运动得到线段取最值的情况.
如图，不妨假设固定，在圆上移动，
点绕逆时针旋转到，连接OA，OE，AE，CE，BE，则，
易知，所以，所以，
当点移动到使O，E，C三点共线时取到最大值，即，则的最大值为．
利用几何变换的方法得到点的轨迹进而得到线段最值.
设圆O与y轴正半轴交于点P，不妨设，连结PA，PC，AC．
将绕点A顺时针旋转45°，并将边长扩大为原来的倍，得到，
则与P重合，与C重合．
由中，可得，
即点C在以点P为圆心，为半径的圆上．
∴．
利用全等三角形，结合坐标运算得到点的轨迹方程，结合圆的知识得到所求线段长度最值.
设，不妨设
如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作BE的垂线，交BE于点F．
由，可得点，则
点C在圆上．．
（2023上·全国·高二专题练习）
4．已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上
(1)求圆心为的圆的标准方程；
(2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程．
（2024上·吉林·高二长春市第二实验中学校联考期末）
5．若平面内两定点间的距离为2,动点满足,则的最大值为 .
利用全等三角形，结合坐标运算得到线段长度表达式，结合三角换元与三角函数知识得到线段长度最值.
设，不妨设
如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作BE的垂线，交BE于点F．
由，可得点，又，，
设，
利用圆的几何性质，得到各线段长度，利用三角换元与三角恒等变换得到最值.
圆的圆心（0，0），半径为2，如图，
令，则，令，
则
在三角形中根据余弦定理得到线段长度表达式，结合三角换元与三角恒等变换知识得到最值.
在中，
，
令
．
（2023下·江苏南通·高一统考期中）
6．正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
利用直角三角形得到变量的关系，进而结合基本不等式求解最值.
设到直线AB的距离为，则，
．
，当且仅当时，等号成立．
（2022上·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考期末）
7．在中，角，角A的平分线AD与BC边相交于点D，则的最小值为 .
根据题意得到线段线性关系，通过平方将向量关系转化为数量关系，结合三角换元与三角恒等变换知识计算出线段长度最值.
作于，则为AB的中点．
设，则，
．
令，
则
．
，当，即时，等号成立．
的最大值为
（2022·江苏盐城·模拟预测）
8．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
（2023下·吉林长春·高二长春十一高校考期末）
9．已知，，的夹角为.如图所示，若，且D为BC的中点，则的长度为（ ）

