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专题4 空间图形中线段长度的最值问题
【唐山市十县一中联盟2023-2024学年度第一学期期中考试】在正四棱台中，，点分别在直线与上，则线段长度的最小值 .
通过找截面，并由勾股定理得出，再由与点重合，得出的最小值，进而求出的最小值.
过点作⊥平面于点，则在直线上，连接，
则，
由几何关系知，当与点重合， 取得最小值0，故的最小值为；
1．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若∥平面，下列说法正确的是（ ）
A．线段长度最大值为，无最小值
B．线段长度最小值为，无最大值
C．线段长度最大值为，最小值为
D．线段长度无最大值，无最小值
2．在棱长为2的正方体中，E为的中点，点P在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为( )
A．2 B．3 C． D．
以，作为空间基向量，表示，将进行平方，结合数量积运算得出，进而由不等式的性质得出.
以，作为空间基向量，
当时
3．在中，，，，D是边上的一动点，沿将翻折至，使二面角为直二面角，且四面体的四个顶点都在球O的球面上．当线段的长度最小时，球O的表面积为 ．
4．在棱长为的正方体中，为棱的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为 .
以底面正方形ABCD的中心为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法得出.
以底面正方形ABCD的中心为原点，以与AB、DA方向为x、y轴，以过中心且底面垂直的方向为z轴
则，
设，则
当时.
5．如图， 二面角的平面角的大小为为半平面内的两个点， 为半平面内一点， 且，若直线与平面所成角为为的中点， 则线段长度的最大值是 .

6．已知正方体的棱长为，为棱的中点，点为正方体表面及其内部的一个动点且，则线段的长度的最大值为 .
7．已知正四棱柱的底面边长为，侧棱长为4，点满足，点在底面内，且，则（ ）．
A．线段长度的最小值为1
B．直线和平面所成角的余弦值为
C．到直线的最小距离为
D．三棱锥的体积可能取值为10
8．如图，在正方体中，，点M，N分别在棱AB和上运动（不含端点），若，下列命题正确的是（ ）
A．
B．平面
C．线段BN长度的最大值为
D．当点M，N分别在棱AB和的中点时，点到面的距离为
9．正三棱柱中，，，O为BC的中点，M是棱上一动点，过O作于点N，则线段MN长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在长方体中，，，P，M分别为线段BC，的中点，Q，N分别为线段，AD上的动点，若，则线段QN的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在直三棱柱中，，，，M、N分别是线段、上的点，P是直线AC上的点，满足平面，，且M、N不是三棱柱的顶点，则MP长的最小值为（ ）

A． B． C． D．
12．已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥A－BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】分别取的中点,根据面面平行的判定定理可得平面平面，故点的轨迹为线段.当与点或重合时，线段长度最大，当为线段的中点时，线段长度最小，求解即可.
【详解】分别取的中点,
因为，平面，平面，
所以平面,同理可得平面.
因为平面,所以平面平面.
因为P是底面上一点．且∥平面，
所以点的轨迹为线段.
因为正方体的棱长为2，所以,,
当与点或重合时，；
当为线段的中点时，.
所以线段长度最大值为，最小值为.
故选:C.
2．B
【分析】以为原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设，根据求出a、b之间的关系，利用两点间距离公式结合二次函数性质可求长度的最大值．
【详解】以为原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，，，
则，，
，，
，则易求，
，
由二次函数的性质可知，当时，可取到最大值9，
线段的长度的最大值为3．
故选：B．
3．##
【分析】根据条件作出图形，过点作于点，连接，结合面面垂直的性质得到是直角三角形，又在中，设（），得到，，，再根据余弦定理和勾股定理用表示，结合三角恒等变换和正弦函数的图象与性质得到时，线段的长度最小，利用球的截面圆性质找到四面体的外接球球心也是的外接圆圆心，最后结合正弦定理和球的表面积公式即可求解.
【详解】由题意，作出，如图1所示，
沿将翻折至，使二面角为直二面角，得到四面体，如图2所示.
如图2，过点作于点，连接，
因为平面平面，平面平面，
，平面，所以平面，
又平面，所以，
由图形翻折的性质，在图1中，作出点，连接和，可得，
又，，，则，，，
设（），则，，，
在中，由余弦定理得：，
即，
在图2中，，
即，
又，则，
所以当，即时，取得最小值，此时线段的长度最小，
则，，
如图3，在四面体中，作的中点，并连接，
则是的外接圆圆心，又过点作平面的垂线，
由球的截面圆性质知四面体的外接球球心必定在该垂线上，也在平面上，
即的外接圆圆心，设该球的半径为，则有，
在中，由正弦定理得：，则，
所以球O的表面积为，
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
4．
【分析】利用空间向量及其运算、二次函数的图象与性质分析运算即可得解.
【详解】解：

