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专题5 投影向量的求解
（广西南宁市2024届高中毕业班摸底测试）已知的外心为，且，向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
利用数量积的公式变形得到投影向量的计算公式，代入公式进行求解.
∵的外心为M且，∴，
又，∴为正三角形，
以为平同基底，∴，
在方向上的投影向量为
.
1．已知空间向量满足，则在上的投影向量（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，且与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
利用投影向量的几何定义，结合的几何性质求出在方向上的投影向量.
∵，∴M为AC的中点，
又∵M为的外心，∴是以B为直角的，
又∵，∴如图所示，
∴在方向上的投影向量为，
故选：A.
3．己知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为 .
通过建立平面直角坐标系，将投影向量的计算转化为相应的坐标运算，求出在方向上的投影向量.
∵，∴M为AC的中点，
又M为的外心，∴且，
又，∴，∴，
如图：以B为坐标原点，BC、BA分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则，
∴，
∴在方向上的投影向量为
.
故选：A
5．已知向量，，则在方向上的投影向量是 .
6．向量，，则在上的投影向量为 ．
7．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．已知外接圆的圆心为，且，，是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
9．已知、为单位向量且夹角为，设，，则在上的投影向量为 ．
10．设向量在向量上的投影向量为，则 ．
11．已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量的坐标为 .
12．如图，在斜坐标系中，O为坐标原点，x轴y轴相交成角，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为向量的坐标，记作，在此坐标系中，已知向量，，则向量在上的投影向量的坐标为 ．

13．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
14．已知向量，若在方向上的投影向量为，则的值为 .
15．已知平面向量 均为非零向量，且满足 ，记向量 在向量 上投影向量为，则 k = ．(用数字作答)
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】平方得到，计算，再计算投影向量得到答案.
【详解】，，故，
在上的投影向量为.
故选：C.
2．A
【分析】先求出数量积，再根据投影向量公式求解即可.
【详解】因为，，且与的夹角为，
所以，
所以在上的投影向量为.
故选：A
3．A
【分析】连接、，推导出四边形为菱形，设，则为的中点，且，再利用投影向量的定义可得结果.
【详解】连接、，

因为，则，所以，且，
又因为，则四边形为菱形，
设，则为的中点，且，
因此，在上的投影向量为，
故选：A.
4．
【分析】根据条件作图可得为直角三角形，结合条件，并根据投影向量的概念求解即可.
【详解】由知为中点，又为外接圆圆心，，，，
，，，
∴在向量上的投影为：，
向量在向量上的投影向量为：．
故答案为：.
5．##
【分析】根据在方向上的投影向量的公式计算即可.
【详解】因为向量，，
则在方向上的投影为，
所以在方向上的投影向量是，即
故答案为：
6．
【分析】用在方向上的投影乘以与同向的单位向量可得结果.
【详解】在方向上的投影向量为
故答案为：
7．B
【分析】由已知可求出，再利用投影向量的计算公式，可得答案.
【详解】由，则，
，则，
则向量在向量上的投影向量为.
故选：B
8．A
【分析】首先根据已知条件化简可得，则为圆的直径，即点O为中点，得为等边三角形，最后结合投影向量的定义即可求解.
【详解】因为，即，
则，
整理得，即，则为圆的直径，
又因为，则为等边三角形，即，
所以在上的投影向量为.
故选：A.

9．
【分析】求出、的值，利用投影向量的定义可求得在上的投影向量.
【详解】因为、为单位向量且夹角为，且，，
则，
所以，，且，
所以，在上的投影向量为.
故答案为：.
10．1
【分析】利用向量在向量上的投影向量计算公式建立方程，解出即可.
【详解】向量在向量上的投影向量为
，则，解得．
故答案为：
11．
【分析】直接根据向量的投影公式求解即可
【详解】因为，所以，
则在方向上的投影为.
故答案为：.
12．
【分析】求出，由给定的定义用表示，再利用向量的线性运算，结合投影向量的意义求解作答.
【详解】依题意，，，，，
，，
因此向量在上的投影向量.
故答案为：
13．
【分析】由向量的坐标求出在方向上的投影，进而求在方向上的投影向量的坐标即可.
【详解】因为，，
所以，，
所以在方向上的投影为：.
设在方向上的投影向量的坐标为，且，.
则，解得，
所以在方向上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
14．
【分析】结合已知条件可知，然后利用垂直向量的数量积为以及数量积的坐标运算即可求解.
【详解】解：因为在上的投影向量为，
所以，则，
因为，，
所以，
从而，
解得.
故答案为：.
15．##1.5
【分析】由两边平方可得， ， ，设，向量是以向量为邻边的平行四边形、有共同起点的对角线， ，由余弦定理可得，向量 在向量 上投影向量为，化简可得答案.
【详解】因为，所以，，
两边平方整理得，
，两边平方整理得，
即，
可得， ，
设，
所以向量是以向量为邻边的平行四边形、有共同起点的对角线，
如图，即，
因为，，平行四边形即为的菱形，
所以，
由余弦定理可得，
可得，，
向量 在向量 上投影向量为，
即.
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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