资源简介

专题9 空间图形截面面积
【2023·江西省重点中学协作体高三第二次联考】在四棱锥中，棱长为2的侧棱PD垂直底面边长为2的正方形ABCD，M为棱PD的中点，过直线BM的平面分别与侧棱PA、PC相交于点E、F，当PE＝PF时，截面MEBF的面积为（ ）
A． B．2 C． D．3
建立坐标系，设，由四点共面的知识得出坐标，进而由三角形面积公式得出截面MEBF的面积.
以点D为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系.
∵，∴设，
设，得，
即
∴，
∴，选A．
1．在棱长为2的正方体中，P，Q是，的中点，过点A作平面，使得平面平面，则平面截正方体所得截面的面积是（ ）
A． B．2 C． D．
2．已知球的表面积为，球心到球内一点的距离为1，则过点的截面的面积的最小值为 ．
设出平面方程，由四点坐标得出平面方程，进而得出坐标，进而由三角形面积公式得出截面MEBF的面积.
设平面方程为，
平面方程：
∴，
∴，
∴
3．在三棱锥中，，点分别是的中点，且，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积是 ．
4．棱长为的正方体中，是棱的中点，过、、作正方体的截面，则截面的面积是 ．
5．如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若E为的中点，则直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为
D．过点的截面的面积的范围是
6．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（ ）

A．平面
B．到平面的距离为
C．过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是
D．平面与平面夹角余弦值为
7．如图，已知正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，点在上，平面，则以下说法正确的是（ ）
A．点为的中点
B．三棱锥的体积为
C．直线与平面所成的角的正弦值为
D．过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是
8．在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（ ）
A． B．2 C． D．3
9．已知长方体中，，M为的中点，N为的中点，过的平面与DM，都平行，则平面截长方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，过的平面与直线平行，则平面截该长方体所得截面的面积为（ ）
A． B．
C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】取中点，中点，利用面面平行的判定定理确定平面，利用余弦定理及三角形面积公式求解即可.
【详解】如图，取中点，中点，连接，

