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专题立体几何中的最值问题1
【立体几何】已知某正四棱锥的体积是，该几何体的表面积最小值是，我们在绘画该表面积最小的几何体的直观图时所画的底面积大小是，则和的值分别是（ ）
A．3； B．4； C．4； D．3；
【方法名称】利用基本不等式求最最值
【思路分析】通过设变量正四棱锥底面边长为，建立函数关系，利用拆分技巧借助基本不等式求最值.
【详解】法一：如图，O为底面ABCD的中心，E为BC的中点，连接PO，OE，设该正四棱锥底面边长为，高为，且，由题意，.易有，，则，所以，，将代入并化简得：，于是，
.当且仅当时，取“=”.
易知，此时底面ABCD直观图的面积.故选：C.
法二：设底面边长为，高为，侧面与底面所成角为，则
因为
所以
，
当且仅当时取等号，即，此时
故选：C
法三: 如图，设D为底面中心，E为BC中点，连接PD，PE，O是内切球的球心，且，
设正四棱锥底面边长为t，高为h，，内切求半径为r
易知：，
要最小，则r最大即可．
在△PDE中，，又①
在△ODE中，②
由①②可得，
即
（此时）
，
故选C．
【举一反三】
1．如图，在长方体中，当，，点在棱上，且，则当的面积最小时，棱的长为 ．

2．如图，已知，，是圆柱的三条母线，为底面圆的直径，且，则三棱锥的体积最大值为 .
【方法名称】导数法
【思路分析】设底面边长为，建立函数关系，再令，最后利用导数求最值.
【详解】底面边长为，高为，侧面斜高为，则，所以
，令，则
由
所以当时，；当时，；
因此当时，，此时
故选：C
【举一反三】
3．如图所示，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后将余下的四个全等的等腰三角形组成一个正四棱锥 若正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面边长为单位：，且，则该球的半径（单位：）的取值范围是 .
4．在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，，，分别是对角线，上的动点，则线段的最小长度为 ．
6．如图，已知球的表面积为，若将该球放入一个圆锥内部，使球与圆锥底面和侧面都相切，则圆锥的体积的最小值为 .

7．如图，等腰直角三角形中，，，是边上的动点（不与，重合）过作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为点，得到四棱锥，则三棱锥体积的最大值为 ．

8．已知四面体各顶点都在半径为3的球面上，平面平面，直线与所成的角为，则该四面体体积的最大值为 .
9．中，，过点A的直线在平面上，且在直线的同一侧，将绕直线旋转一周所得的几何体的体积的最大值为 ．
10．如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边长，若侧面水平放置时，水面恰好经过AC，BC，的中点D，E，，现将底面ABC水平放置.
(1)求水面的高度；
(2)打开上底面的盖子，从上底面放入半径为2的小铁球，当水从上底面溢出时，求放入的小铁球个数的最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】建立空间直角坐标系，可设，，写出点坐标，根据，可求得与的等量关系，代入的面积中，利用基本不等式求得面积最小值时和的值，进而得出棱的长.
【详解】如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，则，设，，，
则，，因为，所以，
当时等式不成立，即．
因此
，当且仅当，即时
取等号．因此当的面积最小时，棱．
故答案为：

