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专题2 几何体的体积与 “外接”，“ 内切”球问题
【唐山9月模拟】如图，在三棱台中，表示体积，下列说法正确的是（ ）
A．
B．成等比数列
C．若该三棱台存在内切球，则
D．若该三棱台存在外接球，则
对于A，根据等体积转换进行判断；对于B，根据三棱台可以拆3个三棱锥以及其体积公式进行判断；对于C，根据三棱锥有内切球，作截面与内切球相切，则此球也是三棱台的内切球进行判断；对于D，三棱台的外接球在上下底面的投影点为两个底面三角形的外心，得出三个直角梯形全等，再进行判断.
对于A，如图1，因为，，
又在梯形因为，所以，所以.故A正确；
对于B，设三棱台上底面面积为，下底面面积为，高为h，
则，
又，
所以，所以，
所以成等比数列，故B正确；
对于C，如图2，设平面，三棱锥的内切球为球，作截面与球相切，
则球也是三棱台的内切球，
显然中最小，即不一定相等，故C错误；
对于D，如图3，若该三棱台的外接球为球，球在上下底面的投影点为，
则分别为的外心，所以，，
平面，平面，
因为平面，所以，同理可证，
所以四边形是一个直角梯形，同理可得四边形，也是直角梯形，
所以三个直角梯形全等，则，故D正确.
故选：ABD.
1．如图，在几何体ABCFED中，，，，侧棱AE，CF，BD均垂直于底面ABC，，，，则该几何体的体积为 .
2．“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上.此模型的体积为（ ）
A． B． C． D．
由结合体积公式、相似三角形的性质得出，同理可得，进而由得出.
对于B：，，
因为，所以，
即，故B正确．
3．如图，正方体的棱长为1，E，F分别是棱，的中点，过点E，F的平面分别与棱，交于点G，H，给出以下四个命题：
①平面EGFH与平面ABCD所成角的最大值为45°；
②四边形EGFH的面积的最小值为1；
③四棱锥的体积为定值；
④点到平面EGFH的距离的最大值为．
其中正确的命题是 ．（填序号）

4．已知正方体的棱长为，点是棱上的定点，且，点是棱上的动点，则三棱锥的体积最小值为 ．
“切”的处理
作一个特殊三棱锥，满足，，，由内切球的定义判断C.
对于C，作一个特殊三棱锥，满足，，，此三棱锥内切球为O，做平面平行于底面且与O相切，得三棱台，则，故C错误．
5．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（ ）
A． B．
C． D．
6．四面体ABCD中，，，则有（ ）
A．存在，使得直线CD与平面ABC所成角为
B．存在，使得二面角的平面角大小为
C．若，则四面体ABCD的内切球的体积是
D．若，则四面体ABCD的外接球的表面积是
根据梯形上底与下底平行结合圆的对称性得出四边形为等腰梯形，即，同理可证 .
对于D，侧面为小圆的内接梯形，易知，
同理，则，故D正确．
7．在三棱锥中，已知，且平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．三棱锥A-BCD中，平面BCD，，，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知三棱锥在平面的射影是，两点关于对称，且，则三棱锥外接球半径是( )
A． B． C． D．1
10．三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在棱长均为的直三棱柱中，是的中点，过、、三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点所在部分的体积为（ ）

A． B． C． D．
12．已知半球的半径为2，如图，截面圆平行于半球的底面的，以该截面圆为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积的最大值为 .

