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专题4解析几何中的面积问题
（2024皖豫联盟）已知椭圆C：的离心率为，上顶点为A，过左焦点的直线与C交于D，E两点，过右焦点的直线经过A点，且．若四边形的面积为，则C的长轴长为______．
通过已知条件结合弦长公式分别求出底边AF2和高DE的长度，利用平面图形的面积公式进行计算.
设椭圆C的半焦距为c（c＞0），，则，椭圆C：．由题可知为等边三角形，因为过且垂直于的直线与C交于D，E两点，所以．由线段垂直平分线的性质可得，直线DE的方程为，与C的方程联立化简可得，由根与系数的关系可得，所以，
所以，解得c＝1，则a＝2．故c的长轴长为2a＝4．
1．已知，两点分别为椭圆的左焦点与上顶点，为椭圆上的动点，则面积的最大值为 .
2．椭圆内接矩形面积的最大值为 ．
通过对原本的几何图形进行合适的分割（通常水平或竖直方向切分，这样使得高可以直接和坐标建立关联，方便使用韦达定理），，让它转化为一系列更易计算的图形面积.
（这里仅给出的不同算法）
3．在直角坐标系中，已知椭圆的右顶点 下顶点 右焦点分别为A，B，F. 若直线与椭圆E的另一个交点为C，求四边形的面积.
4．已知椭圆：的左 右顶点分别为，下顶点为.
(1)设点为椭圆上位于第一象限内一动点，直线与轴交于点.直线于轴交于点，求四边形的面积；
(2)设直线l与椭圆交于不同于右顶点的两点，且，求的最大值.
利用直线的参数方程为（t为参数）t的几何意义，将线段长度问题转化为参数的运算，从而简化计算.
∵，∴，∴，∴
∵，∴
易知，的参数方程为（t为参数）
设D的参为，E的参为
将代入中，∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，∴
∵，∴，∴
5．已知椭圆：，椭圆：，动点在上运动，过作的两条切线，切点分别为A，B.
(1)求直线AB的方程（用，表示）；
(2)O为坐标原点，求四边形OAPB的面积.
（提示：过椭圆C：上一点与C相切的直线方程为）
6．已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,点(0,)是椭圆与y轴的一个交点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线x=2与椭圆交于P,Q两点,点P位于第一象限,A,B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点;
①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的取值范围;
②当点A,B在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ时,直线AB的斜率是否为定值 若是,求出此定值;若不是,说明理由.
7．已知双曲线离心率为，，分别是左、右顶点，点是直线上一点，且满足，直线，分别交双曲线右支于，两点.记，的面积分别为，.
(1)求双曲线的方程；
(2)求的最大值.
8．已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线.
(1)若的坐标为，求证：为的角平分线；
(2)过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值.
9．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，斜率为，与双曲线交于两点，求的面积.
10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，焦距是实轴长的倍且过点（4，﹣）
（1）求双曲线方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
（3）在（2）条件下，若M F2交双曲线另一点N，求△F1MN的面积.
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，双曲线方程为，直线与双曲线的交点为且．
（Ⅰ）求椭圆与双曲线的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，交双曲线于两点，当的内切圆的面积取最大值时，求的面积．
12．如图，抛物线与圆交于A，B，C，D四点，直线AC与直线BD交于点E．
(1)请证明E为定点， 并求点E的坐标；
(2)当的面积最大时，求抛物线M的方程．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【解析】由椭圆的方程可得，的坐标，进而求出直线的方程，及的长度，当三角形的面积最大时为过点的直线与直线平行且与椭圆相切，设过的直线方程与椭圆联立，由判别式等于0可得参数的值，即可求解.
【详解】由椭圆方程可得，
所以直线的方程为：，
由题意可得当过的直线与直线平行且与椭圆相切时，
两条平行线间的距离最大时，三角形的面积最大，
设过点与平行的切线方程为：，
直线与直线的距离为，
联立直线与椭圆的方程可得： ，
整理可得：，
，可得，解得，
所以当时最大，
这时的最大值为：
.
故答案为:.
【点睛】本题考查椭圆内接三角形面积最值、直线与椭圆的位置关系，意在考查直观想象、数学计算能力，属于中档题.
2．4
【分析】设椭圆内接矩形一条对角线的方程为，不妨设，联立椭圆方程与直线方程求出第一象限的交点坐标，则内接矩形的面积可以用k表示出来，再结合基本不等式的知识可求最大值.