A． B． C．7 D．8
（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）
10．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，点D在边BC上，且，则线段AD长度的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
（2024·广东茂名·统考一模）
11．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求的值；
(2)若为的中点，且，求的最小值.
（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）
12．已知为直线上一点，过点作圆的切线（点为切点），为圆上一动点． 则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2024上·广西北海·高二统考期末）
13．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全国·模拟预测）
14．如图所示，面积为的扇形OMN中，M，N分别在x，y轴上，点P在弧MN上（点P与点M，N不重合），分别在点P，N作扇形OMN所在圆的切线交于点Q，其中与x轴交于点R，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．2
（2023上·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）
15．已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于两点，为的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（ ）
A．12 B．24 C．27 D．36
（2023下·河南安阳·高三校联考阶段练习）
17．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．若D是BC边的中点，且，则面积的最大值为（ ）
A．16 B．
C． D．
（2023·新疆·校联考模拟预测）
18．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量 画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2024上·辽宁·高二辽宁实验中学校联考期末）
19．正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（ ）
A．24 B．25 C．48 D．50
（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）
20．已知正三角形ABC的边长为2，点D为边BC的中点.若内一动点M满足.则下列说法中正确的有（ ）
A．线段BM长度的最大为 B．的最大值为
C．面积的最小值为 D．的最小值为
（2023上·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）
21．已知点在半径为的球面上,过点作球的两两垂直的三条弦若则的最大值为 ．
（2022上·北京海淀·高二清华附中校考期中）
22．在平面直角坐标系xOy中，定点，点B为曲线上的动点．则线段AB长度的最小值是 ；若第一象限存在点C，使得为等腰直角三角形，且，则线段OC的最大值为 ．
（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）
23．设是平面内的两条互相垂直的直线，线段AB，CD的长度分别为2，10，点A，C在a上，点B，D在b上，若M是AB的中点，则的取值范围是 ．
（2024·贵州·校联考模拟预测）
24．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【详解】记四边形的面积为，半周长为，，的面积分别为.
又四边形有内切圆与外接圆，则.
故，
且，.
再由，类似有.
故.
根据托勒密定理得.
则. ①
又.
由式①、②得，所以， .
当且仅当时，上式等号成立.此时，四边形为正方形. 选D.
2．
【分析】利用托勒密定理可求，从而可求四边形的面积.
【详解】如图，连结．
根据题意，有且，
则由托勒密定理可得，
即，
于是，进而．
故答案为：
3．
【详解】如图，因为，，所以，、分别是、的中点，，且、、、四点共圆．
由托勒密定理有，即．
同理，，．
注意到（的外接圆半径），以上三式相加得
．
设的内切圆半径为，则．
以上两式相加得．
从而，．等号在为正三角形时成立．
故的最大值为．
4．(1)
(2)
【分析】（1）由和的坐标，求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为，求出线段垂直平分线的斜率，再由和的坐标，利用线段中点坐标公式求出线段的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率，得出线段垂直平分线的方程，与直线联立组成方程组，求出方程组的解集得到圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可.
（2）设出和的坐标，由中点坐标公式把的坐标用的坐标表示，然后代入圆即可得到答案．
【详解】（1）因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为
又弦的中点坐标为，
所以弦的垂直平分线的方程为，即，
与直线联立解得：，，
所以圆心坐标为所以圆的半径，
则圆C的方程为：；
（2）设，线段的中点为，，为中点，
所以，则，①；
因为端点在圆上运动，所以，
把①代入得：，
所以线段的中点M的轨迹方程是.
5．
【分析】通过建立平面直角坐标系,根据距离公式可得出点的轨迹方程为圆,根据圆的几何性质得的最大值,再代入运算即可.
【详解】设,,由得即,
则
由圆的几何性质可知
所以即最大值为.
故答案为:.
6．D
【分析】
设为外接圆的圆心，结合垂径定理和正弦定理，可得，再由极化恒等式推出，于是问题转化为求的取值范围，然后结合三角函数知识与余弦定理，即可得解．
【详解】
解：设为外接圆的圆心，
因为，所以，
当弦的长度最短时，，
在中，由正弦定理知，外接圆半径，即，
所以，
因为，即，
所以，
因为点为线段上的动点，
所以当点与点重合时，；
当点与点重合时，，
在中，由余弦定理知，
，
所以，
综上，，
所以．

故选：D．
7．16
【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】依题意，，设，
依题意是角A的角平分线，，