13．已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，且，，则三棱锥的体积为 ．
14．如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点，，且，给出下列三个结论：
①三棱锥与的体积相等；
②三棱锥的体积为定值；
③三棱锥的高长为
（三棱锥的高长即点到平面的距离）．
所有正确结论的序号有 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】在上取点，在上取点，使得，连接，则几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的，分别求出三棱柱和四棱锥的体积，即可得出答案.
【详解】在上取点，在上取点，使得，连接，
又由已知侧棱AE，CF，BD均垂直于底面ABC，
得，即，
故四边形与四边形都为平行四边形，
所以，，
又平面，且平面，
则平面，
同理，平面，，
平面，平面，
故平面平面，且平面，
则几何体为直三棱柱.
因为，，，
所以，
所以是以为直角的直角三角形，，
由侧棱AE垂直于底面ABC，得，
，平面，且平面，
故平面，则平面，
又，，
则多面体是四棱锥，且高为，
又，则，四边形为直角梯形，
所以几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的，
，
，
所以该几何体的体积为.
故答案为：.
2．C
【分析】求出内层圆柱，外层圆柱的高，该模型的体积等于外层圆柱的体积与上下面内层圆柱高出的几何体的体积之和，计算可得解.
【详解】如图，该模型内层圆柱底面直径为，且其底面圆周在一个直径为的球面上，
可知内层圆柱的高
同理，该模型外层圆柱底面直径为，且其底面圆周在一个直径为的球面上，
可知外层圆柱的高
此模型的体积为
故选：C
3．②③④
【分析】由两平面所成角的余弦公式即面积射影公式，计算可得所求最大值，可判断①；由四边形为菱形，计算面积，分析的最小值，可判断②；由棱锥的等体积法，计算可判断③；由等体积法和函数的性质可判断④.
【详解】对于①，四边形为平行四边形，又直角梯形和直角梯形全等，得，所以四边形为菱形，且，平面在底面上的射影为四边形，设平面与平面所成角为，则，又，得，可得所成角的最大值不为45°，故①错误；对于②，由，可得菱形的面积的最小值为，故②正确；对于③，四棱锥的体积为，故③正确；对于④，设，，()，设到平面的距离为d，可得，
所以(其中)，当即时，取得最大值，故④正确.
故答案为：②③④.
4．
【分析】利用等体积法、图形的几何性质以及三棱锥的体积公式进行求解.
【详解】在正方体中，因为底面，平面，
所以，
因为正方体的棱长为，，
所以，
在中，由勾股定理有：，
所以，
因为点是棱上的动点，所以当与重合时，到平面的距离最小，
如图，在上取，使，
则，，
，
故三棱锥的体积最小值为.
故答案为：.
5．D
【分析】轴截面四边形的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，求出半径，再根据球的体积公式和圆锥的体积公式即可得解.
【详解】如图，四边形为该几何体的轴截面，
则四边形的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，
设内切球的半径为，
由，得，
则，
，
所以.
故选：D.

6．BCD
【分析】选项A根据条件作出平面ABC过点D的垂线，进而找出直线CD与平面ABC所成角为，推出矛盾，故排除；选项B根据条件作出二面角的平面角，根据二面角的平面角大小为求出即可；选项C利用等体积法求正四面体的内切球半径；选项D利用公式求三棱锥外接球半径.
【详解】对于选项A，取中点，连接，过作，交于点.
因为，所以，又，平面，平面，
所以平面，又平面，所以.
又因为，，平面，平面，
所以平面，所以为直线与平面所成角.
若，因为，则，，又因为，所以为的外心，故，所以，所以；
又因为为的外心，且，所以，出现矛盾，故选项A错误；
对于选项B，取中点，连接，因为，所以，
又因为平面，平面，所以，又，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角，
若，因为，所以.在中，，所以的外接圆半径为，
在中，由正弦定理得，，所以；
由余弦定理得，，由得，故选项B正确；
对于选项C，当时，四面体为棱长为2的正四面体，底面上的高，，正四面体的高，
正四面体的体积，
正四面体的表面积，
设四面体的内切球的半径为，，
所以四面体的内切球的体积为，故选项C正确；

对于选项D，四面体中，设四面体外接球球心为，
取中点，连接、、，则且，
所以为二面角的平面角，
，所以.
设、分别是平面和平面的外接圆圆心，则
在中，，.
在中，，即外接球的半径.
四面体的外接球的表面积，故选项D正确.
故选：BCD.

