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专题6 有关张角的最值问题
(山东省日照市2024届高三上学期期中校际联合考试数学试卷T16)已知函数，点A，B是函数图象上不同的两个点，则（为坐标原点）的取值范围是________.
基于张角的动态形成过程，结合动点A、B所在图象的几何特征，通过数形结合，易知当OA，OB分别与曲线相切时，最大.
令，，∴，
画草图，
显然当OA，OB分别与曲线相切时，最大
设相切时，则，得
设OA倾斜角为，则
设相切时，则，
设OB倾斜角为，则，
又显然当A，B，O三点可以共线，此时，
综上.
1.定义：点P为曲线外的一点，A，B为曲线上的两个动点，当取最大值时，为点P对曲线的张角.已知点P为直线l：上的动点，A，B为圆O：上的两个动点，设点P对圆O的张角为，则的最大值为 .
【答案】
【分析】当过点O的直线与直线l垂直时张角最大，即可求解.
【详解】由题可知点P在圆O外，当PA，PB均与圆O相切时，
最大，则也最大，此时.
要使最大，则最小，又的最小值为点O到直线l的距离，
所以，所以.
故答案为：
2. 如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得对于曲线G上的任意两个不同的点恒有成立，则称角为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中e是自然对数的底数），点O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则 .
【答案】1
【分析】求过原点曲线的两条切线，求解两切线的夹角即可.
【详解】函数，
因为，
所以该函数在单调递减，在单调递增.
过原点作的切线，设切点，
由，则切线的斜率为，
直线过，
∴，∴，
即，由函数与的图象在有且只有一个交点，
且当时满足方程，故方程有唯一解，则；
过原点作的切线，设切点，
由，得切线的斜率，
则切线过原点，
则有，∴，
则，则有，
∴两切线垂直，曲线C的相对于点O的“确界角”为，
则，.
故答案为：1.
基于动点A、B的变化，通过坐标，将张角，分别将正切值通过函数关系表达，然后通过导数法和基本不等式求出最值.
，，
考查，
当时，，而，
∴时，，当时，
∴，∴，∴
1.已知曲线C，直线，点，，以曲线C上任意一点M为圆心、MF为半径的圆与直线l相切，过点的直线与曲线C交于A，B两点，则的最大值为 .
【答案】
【分析】先由动点的轨迹得出曲线轨迹方程，通过选设直线方程与抛物线方程联立得出韦达定理，接着验证过定点的两直线的斜率之和为零，得出两直线关于轴对称，从而将求的正切值转化为求的正切值，再结合表达式运用基本不等式，函数单调性即得.
【详解】
如图，
依题意，曲线C上任意一点M到定点的距离等于点到定直线的距离，故点M的轨迹是抛物线，其轨迹方程为：.
设直线AB的方程为，由消去得：，不妨设，，则必有且，，分别记直线的斜率为，则 ，
所以.（两直线的斜率之和为0.则两直线关于x轴对称）
设，则，当且仅当时等号成立，所以，（利用基本不等式求出的范围）
则，不妨设记，则，因在上为减函数且恒为正数，故在上为增函数，则有故的最大值为.
故答案为：.
2. 已知椭圆的左，右顶点分别为，动点P在C上（异于点），点Q是弦的中点，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】设出点坐标，求得坐标，进而求得的表达式，并利用三角恒等变换、基本不等式等知识求得的最大值.
【详解】依题意，设，
根据椭圆的对称性，以及题目所求“的最大值”，不妨设，
，则，即，
所以
由于，所以由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
【点睛】在椭圆中，求解最值有关问题，如线段长度、面积、角度等量的最值，可考虑先求得其表达式，然后根据表达式的结构选取合适的求最值的方法来进行求解，如本题中，利用三角换元，然后结合基本不等式来求.还可以考虑二次函数的性质、函数的单调性等知识来进行求解.
通过常见的切线放缩：，将，从而使得最值更快的求解出来.
画出的草图，时，在单调递增，
所以在单调递增，
设，，
当且仅当时，取“＝”，所以，
（证明：）
令，则，∴，∴，即，∴
当直线OB与图像相切时，最大
设OB方程，令，即，∴，∴，
∴，∴，∴
1．已知函数．A，B为函数的图象上任意两点，O为坐标原点，则的最大值为 ．
2．定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为 .
3．已知 分别为椭圆 的左、右焦点， 是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点， 则 的最大值为 ．
4．已知是椭圆的左，右焦点，过点的直线与椭圆交于A，B两点，设的内切圆圆心为，则的最大值为 .
5．已知是拋物线上两点，且，为焦点，则最大值为 .
6．在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长大约为40米，宽大约为20米，球门长大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线上某点处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角最大，则大约为（ ）（精确到1米）
A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
7．足球场上有句顺口溜：冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，射点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为标准对称的足球场示意图，设球场长，宽，球门长.在某场比赛中有一位左边锋球员欲在边线AB上点M处射门，为使得张角最大，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆，过点与圆上一点的直线的斜率范围是 ；若点A恰好为过其所在的直线中对圆O张角最大的点（张角是指这个点到圆所作两条切线的夹角），则此直线的表达式为 ．
9．如图，是两个新建小区，到公路的垂直距离分别为，且，中国移动决定在线段两点之间找一个点P建立一个信号塔（P不与重合），当P对两地的张角越大时，信号的辐射范围越大．
①当为直角时， ；
②当 ，信号的辐射范围最大．
10．如图所示，边长为2（百米）的正方形区域是某绿地公园的一个局部，环线是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与平行，端点是该抛物线的顶点且为的中点，端点在上，且长为（百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.
