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专题5 解析几何中动态最值问题
（浙江省台州市2024届高三第一次教学质量评估试题）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是______．
设点，切线的方程为，继而求得切线的斜率，由 可求得的方程，与直线联立可求得点的坐标，继而消参可求得点的轨迹方程，则结合图形可求得得范围.
因为点为抛物线：上的点（不为原点），所以可设点，且
当切线的斜率不存在时，切点为原点不合题意；当切线的斜率存在时，可设为，
联立，消去可得，化简可得，
令，可得，化简可得，即，
又，所以的斜率，所以的方程，
因为点，所以的斜率为，
则的方程为，联立，解得，
即，当时，的方程为， 的方程
则或，满足由两式相除可得，即
由，可得再代入，可得，
化简可得，可得，
可知点轨迹为半径为的圆，圆心为，
结合图形可知，
又，，
则.
故答案为：
1．今有，点，又点是上动点，过作的切线，切点分别是，直线与交于点，则的最大值是 ．
2．已知O为坐标原点，A，B均在直线上，，动点P满足，则的最小值为 ．
通过引入动点表示相关直线OQ、PF，解得：，表示出目标函数，借助导数法研究它的最值.
令，则切线方程为，∴法线的斜率为
∴，OQ的方程为：
又PF的方程为：
解得：，
∴
令，
；；
；
即时，时，，∴
∴
3．已知点，，点为圆上一点，则的最小值为 ．
4．已知平面向量满足，且，则的最大值是 ．
利用光学性质捕捉到点T的动态轨迹在以F为圆心半径为1的圆上，再通过数形结合，求得
过点P作x轴的平行线PA交OQ于点B，由光学性质得∠BPQ＝∠TPQ，又PQ⊥BT，故△PBT为等腰三角形，所以∠PTB＝∠PBT＝∠TOF，所以△OFT是等腰三角形，FT＝OF＝1，故点T在以F为圆心半径为1的圆上，故．
5．已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是 .
6．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上的点均满足，则实数的取值范围是 ．
7．已知圆，点，从坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，若切线的斜率分别为，，且，则的取值范围为 ．
8．在中，内角所对的三边分别为，且，若的面积为，则的最小值是 .
9．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点与两定点的距离之比为(，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点为圆上的动点，，则的最小值为 .
10．已知A，B分别为抛物线与圆上的动点，抛物线的焦点为F，P，Q为平面内两点，且当取得最小值时，点A与点P重合；当取得最大值时，点A与点Q重合，则 .
11．已知平面内非零向量，，，满足，，，若，则的取值范围是 .
12．设点，，直线，于点，则的最大值为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】设，利用三角形相似求出点的坐标，代入所在的直线方程求得点的轨迹方程为圆，将问题转化为圆上的点到定点的距离的最值进行求解即可．
【详解】解：设，因为，所以，所以，
所以，又点是上动点，所以代入，
化简得，即（不同时为零），故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（去掉点），
所以的最大值是点到圆心的距离加上半径，故的最大值是
故答案为：．

【点睛】方法点睛：在求直线与圆的位置关系的相关问题时，注意运用平面几何的性质，得出线段间的关系，从而转化为点的坐标的关系，得出动点的轨迹得以解决．
2．
【分析】设，，根据条件可得，得到圆心坐标后可求得圆心在直线上，利用到直线的距离减去半径即可求得的最小值.
【详解】设，，
因为，所以，
因为，所以，
即，
整理得，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，
易得圆心在上，
又点到直线的距离，
故.
故答案为：.
3．
【分析】设，利用两点间距离公式可表示出，令，可化简得到；利用导数可求得在上的最小值，对比可得最终结果.
【详解】圆的方程可整理为：，
则可设，，
，；
令，
，，，则，
，令，
当时，；
当时，；
令，则；
当时，，， 即，
在上单调递增，
令，即，解得：，
当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，；
，在上的最小值为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：本题考查圆上的点到两定点的距离之差的最值问题的求解，解题基本思路是将所求距离之差表示为关于某一变量的函数的形式，通过导数判断出函数的单调性后，通过求解函数最值得到所求距离之差的最值.
4．.
【分析】由数量积得的值，设出、、，得到点C的轨迹方程，
方法1：设出点C的参数坐标，代入转化为求三角函数的最大值即可得结果.
方法2：设出点C的坐标，代入转化为求圆上的点到定点的距离的最大值即可得结果.
【详解】∵ ， ，，
∴，
又∵ ，
∴，
∴设，，，则，，
∵ ，
∴ 即：，
∴，
则点C的轨迹是以AB为直径的圆，
又∵AB的中点，半径为
∴点C的轨迹方程为：，①
方法1：∴设，
则，
∴，
∴.
故答案为：.
方法2：设，
则，
∴，
∵的几何意义为：①上的点与点的距离，
∴的最大值为：①的圆心到点M的距离与①的半径之和，
即：，
∴，
故答案为：.
5．
【分析】根据直线系求出定点，再由垂直确定动点轨迹为圆，根据圆心距离判断圆的位置关系，利用圆的几何性质求出取值范围即可.
【详解】依题意，直线恒过定点，
直线恒过定点，
因为，所以直线，
因此，直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，
其方程为：，圆心，半径，
而圆C的圆心，半径，如图：
，两圆外离，
由圆的几何性质得：，，
所以的取值范围是：.
故答案为：
6．或
【分析】将条件坐标化，先转化为恒成立，即圆上所有动点到定点距离的最小值大于，再转化为与圆心距离的不等关系求解可得.
【详解】设，由点，
即点满足，即，
设点，即恒成立
则，圆上所有点到定点最小值大于，
又圆，半径为，
圆上所有点到定点最小值即为：.
.
即，化简得，
解得或.
故答案为：或.