如上图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，
建立空间直角坐标系，设，因为正方体棱长为4，
所以，，，则，，
因为，所以，则，
即，化简得：，
∵点是底面上的点，∴，，
又由得，解得：，和上述
取交集得：.
由距离公式得
，对称轴，且
当时；当时，即.
∴由二次函数的图象与性质知当时，取得最大值.
故答案为：.
5．##
【分析】自点引平面的垂线，垂足为，则两点在以为高，以为母线的圆锥的底面圆周上，所以当两点运动到公共棱上时AD最大，然后根据题意求解即可.
【详解】如图，自点引平面的垂线，垂足为，因为，

则两点在以为高，以为母线的圆锥的底面圆周上，
因为为半平面内的两个点， 为半平面内一点，
所以当两点运动到公共棱上时，最大，则最长，此时在中为定值，最大，所以AD最大.
自点引公共棱的垂线，则由题意得，
所以，，所以，
因为，所以，
因为，所以为的中点，所以，
所以，
在中，由余弦定理得，
在中由余弦定理得,
故答案为：
6．
【分析】取的中点，的中点，连接、、，设，推导出平面，可知平面内任一点（不与重合）均满足，结合图形可求得的最大值.
【详解】如图，取的中点，的中点，连接、、，设，
因为且，、分别为、的中点，
则且，所以，四边形为平行四边形，所以，且，
又因为且，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，
因为，，，所以，，
所以，，所以，，
所以，，故，
因为平面，平面，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
则平面内任一点（不与重合）均满足，
由图可知，.
故答案为：.
7．ACD
【分析】根据条件确定,的轨迹，根据轨迹确定选项A,B的正误，结合向量判断选项C,D的正误.
【详解】对于A，因为，所以，即点在上；
因为点在底面内，且，所以，即点在以为圆心，3为半径的圆弧上，如图，
因为到的距离为4，所以线段长度的最小值为1，故A正确；
对于B，由A可知，可以看作圆锥的一条母线， 直线和平面所成角为，，故B不正确；
对于C，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，
；
，；
，
到直线的距离；
因为，所以时，有最小值，故C正确；
对于D，；
由选项A可知，的面积的最大值为，而 ，
所以三棱锥的体积可能取值为10，故D正确；
故选：ACD
8．AC
【分析】以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立坐标系，设出动点M，N的坐标，利用空间向量运算判断选项A，B，C，利用点到平面的距离公式判断D即可得解.
【详解】在正方体中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：
A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，设M(3,y,0)，N(3,3,z)，，
，而
则，
对于A选项：，则，，A正确；
对于B选项：，，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；
对于C选项：，则线段BN长度，当且仅当时取“=”，C正确；
对于D选项：设平面的法向量，，则，令，则，即，
又，所以，点到面的距离为，故D不正确.
故选：AC
9．B
【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN的表达式，利用函数求最值即可.
【详解】解：因为正三棱柱中,O为BC的中点，取中点，连接，
如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为M是棱上一动点，设，且，所以，则，
因为，所以在直角三角形中可得：，所以，
即，于是令，
所以，，又函数在上为增函数，
所以当时，，即线段MN长度的最小值为.
故选：B.
10．D
【分析】建立空间直角坐标系，写出相关的点坐标，设出Q，N的坐标，利用，找出参数间的关系，再用空间两点间的距离公式表示出函数的形式，
利用函数求最值.
【详解】如图，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为P，M分别为BC，的中点，所以，，
因为Q，N分别为线段，AD上的动点﹐
所以可设，，
所以，.
由，得，即，即，
由，
得，
当时，.
故选：D.
11．A
【分析】建立空间直角坐标系，设出，，坐标，根据已知条件得到三点坐标的关系，表示出的表达式，根据二次函数求出答案.
【详解】
如图，由已知，，两两互相垂直，
以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
可得，，，，
设，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，，
因为平面，所以
，则，，
又，
，可得，
，，
，
当时，取最小值，最小值为.
故选：A.
12．B
【分析】
先求出外接球半径，根据勾股定理逆定理得到，且，求出点D到平面ABC的距离，求出点D所在球的截面的半径及三角形ABC的外接圆半径，设点D在平面ABC上的投影为E，当CE最长时CD最长，结合，求出CD长度的最大值.
【详解】
因为球的体积为，故球的半径R满足，故，
而，，，故，故，
故，
设点D到平面ABC的距离为h，则，故，
点D在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为α，因为，所以平面α与平面ABC在球心的异侧，

设球心到平面ABC的距离为d，而△ACB外接圆的半径为，则，
故球心到平面α的距离为，故截面圆的半径为，
设点D在平面ABC上的投影为E，则E的轨迹为圆，圆心为△ABC的外心即AB的中点，
当CE最长时CD最长，此时，故CD长度的最大值为.
故选：B．
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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