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专题7 圆锥曲线第二定义的应用
【浙江省9+1高中联盟2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题】人教A版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆上动点P到左焦点的距离和动点P到直线的距离之比是常数．已知椭圆C：，F为左焦点，直线l：与x相交于点M，过F的直线与椭圆C相交于A，B两点（点A在x轴上方），分别过点A，B向l作垂线，垂足为，则（ ）
A． B．
C．直线MA与椭圆相切时， D．
由第二定义得出，由结合相似性质得出，进而由第二定义证明，联立直线和椭圆方程，由判别式等于0结合韦达定理、对称性得出，由锐角三角函数的定义结合第二定义得出.
对A：，则，，，A对
对B：过A作，由，
，
∴，∴，B对
对于C：设，，
，∴，∴，C错，
对于D：，
又，则，D对.
1．《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数.若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”，则下列结论正确的是（ ）
A．动点的轨迹方程为
B．直线为成双直线
C．若直线与点的轨迹相交于两点，点为点的轨迹上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则
D．点为点的轨迹上的任意一点，，，则面积为
2．已知椭圆内有一点，是椭圆的右焦点，点在椭圆上，则的最小值是 ，此时点的坐标为 ．
由锐角三角函数的定义结合第二定义得出，由正弦定理结合第二定义、得出，根据椭圆的对称性得出轴，结合通径公式得出，由，及、平行线的性质证明.
解：在中：记，
又∵，∴，
在中，，∴，
同理，∴
B选项成立
对于C项：由对称性及AB过F，当直线MA与椭圆相切时，轴，此时，故C错
对于D：由以上结论：，及，即，而，∴
3．动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是 .
4．已知椭圆上一点到右准线的距离为，则点到它的左焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．椭圆上有一点，它到右准线的距离是，则点到右焦点的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的焦点为.对于上一点，若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，则点的横坐标为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
7．已知抛物线的焦点为，点，射线与交于点，与的准线交于点，且，则点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．1
8．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．在平面直角坐标系中，设椭圆上一点到左焦点的距离为，到右焦点的距离为，则点到右准线的距离为 ．
10．若点P为双曲线上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到直线的距离之比为离心率e，若C的右支上存在点Q，使得Q到左焦点的距离等于它到直线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．BC
【分析】对A，根据题意先求出动点P的轨迹方程判断即可;对B，联立与，得出二次方程，根据判别式判断是否有解即可;对C，设，再表达出，结合椭圆的方程求解即可;对D，根据焦点三角形的面积公式求解即可.
【详解】对A，设，则，即，化简得，故A错;
对B，联立，消去得，，故直线上存在这样的点，
所以为成双直线，故B正确;
对C，设，则，所以
，故C正确.
对D，易得分别为椭圆的左右焦点，，
设，根据余弦定理得，
解得，则，
（或根据结论得面积为，）故D错误.
故选：BC.
2． 3
【分析】根据椭圆方程求出离心率与右准线方程，设在右准线上的射影为，利用椭圆的第二定义，把转化到右准线的距离，利用“两点间的距离最短”和条件，求出最小值以及对应的点的坐标．
【详解】解：由椭圆的方程，可知，，，所以，右准线．
如图，设在右准线上的射影为，
根据椭圆的第二定义，有，即，所以．
显然，当、、三点共线时，有最小值，
即．
此时，将代入椭圆的方程得或（舍去），所以．
故答案为：；.
3．
【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解.
【详解】因为动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，
所以，即，
整理可得：，即，
故答案为：.
4．A
【分析】根据圆锥曲线统一定义可求得，由椭圆定义可求得.
【详解】设分别为椭圆的左、右焦点，到左准线的距离为，到右准线的距离为，
由圆锥曲线的统一定义知：，解得：，
又，解得：，到它的左焦点距离为．
故选：A.
5．A
【解析】根据椭圆方程，先求出椭圆离心率，结合题中条件，由椭圆的第二定义，即可得出结果.
【详解】由得，，则，
所以椭圆离心率为，
记点到右焦点的距离是，又点到右准线的距离是，
根据椭圆的第二定义可得，
，即.
故选：A.
【点睛】本题主要考查椭圆第二定义的应用，考查求椭圆上的点到焦点的距离，属于基础题型.
6．D
【解析】由抛物线的定义可得准线垂直时，为等腰三角形，线段的垂直平分线交准线于点此时为等腰三角形，所以点与重合，即可得为等边三角形，利用即可求解.
【详解】
所以准线垂直时，由抛物线的定义可得，此时为等腰三角形，
作线段的垂直平分线交准线于点，则，
此时为等腰三角形，
因为若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，
所以与重合，所以，所以，
所以为等边三角形，
，，
所以，整理可得：，
解得：或（舍）
所以则点的横坐标为，
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是紧扣准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，可得准线垂直时的点应该是线段的垂直平分线与准线的交点，可得为等边三角形.
7．B
【分析】结合抛物线定义可得：，即，即，则，求得直线的方程，联立即可求得的横坐标，即可求得点到轴的距离．
【详解】解：抛物线的准线为，如图过作，
由抛物线定义得：，由，
则，则，，
则，
即，则，
抛物线方程，焦点，则直线的方程为：，
，整理得：，
解得：，或，
由于射线与交于点，则点的横坐标，
点到轴的距离，
故选：B．
8．B
【分析】根据得，，再换元利用函数的单调性求解.
【详解】解：由双曲线的第二定义可知，，
右支上的点，满足，
由，解得，
在右支上，可得，可得，即，则，
令，，可得
而在，单调递减，，，，
故选：B
9．2
【分析】利用椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，可得2m＝2a＝3+1，解得a＝m，可得b2＝m2﹣1，．设P点到右准线的距离为d，再利用椭圆的第二定义可得，即可解得d．
【详解】∵椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，
∴2m＝2a＝3+1，
解得a＝m＝2，∴b2＝m2﹣1＝3，
∴1．
设P点到右准线的距离为d，则，解得d＝2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、椭圆的第二定义，属于基础题．
10．
【分析】若Q到的距离为有，由题设有，结合双曲线离心率的性质，即可求离心率的范围.
【详解】由题意，，即，整理有，
所以或，
若Q到的距离为，则Q到左、右焦点的距离分别为、，又Q在C的右支上，
所以，则，又，
综上，双曲线的离心率的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：若Q到的距离为，根据给定性质有Q到左、右焦点的距离分别为、，再由双曲线性质及已知条件列不等式组求离心率范围.
答案第1页，共2页
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