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专题3 复杂背景的离心率的求解问题
【2023·湖北·高三统考阶段练习 题8】如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，且内切圆的圆心在直线上.则双曲线的离心率是（ ）
【方法名称】几何法
【思路分析】极化恒等式结合焦点三角形性质求解
解法2：如图1，取中点为Q，连接EQ，PQ.则，
.
因，则，因直线外一点到直线连线中垂线段最短，则为垂线.因Q为中点，E为中点，则
，得.又DO为直角三角形斜边中线，则.
如图2，设内切圆的圆心为I，内切圆与交点为M，与交点为T，与交点为N.则，，又，则.
又由切线性质，可知，则
.
则离心率为.
故选：D
解法2：向量的线性运算、数量积运算律结合焦点三角形性质求解
取中点为，连接，.
则，，则，
同理，
又因为，所以，
而为上任一点，故是所有线段中的长度的最小值，故，
在中，分别为的中点，，故，故，
在，为的中点，所以，故，
在中，设内切圆与三边的切点分别为，因为
所以而，故，故，
故，故选：D
【举一反三】
1．已知为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰的内切圆的圆心，过作于点，，则椭圆的离心率为 .
2．已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．
【方法名称】数形结合法
【思路分析】数量积结合二次函数的性质判断垂直，再结合焦点三角形性质求解
解法3：如图，设，
故，
设，依题意知当与重合时最小，即时最小，
而，故即，故.
如图2，设内切圆的圆心为I，内切圆与交点为M，与交点为T，与交点为N.则，，又，则.
又由切线性质，可知，则
.
则离心率为.
故选：D
解法4：设，
则，故，
故，所以，
整理得到：
，其中，
由题设可得当且仅当时，取最小值，故，
所以，故，
所以，所以即，
如图2，设内切圆的圆心为I，内切圆与交点为M，与交点为T，与交点为N.则，，又，则.
又由切线性质，可知，则
.
则离心率为.
故选：D
【举一反三】
3．已知椭圆的上、下焦点分别为、，焦距为，与坐标轴不垂直的直线过且与椭圆交于、两点，点为线段的中点，若，则椭圆的离心率为 ．
4．已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆C在第一象限存在点M，使得，直线与y轴交于点A，且是的角平分线，则椭圆C的离心率为 .
【方法名称】代数法
【思路分析】利用二次函数的最值结合距离公式求解
设，
，
由题意当时得取最小值，
所以
即为直角三角形斜边上的中线，即
不妨设内切圆圆心为，半径为，
同理可得：
解方程组可得
则离心率
故选：D
【举一反三】
5．已知椭圆：的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率 ．
6．已知椭圆，是长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，且为常数，则椭圆离心率为 .
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上一点，点是直线与轴的交点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率 ．
8．，是椭圆E：的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足，，则椭圆E的离心率为 .
9．若椭圆上存在一点M，使得（，分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为 .
10．已知椭圆的一个焦点为，椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围是 ．
11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M，N两点，若且，则椭圆C的离心率为 ．
12．已知椭圆左右焦点分别为，下顶点，过的直线交椭圆于点，点关于轴的对称点为，若，则椭圆的离心率为 .
13．已知，分别为椭圆的左 右焦点，点P在第一象限内，，G为重心，且满足，线段交椭圆C于点M，若，则椭圆C的离心率为 .
14．已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，为椭圆上一点，直线与直线交于点，的角平分线与直线交于点，若，的面积是面积的6倍，则椭圆的离心率是 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．##0.6
【分析】延长交延长线于点，可得，为的中位线，从而可得，，再由椭圆的定义可求出的值，由即可求出椭圆的离心率.
【详解】
因为，即，所以，
因为点是以为底的等腰三角形内切圆的圆心，则，
所以为的角平分线，延长交延长线于点，
在与中，，所以，
所以，，所以为的中点，
又为的中点，所以为的中位线，
所以，则，
所以，即，所以.
故答案为：.
2．##
【分析】设椭圆的左焦点为，利用已知条件结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，再利用勾股定理方程组求解即可.
【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，，，

由直线交椭圆于两点﹐及，
结合椭圆的对称性可得，
所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形，
设，则，，，
所以在直角中，即①，
在直角中，即②，
由②解得，
将代入①得，即，
所以，
故答案为：
3．##
【分析】作出图形，分析可知为等腰直角三角形，设，则，利用椭圆的定义可得出，，在中，利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值.
【详解】因为点为线段的中点，，则，
所以，为等腰直角三角形，

