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专题4 平面向量数量积的最值问题
【北京市丰台区2023-2024学年高三上学期期中】
1．如图，已知BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E，点P是线段AD上的动点，直线交BC于点Q． 当取得最小值时，下列结论中一定成立的是（ ）

A． B．
C． D．
2．在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，，设，（），则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．八卦文化是中华文化的精髓，襄阳市古隆中景区建有一巨型八卦图（图1），其轮廓分别为正八边形和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑白两点）是圆半径的中点，且关于点对称,若，圆的半径为，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最小值为（ ）

A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，｜AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
以O为原点建立平面直角坐标系，设圆半径为r，，根据向量的坐标运算得出，结合，得出.
以O为原点建立平面直角坐标系，设圆半径为r，
则，
，
故当最小时，最小，显然时最小.
6．已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．-1
7．已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且可在内任意旋转，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它身上所显示的情致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为一个大正方形（内部是16个全等的边长为1的小正方形）和凸出的16个半圆所组成，如图，点A是大正方形的一条边的四等分点，点C是大正方形的一个顶点，点B是凸出的16个半圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．在梯形中，已知，点分别在线段和上，则的最大值为 ．
11．已知均为单位向量，且，则的最大值是
12．如图，在与中，，，，.连接与交于，则 .

13．圆：上有两定点，及两动点C，D，且，则的最大值是 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】作出辅助线，由极化恒等式得到当最小时，取得最小值，取的中点，则，此时取得最小值，B正确，在结合中位线及圆中的性质得到ACD错误.
【详解】连接，则，
两式平方后相减可得，由于等于圆的半径，为定值，
故当最小时，取得最小值，
取的中点，则，此时取得最小值，B正确；
A选项，因为BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E，
所以为的中点，故是的中位线，故，
因为，所以，则不垂直，A错误；
C选项，由中位线可知，所以不平行，C错误；
D选项，由中位线可知，所以不平行，D错误.

故选：B
2．A
【分析】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，，求出点坐标可得，利用二次函数的单调性可得答案.
【详解】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，
所以，因为D为BC的中点，所以，
，设，所以，
所以，可得，，
所以，
因为，所以.
故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是以为坐标原点建立平面直角坐标系，转化为坐标的运算求数量积.
3．C
【分析】求出，则，再利用余弦定理可得，结合基本不等式即可求解.
【详解】在中，，，
由余弦定理，得，即，
于是有①.
由，得，
即，
于是有②.
联立①②，得，
由，得，
将代入①中，得.
由，，，知，
所以
,
因为，
所以,
当且仅当即时，等号成立，
所以.
故当时，取得最大值为.
故选：C.
【点睛】求最值问题一般有两种方法：一是几何意义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
4．C
【分析】根据题意，利用向量的线性运算，化简得到，结合，进而求得取得最小值，得到答案.
【详解】由题意，点是圆半径的中点，且关于点对称，设的位置，如图所示，
在八卦图中，知,
又由，
则由
，
当八卦图转动（即圆面及其内部点绕转动）时，，
当时，取得最小值，最小值为.
故选：C.