7．
【分析】先根据题意得到直线，的方程，再根据直线与圆的位置关系得到，结合，即可求得圆心的轨迹方程，求出，再由圆的性质可得的取值范围．
【详解】由题意可知，，半径为2，直线，，
因为直线，与圆相切，
所以，，
两边同时平方整理可得，
，
所以，是方程
的两个不相等的实数根，所以．又，
所以，即，则；
又，
根据圆的性质可得，
所以，
即．
故答案为：.

【点睛】思路点睛：求解定点到圆上动点距离的最值问题时，一般需要先求圆心到定点的距离，判定定点与圆的位置关系，再结合圆的性质，即可求出结果；也可根据圆的参数方程，结合三角函数的性质求解.
8．
【分析】由三角形面积公式得到，利用角A的三角函数表达出，利用数形结合及的几何意义求出最值.
【详解】因为△ABC的面积为1，所以，
可得，由，可得
，
设，其中，
因为表示点与点连线的斜率，
如图所示，当过点P的直线与半圆相切时，此时斜率最小，

在直角△OAP中，，可得，
所以斜率的最小值为，
所以m的最大值为，所以，所以，
即BC的最小值为，
故答案为：
【点睛】思路点睛：解三角形中最值问题，要结合基本不等式，导函数或者数形结合，利用代数式本身的几何意义求解.
9．
【分析】首先进行转化，假设存在这样的点，使得，则，设点，可得，该圆对照，所以，求得点，再由，即可得解.
【详解】
假设存在这样的点，使得，则，设点，则，
即，
该圆对照，所以，所以点，
所以.
故答案为：
10．
【分析】如图，利用抛物线和圆的几何性质可知，当时取得最小值；当且仅当A为射线与抛物线的交点，且为射线与圆的交点（为线段上的点），取得最大值.直线、的方程分别联立抛物线方程，求出点、的坐标，结合两点距离公式计算即可求解.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：
过点A作抛物线的垂线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，则，
当时，取最小值，此时取最小值；
直线的方程为，联立，解得，即，
点到圆上任意一点的距离，
当且仅当为射线与圆的交点，且为线段上的点.
所以，
当且仅当A为射线与抛物线的交点，且为射线与圆的交点（为线段上的点），取得最大值.
直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，解得，即，
所以，
故答案为：.
11．
【解析】建立平面直角坐标系，设，由所给等式求出点A、B的坐标，设，由可知点C在以为圆心，1为半径的圆上，问题转化为圆上的点到定点的距离的范围.
【详解】，，，，
又，的夹角为，
建立如图所示直角坐标系，
设，则，，设，
，，
则点C在以为圆心，1为半径的圆上，
的取值范围转化为圆上的点到定点的距离的范围，
圆心到点的距离为，
的取值范围为.
故答案为：
12．6
【分析】先求出直线过定点，再根据条件求出点的轨迹方程，再结合轨迹方程求出的最大值．
【详解】直线，则，
则，解得，，即直线恒过点，
设，，，
，即，
故点的轨迹为，
该轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
．
故答案为：6.
答案第1页，共2页
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