由三角形的面积公式得，
整理得，则，
所以
.
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用三角形面积得到，从而得解.
8．D
【分析】本题通过正弦定理得到，再通过余弦定理得到，对向量式整理得，通过平方，将向量关系转化为数量关系即，利用基本不等式即可求解.
【详解】解：由及正弦定理，
得，即，
由余弦定理得，，∵，∴．
由，，
两边平方，得
即
，
当且仅当，即时取等号，即，
∴线段CD长度的最小值为．
故选：D．
9．A
【分析】由为的中线，则，再根据进行数量积的运算便可求解.
【详解】在中，D为BC的中点，所以，
又，
所以，
所以，
即的长度为.
故选：A.
10．B
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换求出，再借助平面向量运算及均值不等式求解作答.
【详解】在中，由及正弦定理得：，
则，整理得，
而，于是，两边平方得：，
而，，解得，因为点D在边BC上，且，
有，因此，
从而
，当且仅当时取等号，
所以当时，线段AD的长度取得最小值.
故选：B
【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角以及利用两角和的正弦公式化简，可得的值，即可求得答案.
（2）由题意可得，平方后结合数量积的运算以及基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由正弦定理及，
得，
又，
所以，
又，∴，∴，即，
又，∴.
（2）由为的中点，得，而，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
12．B
【分析】连接，可得，得到，结合直角三角形的性质和勾股定理，求得，，得到最小时，同时取得最小值，即可求解.
【详解】如图所示，连接，可得，且垂足为
要使得取得最小值，
即，
又由，
，
显然，当最小时，同时取得最小值，
所以，当时，且，
所以.
故选：B.
13．D
【分析】设，根据条件得到，从而将问题转化成与圆有交点，再利用两圆的位置关系即可求出结果.
【详解】设，则由，得到，
整理得到，又点在圆上，所以与圆有交点，
又的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
所以，解得，
故选：D.
14．B
【分析】利用扇形面积公式求出扇形所在圆半径，设，用的函数表示，再利用三角变换，结合基本不等式求解即得.
【详解】由扇形的面积为，得，解得，设，
在中，，连接OQ，则，
在中，，，
令，则，且，则
，
当且仅当，即时取等号，而，
所以时，取得最小值．
故选：B
【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.
15．A
【分析】利用数形结合方法与转换法，从而可求解.
【详解】因为，所以设，的方程为：，具体如下图所示：
连接，因为，直线与相切，所以，，连接，
因为为的中点，所以，设，，则；
当点和点在轴同侧时可得：
，
又因为，所以，当时有最大值，
所以：的最大值为：；
当点和点在轴异侧时可得：
，
又因为，所以，当时有最大值，
所以：的最大值为：.
综上可知：则的最大值为：.
故选：A.
16．A
【分析】
先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得，再利用等面积法结合基本不等式即可得解.
【详解】因为，
所以，即，
所以，
又因，所以，
由，得，
所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
17．B
【分析】首先根据题意利用余弦定理得到，根据是边BC的中点得到，从而得到，再利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，由正弦定理得，
所以，，
因为，所以.
因为是边BC的中点，所以，.
因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以，即面积最大为．
故选：B
18．D
【分析】
作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.
【详解】由题图（2）得，圆形木板的直径为.
设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示.
由且可得，
在中，由正弦定理得，解得.
在中，由余弦定理，得，
所以，，
即，可得，当且仅当时等号成立.
在中，，
由余弦定理可得
，
即，即，当且仅当时等号成立，
因此，这块四边形木板周长的最大值为.
故选：D.
19．D
【分析】先由,再由，推出，，,再由向量的数量积的计算公式得到，结合基本不等式，即可求解结果.
【详解】因为正四面体的棱长为，
所以，
同理可得,,
又因为以A为球心且半径为1的球面上有两点M，N，,
所以，
由，则
因为，所以
当且仅当取等号，
此时，
所以
故的最小值为.
故选：D
20．BD
【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，再根据圆上得点到定点和定直线的距离的最值问题即可判断AC；由即可判断B；取最小值时，取最大值，也即与圆相切时，即可判断D.
【详解】如图，以点为原点建立平面直角坐标系，
则，设，
由，得，
化简得，
故动点的轨迹是一个以圆心为，半径的圆不含原点，
A项：，所以，故A错误；
B项：
，故B正确；
C项：直线，即，
圆心到直线的距离为，
则点到直线的距离的最小值为，
所以面积的最小值为，故C错误；
D项：由题意得为锐角，
则取最小值时，取最大值，
也即与圆相切时，
此时，
故，故D正确.
故选：BD.

【点睛】关键点点睛：以点为原点建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，是解决本题的关键.
21．
【分析】根据条件得到设结合三角函数辅助角公式求出的最大值即可.
【详解】为直径为的球的三条两两垂直的弦,且
设
其中
的最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查多面体的外接球问题,考查了转化思想,属中档题.
22． 1 ##
【分析】设，，，运用两点的距离公式三角函数的性质和两直线垂直的条件，可得，的方程，解方程可得的坐标，运用两点的距离公式，化简整理，运用正弦函数的值域，即可得到所求最大值.
【详解】曲线是以为圆心，1为半径的上半圆，
可设，，
则(当时取得最小值)；
设，
由等腰直角三角形，可得，即有
即，①
，即有，
即为，②
由①②解得，，
或，（舍去）．
则，
当，即，取得最大值．
故答案为：1；.
23．
【分析】设直线与直线的交点为，线段的中点为，由条件确定点的轨迹，结合数量积的运算求的取值范围.
【详解】设直线与直线的交点为，
因为M是AB的中点，，
所以，故点在以为圆心，半径为的圆上，
设线段的中点为，，
所以，故点在以为圆心，半径为的圆上，
因为，，
所以，
又，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.

24．32
【分析】由双曲线的定义结合三角形两边之和大于第三边的相关性质得的最小值为，，结合基本不等式即可求得最值.
【详解】题意得，故，如图所示，
则，
当且仅当M，，N三点共线时两个等号同时成立，
所以的最小值为，所以，即，
当且仅当时，等号成立，
而到渐近线的距离，
又，故，
所以，
即面积的最大值为32.
故答案为：32.
答案第1页，共2页
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