5．B
【分析】由已知及抛物线的定义，可求，进而得抛物线的方程，可求，，的坐标，直线的方程，可得圆的半径，求得圆心，设的坐标，求得的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．
【详解】解：由题意，设，所以，解得，
所以抛物线的方程为，，，，
所以直线的方程为，
设圆心坐标为，，所以，解得，即，
圆的方程为，
不妨设，设直线的方程为，则，
根据，解得，
由，解得，
设，所以，
因为，
所以．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为，然后利用直线OM与圆E切于点M，求出M点的坐标，引入圆的参数方程表示N点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．.
6．C
【分析】由题意分析可知四边形关于直线对称，且，只需考虑点E在边上的运动情况即可，然后分类讨论,求出最小值.
【详解】
如图所示，因为，且，所以垂直且平分，
则为等腰三角形，又，所以为等边三角形,
则四边形关于直线对称，故点E在四边形上运动时，
只需考虑点E在边上的运动情况即可，
因为，，知，即，
则，
①当点E在边上运动时，设，则，
则,
当时，最小值为；
②当点E在边上运动时，
设,则,
则
，
当时，的最小值为；
综上，的最小值为；
故选：C．
【点睛】方法点睛：由题意可推得四边形的几何性质，即要推出，然后要考虑E点位置，即要分类讨论，进而根据向量的线性运算表示出，结合二次函数性质即可求解.
7．D
【分析】先分别求出等边三角形和正方形的边长及其内切圆半径，根据所求结果和正方形可在内任意旋转可知，正方形各个顶点在三角形的内切圆上，建立合适的直角坐标系，求出三角形的顶点坐标和其内切圆的方程，设出的三角坐标，根据可得到关于坐标中变量的关系，分类讨论代入中化简，用辅助角公式分别求出最大值，选出结果即可.
【详解】解：因为是面积为的等边三角形，记边长为，
所以，解得，
记三角形内切圆的半径为，根据，可得：
，解得，
因为正方形面积为2，所以正方形边长为，
记正方形外接圆半径为，
所以其外接圆直径等于正方形的对角线2，即，
根据正方形的对称性和等边三角形的对称性可知，
正方形外接圆即为等边三角形的内切圆，因为正方形可在内任意旋转，
可知正方形各个顶点均在该三角形的内切圆上，
以三角形底边为轴，以的垂直平分线为轴建立直角坐标系如图所示：
故可知，圆的方程为，
故设，，
因为，即，
化简可得，即，
解得或，
①当时，点坐标可化为，
此时
，
所以当，即，即，
即时，取得最大值；
②当时，点坐标可化为，
此时
，
因为，所以当，即，即，
即时，取得最大值，
综上可知：取得最大值.
故选：D
【点睛】方法点睛：该题考查平面几何的综合应用，属于难题，关于圆锥曲线中点的三角坐标的设法有：
（1）若点在圆上，可设点为，其中；
（2）若点在圆上，可设点为，其中；
（3）若点在椭圆上，可设点为，其中；
8．C
【分析】利用向量数量积的几何意义将的最大值进行转化，并确定取最大值时点B的位置，再建立坐标系求解作答.
【详解】等于在上的投影向量与的数量积，因此当在上的投影向量与同向，
且投影向量的模最大时，取到最大值，此时点B在以点C为半圆弧端点且在AC上方的半圆上，
以大正方形的相邻两边分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，，
则直线的方程为，以点C为半圆弧端点且在AC上方的半圆圆心为，
半圆的方程为，
显然半圆在点处切线垂直于直线时，取得最大值，
设切线的方程为，于是，而点M在切线的左上方，解得，
即切线：，由解得，
因此切线与直线的交点，此时，又，
所以的最大值为.
故选：C
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
9．C
【分析】利用，与即可确定在上的投影与在上的投影，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，即可确定，的横坐标，设出坐标由得到两向量纵坐标的关系后，列出，夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定，夹角的范围，注意即，的夹角为锐角.
【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
，，，
，，三者直接各自的夹角都为锐角，
，，，
，，即在上的投影为1，在上的投影为3，
，，如图
，
即，且
则，
由基本不等式得，
，
与的夹角为锐角，
，
由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，
故选：C.
10．3
【分析】先建立平面直角坐标系，通过写出的坐标表示，再进行运算，最后根据取值范围得到最大值.
【详解】如图建系，，所以，

设，则，
令，
则，
所以
当时取到等号.
故答案为：3
11．
【详解】为单位向量，且设，，，当时取得最大值，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查平面向量的数量积公式与平面向量的坐标运算及三角函数求最值，属于难题. 求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值 .本题是利用方法③的思路解答的.
12．
【分析】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，根据长度关系得到每个点相应的坐标，联立直线，的方程即可计算出点的坐标，再根据平面向量数量积的坐标公式就能算出答案.
【详解】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图：

由，，，，
可得，，，
则，
，，
所以直线的方程可表示为，
直线的方程可表示为，
联立解得，
代入
则交点的坐标是，
由，
，
所以
，
故答案为：.
13．##
【分析】由已知求出的夹角，设射线与x轴正方向所成的角，利用三角函数定义表示出点的坐标，再利用数量积的坐标表示建立函数关系并求出最大值作答.
【详解】因为点在圆：上，则，，
而，则有，令射线与x轴正方向所成的角为，
由点的对称性，不妨令射线与x轴正方向所成的角为，

由三角函数定义知，
则，
于是，
同理，因此
，而，
则当，即时，，
所以的最大值是.
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及定圆上的动点，可以设出经过该点射线为终边的角，利用三角函数定义表示出该点坐标求解.
答案第1页，共2页
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