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专题12 立体几何截面最值问题
【2024届成都市一诊理科数学T16】已知高，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值______．
在三角形中，由勾股定理得出球的半径，在和中，由公共边结合勾股定理得出截面圆的半径，进而得出截面面积的最小值.
解：，
在和中，，
．
（2020·湖北·校联考一模）
1．已知长方体各个顶点都在球面上，，，过棱作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为 .
（2023上·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校联考学业考试）
2．在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝3，BC＝CD＝3，BC⊥CD，将△ABD沿BD折起，使点A到达A′，且，则四面体A′BCD的外接球O的体积为 ；若点E在线段BD上，且BD＝4BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为 .
由锐角三角函数得出，再以公共边结合锐角三角函数得出截面圆的半径，进而得出其最小面积.
解：如图，的中点为垂直于中线，垂足于点，
，
，故．
建立坐标系，由公共边结合勾股定理得出截面圆的半径，进而得出截面面积的最小值.
解：，在三维坐标系中，
，
的中点坐标为，
，
令，，
．
（2022上·山东东营·高二东营市第一中学统考期中）
3．在长方体中，已知，E、F分别为、的中点，则三棱锥的外接球半径为 ，平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为 ．
（2023上·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）
4．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一，该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体.已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是

由勾股定理得出球的半径，进而当垂直截面时，截面的最小值，最后由半径得出面积.
解：，交球于，当垂直截面时，截面的最小值为：．
由勾股定理得出球的半径，设的中点为，过的截面为，当且时，截面面积最小，再由相似关系得出半径，进而得出面积.
解：设球半径为，球心为，则，设的中点为，过的截面为，当且时，截面面积最小，由相似关系得：
．
（2023·四川泸州·四川省叙永第一中学校校考模拟预测）
5．在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 ．
（2023下·宁夏银川·高一银川一中校考期末）
6．已知在球的内接长方体中，，，若为线段的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值为 ．
（2022·全国·高三校联考阶段练习）
7．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD, ，点E在棱PB上，且， 过E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是 .
（2022上·广西柳州·高三统考阶段练习）
8．已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为6，平面平面，点M在上，且，过点M作四边形外接球的截面，则截面面积的最小值为 .
（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）
9．已知正方体棱长为1，是上一点，且.经过点作平面截正方体的外接球，则截得的截面面积的最小值为
（2023上·贵州黔西·高二统考期末）
10．在长方体中，已知，，分别为，的中点，则长方体的外接球表面积为 ，平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．5
【分析】过棱作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为，求出球的半径，可得球心到截面的距离．
【详解】过棱作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为，
长方体各个顶点都在球面上，，，
球的半径为，
球心到截面的距离为．
故答案为：5.
【点睛】本题考查求球心到截面的距离，考查学生的计算能力，确定当截面面积最小时，截面的直径为是关键，是基础题．
2． π
【分析】第一空，由题意先画出图形，由勾股定理可知，，,该四面体是两个共斜边的直角三角形构成的，所以四面体A′BCD的外接球O在斜边的中点处，从而即可求出外接球的体积.
第二空，将四面体A′BCD放在长方体内观察，若要所得的截面中面积最小，只需截面圆半径最小，所以只需球心到截面的距离d最大即可，而当且仅当OE与截面垂直时，球心到截面的距离d最大，即，所以只需算出的长度即可.
【详解】第一空：由题意知，，，，由勾股定理可知，，，所以，，
取的中点O，所以，所以四面体A′BCD的外接球O在斜边的中点处，四面体A′BCD的外接球O的半径，
外接球O的体积.

第二空，根据题意可知，将四面体A′BCD可放在棱长为3的正方体内，如图所示，
过点E作球O的截面，若要所得的截面圆中面积最小，只需截面圆半径最小，设球O到截面的距离d, 只需球心到截面的距离d最大即可，而当且仅当OE与截面垂直时，球心到截面的距离d最大，即，取BD的中点F，，所以,
所以截面圆的半径为.