因为，平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，又，
平面，平面，所以平面平面，
即三角形为所得截面，
在中，，，
由余弦定理得，
所以，
所以.
故选：C.
2．
【分析】先求出球的半径，数形结合得到当点为截面圆的圆心时，过点的截面的面积最小，利用勾股定理求出最小截面圆的半径，求出答案.
【详解】设球的半径为，则，解得，当点为截面圆的圆心时，
即⊥截面时，过点的截面的面积最小，
设此时截面的半径为，则，
所以过点的截面的面积最小值为.
故答案为：
3．##
【分析】证明出的中点即为外接球的球心，从而得到外接球半径，再设O到平面AMN的距离为h，平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r，由等体积法求出，进而得到r，得到截面面积.
【详解】因为，M是PB的中点，所以，
又平面PBC，
所以AM⊥平面PBC，又BC平面PBC，所以，
又平面PAB，
所以平面PAB，又平面PAB，
所以，，
在△ABC中，，
所以，
在△PAC中，，所以，所以，
取PC的中点O，又，
所以，即点O是三棱锥的外接球的球心，
且，平面，所以平面，
平面，所以，
因为，故外接球半径为，
设O到平面AMN的距离为h，平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r，
因为MN是△PBC的中位线，所以O到平面AMN的距离等于B到平面AMN的距离，
故，即，得，
所以，
所以截面圆的面积为．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．
4．
【分析】连接，设截面交棱于点，连接、，利用面面平行的性质分析可知点为的中点，且四边形为等腰梯形，计算出该四边形的各边长及高，利用梯形的面积公式可求得截面的面积.
【详解】连接，设截面交棱于点，连接、，
在正方体中，且，
则四边形为平行四边形，所以，，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，则，
为的中点，则为的中点，
由勾股定理可得，，，
所以，四边形为等腰梯形，
过点、分别在平面内作、，垂足分别为点、，
由等腰梯形的性质可得，，
又因为，所以，，所以，，
因为，，，则四边形为矩形，所以，，
所以，，则，
因此，截面面积为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：
（1）直接法：截面的定点在几何体的棱上；
（2）平行线法；截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；
（3）延长交线得交点：截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
5．BCD
【分析】利用空间向量研究线面关系可判定A，利用等体积法可判定B，利用线面角的定义可判定C，利用平面的性质及面积公式结合函数的单调性可判定D.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，即，，
所以直线平面不成立，故A错误；
易知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角，
则，所以，故C正确；
设，作，则易知，，
由平面的性质可知过点的截面即平面，
由上可知，，
所以，
则与的距离为，
故截面面积，
令，易知函数在内单调递增，
所以，故，D正确.
由等体积法可知：，故B正确；
故选：BCD
6．ABD
【分析】
建立空间直角坐标系，对于A，用空间向量计算证明垂直即可判断；对于B，用空间向量求平面的法向量，再在法向量上的投影即可判断；对于C，补全完整截面为正六边形，直接计算面积即可判断；对于D，用空间向量求平面的法向量再计算二面角的余弦值即可判断.
【详解】
以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，，，，，
则，，
，，，
则平面，故A正确；
向量为平面的法向量，
且，，
所以到平面的距离为
，故B正确；
作中点，的中点，的中点，
连接，，，，，
则正六边形为对应截面面积，
正六边形边长为，
则截面面积为：，故C错误；
平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，
设两个平面夹角为，，故D正确．
故选：ABD．
7．ABC
【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面EFG的法向量，由列出方程，求出，得到点为的中点；
B选项，求出点到平面EFG的距离，利用余弦定理及三角形面积公式得到，得到三棱锥的体积；
C选项，利用空间向量求解线面角的大小；
D选项，作出辅助线得到过点、、作正方体的截面为正六边形，得到其面积即可.
【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面EFG的法向量为，
则，
令，则，故，
A选项，设，则，
因为平面，
所以，即，
解得：，
故，故，
，
所以，则点为的中点，A正确；
设点到平面EFG的距离为d，
则，
又，，，
即，
由余弦定理得：，
故，则，
由三角形面积公式可得：，
故三棱锥的体积为，B正确；
，设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为，C正确；
取的中点，的中点，的中点，连接，
则过点、、作正方体的截面，截面为正六边形，边长为，
正六边形的面积为
则截面面积为，D错误.
故选：ABC
8．A
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共面确定点的坐标，利用向量数量积及三角形面积公式即可求出.
【详解】由题意，平面，四边形为正方形，
如图，建立空间直角坐标系D-xyz，

则，，，，，，，
设，，则，
又，，所以，则，
由题意，四点共面，所以，
所以，解得，
所以，，所以，
所以，即，
所以，
所以，
又，
所以，即，
所以，
所以，
所以截面的面积为.
故选：A
9．A
【分析】过作交延长线于，为中点，连接，利用长方体性质及线面平行的判定证面、面，即面为平面，再延长交于，连接，利用线线、线面的性质确定面为平面截长方体所得截面，最后延长分别交于一点并判断交于同一点，根据已知结合余弦定理、三角形面积公式及求截面面积即可.
【详解】过作交延长线于，则，若为中点，连接，
而M为的中点，在长方体中，而且面，
由面，则面，由面，则面，
所以面即为平面，延长交于，
易知：为中点，则且，又且，
故为平行四边形，则且，故共面，
连接，即面为平面截长方体所得截面，
延长分别交于一点，而在中都为中位线，
由，，则，故交于同一点，
易知：△为等腰三角形且，，则，可得，
又.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用长方体的性质及线面平行的判定确定平面，再根据平面的基本性质找到平面截长方体所得截面，并应用余弦定理、三角形面积公式及相似比求截面面积.
10．D
【分析】取中点，连接，进而证明平面得到平面即为所求的平面，再求面积即可.
【详解】解：如图，取中点，连接，
因为在长方体中，，分别为棱，的中点，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为为中点，为棱的中点，
所以，
又因为，
所以，
所以四边形是平行四边形，
又因为平面，平面，
所以平面，
所以平面即为所求的平面，
又因为，，
所以面积为
故选：D
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