【详解】由题意的方程可知：矩形的对角线的斜率存在．
设椭圆内接矩形一条对角线的方程为，不妨设．
联立，
化为，取第一象限的顶点，
解得，所以
∴内接矩形的面积．当且仅当时取等号．
故椭圆的内接矩形的面积的最大值为4．
故答案为：4.
3．
【分析】写出直线方程，与椭圆方程联立求得点坐标后，可求得四边形面积；
【详解】由题意，，，，
所以直线方程为，
由得或，所以，
所以.
4．(1)四边形的面积为定值2
(2)
【分析】（1）依据点斜式表示出直线的方程和直线的方程，列出的表达式化简即可得面积为2.
（2）由根与系数的关系，可得，而，即可求得的最大值.
【详解】（1）因为椭圆的方程为，所以.
设，则，即.
，则直线的方程为：，
令，得；
同理，直线的方程为：，
令，得.
所以
.
即四边形的面积为定值2.
（2）由题意知，直线的斜率不为0，
则不妨设直线的方程为.
联立消去得，
，化简整理，得.
设，则.
因为，所以.
因为，所以，
得，
将代入上式，
得，
得，
整理得到：，解得或（舍去），.
所以直线的方程为，则直线恒过点，
所以.
设，则，
易知在上单调递增，
所以当时，取得最大值.
又，
所以.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
5．(1)
(2)
【分析】（1）根据切线方程，联立即可求解，
（2）联立和椭圆的方程，得韦达定理，由弦长公式以及点到直线的距离公式表达面积即可求解.
【详解】（1）不妨设，，：，：，
∴A，B处的切线方程分别为，，
因为这两条直线均过，
∴，
∴：.
（2）当时，联立 ，
∵，代入上式，化简得，
则，，
∴，
到直线的距离，
O到直线的距离，
∴，
当时，经验证面积也为，
所以综上：四边形OAPB的面积为定值
6．（1）；（2）见解析
【分析】⑴设椭圆的方程为=1(a>b>0)，由椭圆的性质求出，由此求得椭圆的方程
⑵①设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的方程为，与椭圆联立，得到，由此利用韦达定理，弦长公式求出四边形APBQ的面积的取值范围
②当时，设直线PA的方程为，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理即可求得答案
【详解】(1)设椭圆的方程为=1(a>b>0),由题意可知,b=,a2=b2+c2,解得a=2,
∴椭圆C的方程为=1.
(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=x+t,
联立
消y可得,2x2+4tx+4t2-8=0,
即x2+2tx+2t2-4=0,
则有x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4.
对于=1,令x=2,得P(2,1),Q(2,-1),
将P,Q分别代入直线可得,t=0,t=-2,
由点A,B在直线x=2的两侧,故-2四边形APBQ的面积为
S=S△APQ+S△BPQ
=|PQ|·|x2-x1|
=×2×|x2-x1|
=
=,
而-2②当∠APQ=∠BPQ时,直线PA,PB的斜率之和为0,
不妨设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,
所以直线PA的方程为y-1=k(x-2),
即kx-y+1-2k=0,
联立
消去y可得,(1+4k2)x2+8k(1-2k)x+4(1-2k)2-8=0,
所以x1+2=.
同理直线PB的方程为y-1=-k(x-2),
可得,x2+2=,
所以x1+x2=,x1-x2=,
所以kAB=
=
=
=,
故直线AB的斜率为定值.
【点睛】本题主要考查了求圆锥曲线的标准方程，圆锥曲线的定义，性质的应用，还考查了直线和圆锥曲线相交的性质，直线的斜率公式，韦达定理的应用，有一定的计算量，属于难题．
7．(1)
(2)
【分析】（1）设，可判断，表示出，，即可求出，再根据离心率求出，从而求出，即可得解；
（2）由（1）可知直线，的方程。联立直线与双曲线方程求出、，由，代入转化为关于的式子，再换元利用函数的性质计算可得.
【详解】（1）依题意设，，，
若，此时，，则，，不符合题意，所以，
则，，又，
所以，解得，又，所以，则，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）可知直线：，：，
由，消去整理得，
所以，又，所以，
由，消去整理得，
所以，又，所以，
综上可得，
所以，，
又，
又
，
所以，
令，则，
所以，
令，则，所以，
所以当时，
即时.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）易得点处的切线方程，根据交轴于点，由判断；
（2）过的切线，由时，得到，联立，得到，再由，然后由求解.