故答案为：①π，②.
3． ##
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量坐标，可以证明，取为中点，有，因此点为三棱锥外接球的球心，则，球心到平面的距离为，勾股定理可得截面圆的半径为，即得解
【详解】解：以点为原点建立空间直角坐标系如图所示：
依题意得：，，，
则，，
所以，则即；
设为中点，因为，，则，
所以点为三棱锥外接球的球心，则三棱锥外接球的半径为，
设球心到平面的距离为，又因为为中点，
所以点到平面的距离为，
由于，所以，
故截面圆的半径为，所以截面圆面积为，
故答案为：；
4．
【分析】根据给定的几何体，确定出球心O的位置，求出球半径，再建立空间直角坐标系求出点O到直线距离，进而求出最小截面圆半径作答.
【详解】依题意，四边形是正方形，令正方形与正方形中心分别为，连接，
因为正方形与正方形在同一平面内，且有相同中心，因此它们有相同的外接圆，
从而十面体与长方体的外接球相同，球心O是线段的中点，如图，

取中点M，连接，因为，则，显然，
又平面，则平面，
而平面，平面，即有，
平面，则平面，平面与平面有公共点，
显然平面与平面为同一平面，有，而，，
在直角梯形中，过作于I，，
球O的半径，
过D作平面，以点D为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系，
则，，
由已知得，即，
，，则点到直线的距离有：,
球被过直线的平面所截的截面圆最小时，球心到平面的距离最大，即为点到直线的距离，
截得的最小截面圆半径为，而，则
，
所以截得的截面圆面积的最小值是.
故答案为：
5．##
【分析】易得正方体外接球的球心在其中心点处，要使所求截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点．
【详解】如图，正方体外接球的球心在其中心点处，球的半径
要使所求截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点,
连接，则
所以
此时截面圆的半径，截面面积的最小值.
故答案为： .

6．##
【分析】先求得长方体外接球的半径，然后根据球的几何性质、勾股定理以及圆的面积公式求得截面面积的最小值.
【详解】如图，

在球的内接长方体中，
，，
设球的半径为，则，
所以球的表面积，
当球的截面，即为截面圆圆心时，球心到截面圆的距离时最大，
此时截面圆的半径最小，此时截面圆的面积最小，
而,所以，
所以截面圆面积.
故答案为：
7．##
【分析】将四棱锥补形为长方体可得球O球心与球O半径，则当EO与截面垂直时，截面面积最小.
【详解】如图，将四棱锥P-ABCD补为长方体，则此长方体与四棱锥的外接球均为球O，
则球O半径.O位于PC中点处.
因底面ABCD是矩形，则.因PA⊥平面ABCD，平面ABCD，则，又平面PAB，AB平面PAB，，则平面PAB.
因PB平面PAB，则.取PB的中点为F，
则，..
因，则，得.
则在直角三角形OEF中，.
当EO与截面垂直时，截面面积最小，
则截面半径为.
故截面面积为.
故答案为：
8．
【分析】先由面面垂直的性质得到平面，求得、、、，从而求得外接球的半径，再由平行线分线段成比例的推论证得三点共线，从而求得，从而求得截面面积的最小值.
【详解】由题意知和为等边三角形，取中点为连接，
则
由平面平面平面平面平面
故平面，，则易知，
易知球心在平面的投影为的外心，
在上作于，易得
则在中，，
所以外接球半径，连接
因为
所以三点共线，所以
当为截面圆圆心时截面面积最小，此时截面圆半径为，截面面积为.
故答案为：.
.
9．##
【分析】先求出球的半径，然后分析可得，当与截面垂直时，距离最大，此时截面圆的半径最小.利用向量表示出，即可根据数量积的运算律求得，进而根据球的性质得出，即可得出答案.
【详解】
如图，连结，取中点为，连结.
正方体的外接球是以为直径的球，，所以外接球半径.
因为经过点作平面截正方体的外接球，截面为圆，设圆的半径为.
根据圆的性质可知，圆心到截面的距离越大，圆的半径越小，
显然当与截面垂直时，距离最大，此时截面圆的半径最小.
因为，，
所以，
所以，
根据球的性质可知，，
所以，，，
所以，截面圆的面积为.
故答案为：.
10．
【分析】第一空，求出长方体的体对角线即可得长方体外接球的半径，即可求得外接球表面积；第二空，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，即可证明，从而确定三棱锥外接球的球心位置，求出外接球半径，继而求得截面圆半径，即可求得答案.
【详解】设长方体外接圆半径为R， ，，
所以长方体外接球表面积为；
以点为原点,以为轴，建立空间直角坐标系如图所示：
依题意得：，，，
则，，
所以，则即；
设为中点，连接,
因为，，则，
所以点为三棱锥外接球的球心，
则三棱锥外接球的半径为，
设球心到平面的距离为，又因为为中点，
所以点到平面的距离为，
根据长方体特征可知平面平面,
所以,又，而平面，
故平面，设交于H，则平面,
故到平面的距离为,
因为F为的中点，故，所以，
故截面圆的半径为，
所以截面圆面积为，
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：要求得平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积，关键点在于首先要确定外接球的球心位置，从而可得其半径，继而求出截面圆的半径，即可求得答案.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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