2．18
【分析】连接,结合圆柱特征可设，可得，利用基本不等式可得，进而利用等体积法表示出三棱锥的体积，即可求得答案.
【详解】连接,,故四边形为平行四边形，
则,设，则，
∴，即，当且仅当时取等号，
由于为底面圆的直径，则,
而平面平面,故,
平面，故平面；
由平面平面,故,即,
∴三棱锥的体积为，
即三棱锥的体积最大值为18，
故答案为：18.
3．
【分析】作出正四棱锥，正四棱锥的外接球的球心在正四棱锥的高线上，根据勾股定理表示外接球的半径与的关系，再求出的取值范围.
【详解】由题意，作出正四棱锥，如图所示，记为的中点，连结，
可知，，四边形为正方形.
记为正方形的中心，连结，则平面，
，，，
记正四棱锥的外接球的球心为，，
在直角中，，即，
设，，则，
整理得，因为在区间上单调递减，
所以，即，.
故答案为：.
4．B
【分析】设底面的外接圆的半径为r，，由正弦定理表示出r，确定外接球球心位置，求得其半径的表达式，结合正弦函数性质求得外接球半径的最小值，即可得答案.
【详解】设底面的外接圆的半径为r，，
则在中，，可得，所以，
设底面三角形的外心为，过作底面的垂线，
由于平面BCD，故所作垂线与的中垂线的交点即为三棱锥外接球的球心，
设外接球的半径为R，而，
则外接球的半径为，
即当即时，三棱锥的外接球的半径取得最小值，
此时三棱锥的外接球表面积取得最小值：,
故选：B
5．##
【分析】根据面面垂直的性质和线面垂直的性质可得，由题意建立如图空间直角坐标系，设，()，，，，利用空间向量的坐标表示可得，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
由正方形正方形，正方形正方形，正方形，
得正方形，又正方形，所以，
建立如图空间直角坐标系，
设，()，，，
则，，
得，，
所以，，
得，
有
，
当且仅当即即时，等号成立，
所以，即线段MN的最小长度为.
故答案为：.
6．
【分析】设圆锥的底面半径为，圆锥的高为，则母线长为，利用圆锥的轴截面得，求出圆锥的体积，令，再利用基本不等式或利用导数求最值可得答案.
【详解】依题意，得球的半径，设圆锥的底面半径为，圆锥的高为，
则母线长为，如图是圆锥的轴截面，
则轴截面的面积，
即，平方整理得，
则圆锥的体积，令，
则，
当且仅当时取得最小值，此时.
[或求导：，所以，
当即时，单调递增，
当即时，单调递减，
所以当时最小，且最小值为.]
故答案为：.

7．
【分析】设，，表示出三棱锥的体积，利用导数研究单调性，求最大值.
【详解】由题意知：，，将沿折起，由棱锥结构特征可知，相同的点E位置，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时平面，
设，，，
，，
令，得或，又，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，．
故答案为:．
8．
【分析】根据给定条件，探求四面体体积的表达式，并确定体积最大时四面体的结构特征，结合球半径、球心到平面和平面的距离及长表示出最大体积的关系式，再利用均值不等式、导数求最值求解作答.
【详解】在中，过作于，连接，因为，平面，
则平面，显然平面，有，而平面平面，则，
四面体的体积，

当长固定时，经过的外接圆圆心时，最大，此时为中点，
并且经过外接圆圆心，四面体的体积最大，令四面体外接球球心为，
连接，则平面，平面，令，
显然四边形是矩形，于是，
且，
，当且仅当，即时取等号，
此时，，
因此，令，，
由，得，当时，，时时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，
所以当，取得最大值，因此的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.
9．
【分析】作出图形，得到将绕直线旋转一周所得的几何体体积为台体的体积减去上下两个圆锥的体积，设出角度，表达出台体体积及两个圆锥体积，从而表达出旋转一周所得的几何体的体积，结合，正弦函数图象，求出最大值.
【详解】因为，所以，
将绕直线旋转一周所得的几何体体积为台体的体积减去上下两个圆锥的体积，
设，则，
，
，
所以台体的体积为
，
圆锥的体积为，
圆锥的体积为，
故旋转一周所得的几何体的体积为
，
因为，所以，
当，即时，取得最大值，
最大值为.

故答案为：.
10．(1)12
(2)3
【分析】（1）首先利用求水的体积，再应用棱柱的体积公式求底面ABC水平放置后水面的高度；
（2）由题设只需放入小铁球的总体积大于，结合球体的体积公式求放入的小铁球个数的最小值.
【详解】（1）由题意，水的体积，
将底面ABC水平放置，若水面的高度为，则，所以.
（2）由题意，只需放入小铁球的总体积大于即可，
而小铁球的体积，若放入n个小铁球水从上底面溢出，
所以，则，而，故最小为3.
答案第1页，共2页
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