设，则，
由椭圆的定义可得，
所以，，
所以，，
由勾股定理可得，即，
整理可得，因此，该椭圆的离心率为.
故答案为：.
4．
【分析】首先设，再根据题意和椭圆的定义求得，转化为关于的等式，进而求得椭圆的离心率.
【详解】由题意得，
又由椭圆的定义得，
记，则，，
则，所以，
故，
则，则，即
等价于，得：或（舍）
故答案为：
5．##0.5
【分析】设直线的方程, 代入椭圆方程, 由韦达定理, 弦长公式及中点坐标公式, 求得中点坐标 坐标, 求得垂直平分线方程, 当时, 即可求得点坐标, 代入即可求得, 即可求得 , 即可求得和的关系, 即可求得椭圆的离心率.
【详解】因为倾斜角为的直线过点，
设直线的方程为: , ,
线段的中点,
联立 ，化为，
，
，
的垂直平分线为:,
令 , 解得 ,.
,
,则 ,
椭圆的离心率为,
故答案为:.
【点睛】关键点睛：运算能力是关键；本题考查简椭圆的简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,直线的垂直平分线的求法, 属于较难题.
6．##
【分析】设，由三点共线，可得，再由点在椭圆上，得，然后化简，再由其为常数可得，从而可求出离心率.
【详解】由题意设，
因为三点共线，所以，得，
因为，所以，
所以
因为为常数，所以，
所以，得，
所以，所以离心率，
故答案为：

7．
【分析】设内切圆与AM切于Q，与切于P，由切线性质知，结合椭圆定义建立的关系求得.
【详解】
设内切圆与AM切于Q，与切于P，由切线性质知，，，
由对称性知，
所以，即，
所以，
所以.
故答案为：
8．
【分析】根据，得到，且是的角平分线，再结合和角平分线定理得到，然后在中，利用勾股定理求解.
【详解】解：因为，
所以，则是的角平分线，
所以，
又因为，
所以，设，
由椭圆定义得，
即，解得，
则，
则，
所以，则，
故答案为：
9．
【分析】方法一：设点M的坐标是，则，由题意，即，结合点M在椭圆上，可得，即可求出椭圆的离心率的取值范围；
方法二：设点M的坐标是，由已知可得出关于、的方程组，求出，可得出关于、、的不等式组，由此可解得椭圆的离心率的取值范围；
方法三：设椭圆的一个短轴端点为P，由题意，则，进而可求得椭圆的离心率的取值范围.
【详解】方法一：设点M的坐标是，则.
∵，，∴，.
∵，∴，即.
又点M在椭圆上，即，
∴，即，
∴，即，
又，∴，
故椭圆的离心率e的取值范围是.
方法二：设点M的坐标是，
由方法一可得消去，得，
∵，∴，
由②得，此式恒成立.
由①得，即，∴，则.
又，∴.
综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是.
方法三：设椭圆的一个短轴端点为P，
∵椭圆上存在一点M，使，
∴，则，（最大时，M为短轴端点）
∴，即，
又，∴，
故椭圆的离心率e的取值范围为.
故答案为：.
10．
【分析】不妨设，设，表示出，，依题意可得有解，根据数量积的坐标表示得到方程在上有解，由二次方程根的分布知识得到关于的不等式，解得即可．
【详解】依题意不妨设为椭圆的左焦点，则，
设，则，，，则，
若存在点使得，则存在点使得，
即在上有解，
即在上有解，
令，显然，，
所以，即且，
由，即，解得或，
由，即，解得或，
又，所以，即．
故答案为：．

11．##
【分析】如图所示，作，垂足为由，可得，E点为的中点．，由，可得利用勾股定理即可得出．
【详解】如图所示，

作，垂足为
，，点为的中点．
，
，则，
则，即，，
在中，，在中，，
，化简可得：，
，，解得
故答案为 ：
12．##
【分析】由题意联立直线的方程和椭圆方程可求出点的坐标，进而求出点坐标，因为，则，代入可得，化简方程即可求出离心率.
【详解】设，，
则直线的方程为：，
所以联立可得：，
解得：或，
所以，则，
因为点，关于轴的对称点，则，
，
因为，则，
化简可得：，即，
即，则.
故答案为：.
13．##
【分析】根据G为△重心，是中线且满足得，再应用余弦定理求解即可.
【详解】因为G为△重心，是中线且满足，
即，故,
所以，
且，，又，
，
在△中应用余弦定理得,
所以，则.
故答案为: .
14．
【分析】利用垂直关系而得出，利用内角平分线定理.利用面积比值得出结论。
【详解】由题意知，，，，当时，.
由，得，.
又的角平分线与直线交于点，可知，所以.
，解得，椭圆的离心率是.
故答案为：.
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