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专题2双曲线方程
【2023年天津第9题】
双曲线的左 右焦点分别为.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为.已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【方法名称】坐标法
【思路分析】本题根据已知条件得到点P F1的坐标，然后利用直线的斜率公式将目标坐标化，建立等量关系.
如图，因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，
所以..因为，所以，所以，所以，
所以，因为，所以，
所以，解得，所以双曲线的方程为，故选：D
【举一反三】
【海南省文昌中学2023届高三模拟预测】
1．已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
2．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，，．若的垂心为的焦点，且点在双曲线上，则双曲线的方程为 ．
【方法名称】几何法+正弦定理
【思路分析】由双曲线的焦点到渐近线的距离为，即得；再分别在与中，利用正弦定理得到的关系，求出（或），即可得到双曲线的方程.
如图所示，，不妨设渐近线方程为，即，则，所以，且.
设，，则，得
在中，由正弦定理可得，即，①
在中，由正弦定理可得，即，②
，得③，又④，
由③④得，，解得，
又，所以双曲线的方程为，故选：D.
【举一反三】
【浙江省名校协作体2022-2023学年高三下学期开学联考适应性】
3．如图，设，是双曲线的左、右焦点，过点作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点，若的面积为，离心率满足，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【辽宁省实验中学2023届高三第五次模拟】
4．设O为坐标原点，，是双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的一条切线，切点为T．线段交C于点P，若的面积为，且，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【方法名称】几何法+构造直角三角形
【思路分析】借助△OPF2为直角三角形，且PB垂直OF2，根据相似比得到OB，PB，进而明确BF2，利用解直角三角形得到转化为的关系.
由已知可得，，中，由面积公式：，
再有，
，由①②得，.
【举一反三】
5．已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【四川省泸州市2023届高三三摸】
6．设为坐标原点，，是双曲线：的左、右焦点．过作圆：的一条切线，切点为，线段交于点，若，的面积为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【方法名称】几何法+余弦定理
【思路分析】在中，利用余弦定理和余弦定理，建立等量关系.
∵，∴，在中，，
又，∴，
又，
联立，解得，
∴.
【举一反三】
7．已知双曲线的左、右焦点分别是、，是其右支上的两点，，则该双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【陕西省宝鸡市2023届高三三模】
8．已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为，且到l的距离为，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为，PQ为的平分线．则下列正确的是（ ）
A．双曲线的方程为 B．
C． D．的面积为
【方法名称】几何法+平行四边形的几何性质+正弦定理
【思路分析】由O为中点，借助平行四边性的性质可知，然后利用在中正弦定理建立等量关系.
设，，，
，在中，，
，，，故.
【举一反三】
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过原点的直线与交于，两点．若，，则的方程为 ．
【四川省内江市高中2023届高三第三次模拟】
10．设，分别是双曲线）的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足，，则双曲线的方程为 ．
【湖南省郴州市2023届高三下学期5月适应性模拟】
11．已知双曲线的离心率为，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，若四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【甘肃省定西市2023届高三下学期高考模拟】
12．已知双曲线C：的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若的周长为36，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【天津外国语大学附属外国语学校2022-2023学年高二上学期期末线上质量监测】
13．已知双曲线H：（），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【河南省大联考2022-2023学年高二下学期期末】
14．已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，.以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点A，双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，则直线的斜率为 .
15．已知，分别是双曲线的左、右焦点，M是双曲线C的右支上一点，双曲线C的焦点到渐近线的距离为3，与的夹角为，，则双曲线C的标准方程为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据双曲线的定义及勾股定理得出，再根据点在双曲线上求双曲线方程.
【详解】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，
如图所示，过点作于点.

因为，所以，
因为，
所以，所以，
故，得.
因为，所以，故点，
将代入双曲线中，
即，化简得，
，
解得或（舍去），故B项正确.
故选：B.
2．
【分析】首先求出、的坐标，依题意可得，即可得到，再根据点在双曲线上，求出、，即可求出双曲线方程；
【详解】解：双曲线的渐近线为，
由，解得或，所以，
由，解得或，所以．
∵为的垂心，，即，解得，
∵点双曲线上，即，∴，即双曲线方程为；
故答案为：
3．B
【分析】根据几何关系列出关于渐近线倾斜角与面积的等量关系式，求出渐近线的倾斜角，从而根据渐近线方程计算的值，确定双曲线的方程
【详解】设双曲线的渐近线的倾斜角为，则，在等腰三角形中，根据正弦定理可得：，得，所以，解得或，又，，所以，从而，所以双曲的方程为，
故选：B．
【点睛】本题目比较巧妙的地方在于借助渐近线的倾斜角，得到倾斜角与的关系，结合解三角形的方法来表示三角形的面积，求出的值；题目也可以用渐近线方程直接求解
4．A
【分析】由双曲线定义，的面积，直角△中的锐角三角函数和△中的正弦定理、余弦定理建立，，之间的关系方程，再求解即可.
【详解】
由圆的方程知，，
又，在直角△中，，
且.
在△中，则，故.
在△中，，
由正弦定理，，则，
∴由双曲线定义，，又，，则，
∴，即.
∵为直角，易知为钝角，由知，，
在△中，由余弦定理，，
∴，
∴，整理得，
∴.
又，将代入，解得.
∴双曲线C的方程：.
