资源简介

专题1 解几中线段比例的范围问题
【2023上海真题16】已知O为坐标原点，点在抛物线C：上，过点的直线交抛物线C于P，Q两点，则的取值范围是______．
【方法名称】函数法
【思路分析】设点，利用B，P，Q三点共线，得到坐标关系，从而进一步表示出目标函数，通过换元后化简函数结构，利用基本不等式求得结果.
【详解】如图，因为点在抛物线C：上，得，
所以抛物线方程为，设点，不妨取，由点B，P，Q三点共线，得，得，故原式
，令
故原式，故答案为：或写成．
【举一反三】
1．已知直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为椭圆上一个动点，则的最大值与最小值之和为 ．
2．已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于、两点，则的最小值为 ．
【方法名称】函数法
【思路分析】利用直线参数方程中的参数的几何意义，代入抛物线消元快速得到目标函数的三角表达，利用同角三角函数关系转化为基本不等式结构，从而求得结果.
【详解】在抛物线方程得，故抛物线方程为
设直线PQ方程为（t为参数，为倾斜角，为钝角）
代入得，由判别式>0解得
所以则P和Q对应的参数满足
所以，其中
所以
所以．
【举一反三】
3．过点作斜率为的直线交椭圆于两点，若上存在相异的两点使得，则外接圆半径的最小值为 .
4．已知抛物线C：的焦点为F，过F点倾斜角为的直线与曲线C交于A、B两点（A在B的右侧），则 ．
5．已知椭圆的两个顶点分别为，，离心率为点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点，则与的面积之比为 .
6．已知直线经过点，倾斜角，与圆相交与两点，则点到两点的距离之积为 .
7．已知是抛物线的焦点，过点且斜率为2的直线与交于两点，若，则 .
8．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：椭圆C：，点B为C在第一象限中的任意一点，过点B作C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，则面积的最小值为 ．
9．已知，为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，直线l是曲线C的切线，，分别为，在切线l上的射影，则面积的最大值为 ．
10．设点P（，），Q（，）.定义P，Q两点的“直角距离”为已知点A和点B分别为直线与椭圆上两个动点，则d（A，B）的最小值为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】求出圆的圆心，根据题意可得、，利用平面向量的线性运算可得，即可求解.
【详解】圆，圆心，半径，
因为直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，
所以，又椭圆，则，，右焦点为，
所以
，
又，即，所以，
即，所以的最大值为，最小值为.
则的最大值与最小值之和为.
故答案为：
2．
【分析】当直线的斜率为，直接求出，直线的斜率不为，取椭圆左焦点，连接，，，，根据对称性可得，设，则，令，利用导数求出函数的最小值，即可得解.
【详解】椭圆，则，，所以，
若直线的斜率为，此时过原点的直线与椭圆交于左、右顶点，此时，
若直线的斜率不为，取椭圆左焦点，连接，，，，
易知四边形为平行四边形，即有，
设，则，故，
令，则，
所以当时，时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则在处取得极小值即最小值，
，
综上可得的最小值为．
故答案为：．
3．
【分析】根据题意可知在同一个阿氏圆上，可设设 为线段AB的外分点，由此可根据外接圆的直径为 ,列出等量关系，并表示出外接圆半径，设直线AB的参数方程，联立椭圆的方程，根据参数的几何意义，进行化简，可得答案.
【详解】由题意知点在椭圆内，故，
则可设，不妨设，
故可知在同一个阿氏圆上，设其半径为 ，不妨设A,B位置如图：
则由阿氏圆的定义可知， 为线段AB的分比为 的内分点，设 为分比为的外分点，
则 ,
则 ,
故,即 ,
故 ；
设直线AB的方程为 （t为参数，为倾斜角， ），
代入到中得到： ，
，设其两根为 ，则 ，
故，
由于，其中为锐角，
故 ，当时，取到最大值 ，
故 的最小值为 ，
当时，同理可解得的最小值为，
故答案为：
4．##
【分析】由已知条件求出的坐标，进而求出直线的参数方程，并与抛物线联立，求出，根据直线参数方程参数的几何意义即可求解.
【详解】抛物线C：，焦点坐标为，
过点的直线的倾斜角为，，
直线的参数方程为（为参数），
代入抛物线方程可得：，
解得：，
则.
故答案为：.
5．##
【分析】先根据已知条件求得椭圆的方程.设出的坐标，根据直线、、的方程求得，进而求得与的面积之比.
【详解】焦点在轴上，两个顶点分别为点，，，
，，
椭圆的方程为；
设，，可得，
直线的方程为：，
，，直线的方程：，
直线的方程：，
直线与直线的方程联立可得 ，
整理为：，即，
，计算可得，
代入直线的方程可得.，则，
又.
故答案为：
6．2
【分析】由题意可得出直线的参数方程，再代入圆的方程，利用根与系数的关系及直线参数方程的几何意义即可求出.
【详解】因为直线经过点，倾斜角，
所以直线的参数方程为： （为参数），
代入圆得到：
，
设、对应的参数分别为、，则，，
所以
故答案为：2
【点睛】本题考查了直线的参数方程以及几何意义，属于一般题.
7．4
【分析】法一：设出的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦半径得到，从而列出方程，求出答案；
法二：写成直线的参数方程，代入抛物线方程，利用参数的几何意义得到方程，求出答案.
【详解】法一：由题意，故的方程为，与的方程联立得，
显然，设，则，
所以，又，
所以，
所以.
法二：直线的斜率为2，设其倾斜角为，则，故，
故直线的参数方程为（为参数），代入，
整理得，，显然，
设该方程的两根为，则，则，所以.

故答案为：4
8．2
【分析】设，根据题意，求得过点B的切线l的方程，即可求得M、N坐标，代入面积公式，即可求得面积S的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】
设，由题意得，过点B的切线l的方程为：，
令，可得，令，可得，
所以面积，
又点B在椭圆上，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最小值为2.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：设出点的坐标直接写出过点B的切线方程，进而求得面积S的表达式，再利用基本不等式求解.
9．##4.5
【分析】取切点为P，利用椭圆的光学性质设，由直角三角形三边关系可得，，根据三角形面积公式及三角函数的性质计算即可.
【详解】详解：如图，延长至，使得，
由题意可知：，故，，三点共线，
因为为斜边上的中线，故．
取切点P，连接，，作．
由椭圆的光学性质可设，
，
同理可得，
由上分析可得，时取得最大值．
故答案为：
10．
【分析】根据新定义，利用参数法，表示出椭圆上一点与直线上一点的“直角距离”，然后分类讨论求出最小值．
【详解】设直线上的任意一点坐标，
椭圆上任意一点的坐标为
由题意可知
分类讨论：
①，
②
③，
∴椭圆上一点与直线上一点的“直角距离”的最小值为．
故答案为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