【详解】（1）解：由题意点处的切线为，
所以过点处的切线方程为，
交轴于点，则，
即，所以为的角平分线；
（2）过的切线，
当时，即不为右顶点时，，
即，
（或由直线与单支有两个交点，则也可）
联立
设，则
所以
又
所以，
，
当时，即点为右顶点时，，
所以，
所以的最小值为.
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知渐近线相同，设出双曲线的方程为，即可代入点求出答案；
（2）根据第一问中双曲线的方程得出，，根据已知得出直线的方程，即可联立消去，设，，则可根据韦达定理得出，，根据双曲线的性质得出，即可计算得出答案.
【详解】（1）双曲线与双曲线的渐近线相同，
则双曲线的方程可化为，
将点代入可得：，解得，
故双曲线的方程为：，即；
（2）由第一问可得，，
因为直线经过，斜率为，
则直线的方程为，即，
代入双曲线的方程中，得：，
设，，
则，，
根据双曲线的性质可知与符号相反，
则，
因为，
所以，
则.
10．（1）x2﹣y2=6；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）求出离心率e，故可等轴设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠2），过点（4，﹣），可得16﹣10=λ，即可求双曲线方程；
（2）求出向量坐标，利用向量的数量积公式，即可证明结论.
（3）利用M与F2可得直线方程，求出N的纵坐标，然后求解三角形的面积.
【详解】（1）∵焦距是实轴长的倍，
∴e=，故可等轴设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠2），
∵过点（4，﹣），∴16﹣10=λ，
∴λ=6.
∴双曲线方程为x2﹣y2=6.
（2）证明：由（1）可知：在双曲线中，a=b=，∴c=2.
∴F1（﹣2，0），F2（2，0）.
∴=（﹣2﹣3，﹣m），
=（2﹣3，﹣m）.
∴=+m2=﹣3+m2.
∵M点在双曲线上，∴9﹣m2=6，∴m2=3.
∴，
∴点M在以F1F2为直径的圆上；
（3）由（2）不妨M（3，），F2（2，0），直线M F2的方程为：y=（﹣2﹣）（x﹣2），代入双曲线方程可得：
消去x可得：（6﹣4）y2﹣4（2﹣）y+6=0，
因为M的纵坐标为，
所以N的纵坐标为： ，
解得y2=﹣（2+），
△F1MN的面积为： =12+4.
【点睛】本小题主要考查双曲线标准方程的求法，考查向量数量积的坐标运算，考查直线和双曲线的交点的求法，考查双曲线中三角形的面积，考查运算求解能力，属于中档题.
11．（Ⅰ）椭圆方程为．双曲线方程为；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，可得，由可求点,代入双曲线的方程可得，从而可求出椭圆与双曲线的方程；（Ⅱ）设，，不妨设，，内切圆半径，由椭圆定义可知的周长是，又因为，当圆的半径最大时，面积最大，又因为，即面积最大时，圆的面积最大，又，所以设出直线方程，与椭圆方程联立，可得，换元，转化为，由基本不等式求解即可．
【详解】（Ⅰ）椭圆：的离心率为，则，
不妨设，由得，，
把代入双曲线方程得，解得，
所以椭圆方程为．所以双曲线的方程为．
（Ⅱ）设，点的坐标分别为，不妨设，，内切圆半径．
所以的周长是，
所以，
所以当圆的半径最大时，面积最大，即，
设直线的方程为，
，消去得，
解得，，
所以，
不妨设，于是，
因为在上单调递增，
所以，
当且仅当时取到．
故直线与椭圆交于两点使得的内切圆的面积最大．
所以，所以，即，
故的面积为
12．(1)证明见解析，
(2)
【分析】
（1）设出A、B两点的坐标，将抛物线与圆方程联立，消去，得到二元一次方程，表示出直线的方程，结合上面韦达定理和抛物线的点可得E点坐标；
（2）根据对称性，的面积可以由表示，利用第（1）问的韦达定理得出的结论化简，可找出的面积的表达式，结合函数的最值，求出，即可求出抛物线M的方程.
【详解】（1）证明：设，，则，．
由得，
则有
解得．又，所以．
由圆与抛物线的对称性可知，点在轴上，
设．直线的方程为，
则，所以．
又，得，
所以，所以为定点，坐标为．
（2）由题意知的面积与的面积相等，设的面积为．
如图，连接AD，BC，AB，CD四边形ABCD为等腰梯形，其面积为，
则
由（1）知，，，
所以，
所以
，
当时，的最大值为6，这时抛物线的方程为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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