故选：A
【点睛】关键点点睛：建立起，，之间的关系，通过方程组进行求解.作为选择题，可以适当运用解题技巧：当得到，之间的第一个关系时，可通过将选项中的，依次代入检验，快速选出正确选项.
5．D
【分析】设，连接，则有，，，，在直角三角形中，由可得，在直角三角形中，由可得，再结合，即可求得答案.
【详解】解：设，则，
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，
连接，则有，，
由于在以为直径的圆周上，
∴，
∵为平行四边形，
∥，
∴，
在直角三角形中，，
即，
解得，
所以，；
在直角三角形中，，
即，得，
又因为，
所以，，
所以双曲线的方程为.
故选:D.
6．D
【分析】由双曲线定义，的面积，直角中的锐角三角函数和中的正弦定理、余弦定理建立，，之间的关系方程，再求解即可.
【详解】
由圆的方程知，，
又∵，∴在直角中，，
且.
在中，，的面积，
∴.
在中，，
由正弦定理，，
∴，
∴由双曲线定义，，
又∵，，∴，
∴，即.
∵为直角，∴易知为钝角，∴由知，，
在中，由余弦定理，，
∴，
∴，整理得，
∴.
又∵，将代入，解得.
∴双曲线的方程为：.
故选：D.
【点睛】本题的解题关键，是建立起，，之间的关系，通过方程组进行求解.作为选择题，可以适当运用解题技巧：当得到，之间的第一个关系时，可以通过将选项中的，依次代入检验，快速选出正确选项.
7．D
【解析】先根据长度关系以及双曲线的定义求解出，然后利用对应的余弦定理即可求解出的值，从而双曲线的方程可求.
【详解】设，则，
，由得，
设，
由余弦定理可知：
由①，②得，又，，
∴双曲线方程为.
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线方程的求解，其中涉及到互为邻补角对应的余弦定理以及双曲线的定义，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较难.如果两个角互为邻补角，则两角的余弦值和为零.
8．D
【分析】由题求得双曲线的方程，利用角平分线定理及双曲线的定义，解出，的长，选出正确选项.
【详解】因为一条渐近线方程为，所以，
因为到l的距离，所以，双曲线的方程为，A错误；
因为，，，由角平分线定理，，
即，B错误；
又因为，所以，，
因为，在中，由余弦定理得 ，则，
，，
，C错误；
的面积为，D正确；
故选：D.
【点睛】由双曲线上点到两个焦点的距离之差的绝对值为2a，求得，，结合三角形知识解决面积等问题.
9．
【解析】根据题意，作出示意图，构造平行四边形，根据双曲线定义，结合余弦定理即可求解
【详解】由过原点的直线与交于，两点，
则，在双曲线的两支，且，
连结，，则四边形为平行四边形，
所以，，．
在中，由余弦定理得，
，
即，化简得，．
又由双曲线的定义，，即．
所以，
故．从而，故双曲线的方程为．
故答案为：.
【点睛】本题考查双曲线方程的求解，注意其定义的使用，以及本题中平行四边形的构造，属中档题.
10．
【分析】作图，根据图中的几何关系以及条件求出b即可.
【详解】依题意作下图：
由条件 知：E是 的中点，并且 ，所以 是等腰三角形， ，
又 ， 的外接圆是以O为圆心， 为半径的圆， ，
由 知 ，在 中， ，
， ，
根据双曲线的定义有： ，即 ，
双曲线的方程为： ；
故答案为：.
11．B
【分析】根据离心率求出，得渐近线方程为，设直线的倾斜角为，则，求出，利用面积求出即可得解.
【详解】因为双曲线的离心率为，所以，得，
所以双曲线的渐近线方程为，
设直线的倾斜角为，则，
由对称性不妨令点A，B分别在第一、四象限，坐标原点为O，则，
于是得，
而双曲线的虚半轴长为b，即，
显然四边形为矩形，其面积，得，所以，
所以双曲线的方程为．
故选：B．
12．D
【分析】由题意可得，则直线为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义和的周长为36，可求出，从而可求出双曲线的方程.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
所以，则双曲线方程为，，，
所以直线为，设，
由，得，
则，
所以，
因为，，
所以，
因为的周长为36，所以，
所以，得，所以双曲线方程为，
故选：D
13．B
【分析】根据给定条件，求出双曲线在第一三象限的渐近线倾斜角正切，再结合四边形面积求解作答.
【详解】双曲线H：的渐近线方程为：，令直线的倾斜角为，则，
由对称性不妨令点分别在第一、四象限，坐标原点为O，则，
于是得，而双曲线的虚半轴长为3，
即，显然四边形为矩形，其面积，解得
所以双曲线的方程为.
故选：B
14．
【分析】根据条件求出双曲线方程再结合圆的方程，联立可解出点坐标，进一步计算即可.
【详解】,,
又一条渐近线的倾斜角为，所以，结合，
可解的
所以双曲线的方程为①，
又线段为直径的圆的方程为②，
联立①②，结合点在第一象限，可得,
又,则
故答案为：.
15．
【分析】先由焦点到渐近线的距离求出b，再利用向量知识及定义得到，，最后利用余弦定理及，求出a，即可求出双曲线的标准方程
【详解】∵双曲线的一条渐近线为，即，
故焦点到渐近线的距离，∴.
∵向量与的夹角为，∴.
∵，
∴，∴，
由双曲线的定义知，，∴，.
在中，由余弦定理知
，
又，∴，∴，
∴该双曲线的标准方程为.
故答案为：.
答案第1页，共2页
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