【点睛】定义法求线面角的关键是作出平面的垂线，找到斜线与投影的夹角；定义法求二面角的关键也是作出平面的垂线，根据三垂线定理找到二面角的平面角.
7．B
【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案.
【详解】如图，设外接球的半径为R，取AB的中点，连接，则由，得，
因为平面平面ABC，平面平面，平面，
所以平面ABC，则球心O在直线上．
连接OA，则，
因为，所以；
因为，所以.
因为，所以球心在线段上．
在中，由勾股定理，得，
即，解得，
所以三棱锥的外接球表面积为.
故选：B．
8．C
【分析】由题可知，可将三棱锥补成长方体，求长方体的外接球的表面积即可.
【详解】由平面BCD，，知三棱锥A-BCD可补形为以AD，DC，BD为三条棱的长方体，如图所示，
三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为R，
则，所以该三棱锥的外接球表面积为.
故选：C．
9．A
【分析】根据几何关系，证明P、A、B、C为正方体的顶点，则三棱锥的外接球为正方体外接球.
【详解】∵，∴是等腰直角三角形，
∵M、C两点关于AB对称，∴四边形ACBM是正方形．
∵且PM垂直平面ABC，∴P、A、B、C、M是棱长为1的正方体的顶点，
∴正方体的外接球就是该三棱锥的外接球，
∴正方体体对角线是外接球的直径，∴外接球半径.
故选：A．
10．B
【分析】取中点，连接，，可得平面，平面，取的外心，的外心，分别过，作平面与平面的垂线交于点，即为球心，结合球的性质求得半径，可得三棱锥外接球的表面积.
【详解】
解：如图，取中点，连接，，则，，
因为平面平面，所以可得平面，平面，
取的外心，的外心，分别过作平面与平面的垂线交于点，即为球心，连接，
易得，，
，
.
故选：B.
11．B
【分析】设平面交于点，连接、，推导出点为的中点，用三棱柱的体积减去三棱台的体积即可得解.
【详解】设平面交于点，连接、，

在三棱柱中，平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
又因为且，故四边形为平行四边形，所以，，
所以，，
因为为的中点，所以，为的中点，且，
因为直三棱柱的每条棱长都为，
则，
易知是边长为的等边三角形，则，
，
因此，顶点所在部分的体积为.
故选：B.
12．
【分析】画图，设球的半径为，圆柱的高为，底面半径为，建立方程由基本不等式求出的最大值，然后求出剩下的几何体的表面积
【详解】依题意，设球的半径为，圆柱的高为，底面半径为，
如图所示：

则，
所以，
当且仅当时，取到等号，
因此剩下的几何体的表面积为：
.
故答案为：.
13．
【分析】
根据题意将三棱锥补成长方体，则长方体的体对角线等于三棱锥外接球的直径，求出球的半径，从而可求出的长，进而可求出三棱锥的体积
【详解】因为三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，
所以将三棱锥补成如图所示的长方体，则长方体的体对角线等于三棱锥外接球的直径，
因为三棱锥外接球的表面积为，
所以，得，
所以，，得，
所以,
故答案为：
14．①②
【分析】①将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，此时三棱锥与的同底等高，体积相等；②以△BEF为底，A到平面BEF的距离为高，两者均为定值，所以三棱锥的体积为定值；③等体积法求解三棱锥的高.
【详解】由于//平面ABCD，线段上有两个动点，，
所以点E和点F到平面ABCD距离相等，均等于2，
故，①正确；
因为，所以，
而点A到平面即到平面的距离为定值，
故三棱锥的体积为定值，②正确；
设三棱锥的高为，
连接与交于点G，则G为中点，且⊥，
因为平面，平面，
所以，
因为，
所以⊥平面，
因为平面，
所以⊥AG，
且，
由勾股定理得：，
所以，
因为点A到平面的距离即为
所以，
所以，
解得：
故答案为：①②
答案第1页，共2页
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