资源简介

专题5 异面直线间的距离
【山东省潍坊市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题】右图为几何体的一个表面展开图，其中的各面都是边长为1的等边三角形，将放入一个球体中，则该球表面积的最小值为______；在中，异面直线AB与DE的距离为______．
还原几何体，求出半径，进而求出球的表面积，由面ABC面EFD，将异面直线AB与DE的距离d转化为O到面DEF距离的两倍，利用等体积法得出所求距离.
如图：该几何体为正八面体
球表面最小即八面体的八个顶点在球面上，即球心O在ABCD中心O
半径，∴，
∵面ABC面EFD，∴异面直线AB与DE的距离d转化为面ABC与面EFD的距离
又O到面ABC距离等于O到面DEF距离相等记作，则
∵，∴，
∴，∴，∴
1．已知长方体的棱、AB、AD的长分别为4cm、5cm、6cm，则异面直线和的距离是 cm.
2．正方体中，边长为4，则异面直线与的距离为 ．
法一：建系，利用向量法得出，再由距离公式求出异面直线的距离；法二：建系，设，，根据向量的运算，得出的坐标，由模长公式以及不等式的性质得出异面直线的距离.
法一：建立坐标系，用公式算
OF、OC、OB分别为x、y、z轴，则
∴
设AB与DE距离为d，
设且，则
令得，∴
法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则
设分别为AB，DE上两点，设
则，
所以，
所以，
所以，
所以当时，取到最小值．
3．四面体中，，，，则异面直线与的距离为 ．
4．已知正方体的棱长为，异面直线与的距离为 .

通过空间想象还原几何体，并将其补成正方体，再由正方体的棱长得出正八面体外接圆直径，进而求出表面积，由BA平面将异面直线BA与ED之间距离为点B到平面距离，连结，由平面，结合中位线定理得出所求距离.
还原理由：正八面体相邻两个三角形仅有一条公共边，所以原图中AB还原必与重合，如图1，此时图中1，2，3，4四个三角形可还原为以B为顶点无底面的四棱锥，如图2．
同理，DE还原后与重合，可得以E为顶点的四棱锥，最后形成正八面体，如图3．构造正方体，及各面中心形成正八面体（图4）
取M为正方体棱中点，则
∴正方体棱长为，即为正八面体外接圆直径，即，∴，
如图（5）正方体，其中B、A、D、E分别为正方体中心，
连接，可得，且平面
易证：BA平面，∴异面直线BA与ED之间距离为点B到平面距离，
连结，则平面，且点Q到平面距离为（如图6），
则点B到平面距离.
5．在三棱锥中，，，，，，则异面直线和的距离为 .
6．若RtΔABC的斜边AB=5，BC=3，BC在平面内，A在平面内的射影为O，AO=2，则异面直线AO与BC之间的距离为 ．
7．定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是：分别连接两异面直线上两点，所得连线的向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度.如图，正方体的棱长为是异面直线与的公垂线段，则的长为（ ）

A． B． C． D．
8．正方体表面正方形的对角线中存在异面直线.如果其中两条异面直线的距离是1，那么，正方体的体积为（ ）
A．1 B．
C．1或 D．或
9．已知正方体的棱长为1，则直线到直线BD的距离为 ．
10．长方体中，和的公垂线段是 ，和的公垂线段是 ．
11．边长为1的两个正方形和构成大小为的二面角，则异面直线和之间的距离为 ．
12．空间四边形中，，，延长到，使得，为中点，则异面直线和的距离为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．4
【分析】画出正方体的图形，直接找出异面直线和之间的距离即可．
【详解】由题意画出长方体，如图：
由图形可知：异面直线与之间的距离是：，
故答案为4．
【点睛】本题主要考查正方体中异面直线的距离的求法，考查空间想象能力，作图能力，属于基础题.
2．##
【分析】异面直线与分别在平行平面和平面内，因此求出平行平面和平面的距离即可得，再证明是平行平面和平面的公垂线，然后求得公垂线段的长即可得．
【详解】如图，正方体中，，，是平行四边形，
∴，同理，
分别是上下底面对角线的交点，，分别与交于点，连接相应的线段，
平面，平面，∴平面，同理平面，
又，平面，∴平面平面，
由于与平行且相等，因此是平行四边形，∴，而分别是中点，
因此，
正方体棱长为4，则对角线，，
平面，是在平面内的射影，，平面，
∴，同理，，平面，所以平面，∴平面，
∴平面与平面的距离为，
而平面，平面，且与是异面直线，
所以异面直线与的距离等于平面与平面的距离为，
故答案为：．
3．
【分析】将四面体补成长方体，连接交于点，连接交于点，连接，推导出，，并计算出的长，即可得解.
【详解】将四面体补成长方体，连接交于点，连接交于点，连接，
则、分别为、的中点，
由已知可得，可得，
因为且，故四边形为平行四边形，则且，
又因为、分别为、的中点，所以，且，
故四边形为平行四边形，故且，
平面，平面，，即，
同理可得，故异面直线与的距离为.
故答案为：.
4．
【分析】根据线面垂直性质可得，又，可知所求距离为，从而得到结果.
【详解】
平面，平面
又 异面直线与之间距离为
故答案为
【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.
5．.
【分析】画出草图，先证明BD是异面直线和的公垂线，再求出BD的长即可。
【详解】画出草图，
，

又，
所以BD是异面直线和的公垂线
所以异面直线和的距离为BD
是直角三角形。
故答案为：
【点睛】此题考查异面直线间的距离，关键点找到两条异面直线的公垂线，属于较易题目。
6．2
【分析】连接，通过证明和可知即为异面直线与之间的距离，利用勾股定理可求得结果.
【详解】连接

，， ，
又 平面，又平面
即为异面直线与之间的距离
又
本题正确结果：
【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，关键是能够通过垂直关系找到异面直线之间的公垂线段.
7．C
【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据即可求解.
【详解】
如图，以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.
由题意得，
则.
设异面直线与的公垂线的方向向量，
则，即，令，得，，
所以异面直线与之间的距离.
故选：C.
8．C
【详解】
设正方体的棱长为，若异面直线与的距离为1，则，从而体积.
若异面直线与的距离为1，则，，.
即正方体的体积为1或.选C.
9．
【分析】作图，找到 与BD的公垂线，计算出公垂线的长度即可.
【详解】
连接BD，取BD的中点O，连接OC，根据正方形的性质，显然 ，
又因为 底面ABCD，所以 ， ， ，
即OC是BD与的公垂线， .
故答案为： .
10． ## ##
【分析】利用公垂线的定义可得出结果.
【详解】如下图所示：
在长方体中，，，故和的公垂线段是，
平面，平面，，
又因为，则和的公垂线段是.
故答案为：；.
11．##0.5
【分析】说明是二面角的平面角，过作于，证明是异面直线和的公垂线，求出线段的长即可．
【详解】如图，由，知是二面角的平面角，因此，
且因为，平面，所以平面，
过作于，则，
所以是异面直线和的公垂线，的长即为异面直线和之间的距离．
中，，，则，，
所以异面直线和之间的距离为．
故答案为：．
12．1
【分析】根据异面直线距离的定义，找到异面直线和的距离为，即可求解.
【详解】
如图，，为中点，所以，
，为中点，则，又，因此，有，
所以是异面直线和的距离，故它们的距离等于1，
故答案为:1.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