(1)求弯道段所确定的函数的表达式；
(2)绿地管理部门欲在弯道段上选取一点安装监控设备，使得点处监测段的张角最大，求点的坐标.
11．如图，、是两个小区所在地，、到一条公路的垂直距离分别为，，两端之间的距离为.
（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对、的张角与对、的张角相等，试确定点的位置.
（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对、所张角最大，试确定点的位置.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．##
【分析】首先根据题意分析出点A，B分别在两段曲线上，并数形结合得到直线OA，OB分别与两段曲线相切且A，B均为切点时最大，不妨设，（其中，），然后利用导数的几何意义及平面几何知识得到，，最后利用两角和的正切公式即可得解．
【详解】解：当时，由，得，
故当时，函数的图象是四分之一圆．
在平面直角坐标系中作出函数的大致图象，如图所示，
要使最大，则A，B两点分别在两段曲线上，
不妨设，（其中，），
数形结合可知最大时，直线OA与的图象相切且A为切点，
直线OB与圆相切且B为切点．
由，得，
当直线OA与的图象相切时，，
化简得．
令，易得为增函数且，所以，所以．
当直线OB与圆相切时，设直线OB的方程为，
则，得．
所以，
所以的最大值为．
故答案为：
2．
【分析】先根据新定义，利用二倍角公式判断最小时最小，再设，利用距离公式，结合二次函数最值的求法求得最小值，即得结果.
【详解】解：如图，，
要使最小，则最大，即需最小.
设，则，
∴当，即时，，，
此时或，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
本题的解题关键在于理解新定义，将的最小值问题转化为线段最小问题，结合二次函数求最值即突破难点.
3．
【分析】设出点，由，求出，再利用基本不等式得出的范围，得解.
【详解】
由椭圆的方程知右顶点为，左右焦点分别为，，设，不妨设，则，，
，
当且仅当，即时等号成立，
又，
，
所以的最大值是.
故答案为：.
4．##
【分析】最大当且仅当最大，即最小，再利用余弦定理结合椭圆的定义求解作答.
【详解】因为为的内切圆圆心，则，
显然是锐角，当且仅当最大时，最大，且最大，
又，即有最小，
在椭圆中，，
在中，
，当且仅当时取等号，
因此当，即为正三角形时，取得最大值，取最大值，
所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正余弦定理，椭圆定义．
5．
【分析】根据抛物线的几何意义，再利用余弦定理与基本不等式求余弦的最小值再判断即可.
【详解】拋物线的焦点，
由题得，，
即，
故
，
即，因为，且余弦函数在内单调递减，
故，当且仅当时成立.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径公式与余弦定理的综合运用等，需要根据题意列出对于的余弦定理，再利用基本不等式分析最值,属于中等题型.
6．C
【分析】利用表示出，再结合基本不等式求解.
【详解】由题意知，，设，则，所以，当且仅当，即时取等号，又因为，所以大约为10米.
故选：C.
7．B
【分析】设，利用两角差的正切公式求出，再由均值不等式求最值即可求解.
【详解】设，
则，,
所以，
因为 ,当且仅当,即等号成立，
所以时，有最大值，由正切函数单调性知，此时张角最大.
故选：B
8．
【分析】由过点A的直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值，设出直线方程，由解出斜率即可求解；先判断出越小张角越大，显然当垂直直线，求出直线斜率，写出方程即可.
【详解】
如图建立平面直角坐标系，为坐标原点，显然当过点A的直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值，
设过点A的直线：，直线与圆相切：解得：，则斜率范围是．
如图，当，则越小张角越大，当垂直直线时，最小即张角最大，
此时直线斜率，故直线方程为：，即.
故答案为：；.
9． 1或2##2或1 ##
【分析】（1）设，，当时，，代入式子求解即可；（2）当时，，通过换元，将式子变形，对正切函数求最值即可得到答案.
【详解】设，
，
①当时，
，
解得或2，所以此时或；
②当时，，
由题意，张角要达到最大，，
令取负数时，
对应的是钝角，时，，
当且仅当时取等，由正切函数单调性可知，
此时张角为达到最大．
即.
故答案为：1或2；
10．(1)；
(2).
【分析】（1）如图建立平面直角坐标系，可得抛物线方程为，即得；
（2）设，利用两角和公式可得，令再利用基本不等式可得的最大值，即求.
【详解】（1）如图建立平面直角坐标系，
则，
设抛物线的方程为，则，
∴，即，
∴弯道段所确定的函数；
（2）设，过P作PQ⊥CD于Q，
则，
∴，
令则，
∴，
当且仅当，即，时取等号，
∴当时，最大，即最大，
∴点的坐标为时，点处监测段的张角最大.
11．(1)；（2）．
【详解】试题分析：（1）设?，我们只要利用已知列出关于的方程即可，而这个方程就是在两个三角形中利用正切的定义，，，因此有，解之得；实际上本题可用相似形知识求解，，则，由引开出方程解出；（2）要使得最大，可通过求，因为
，只要设，则都可用表示出来，从而把问题转化为求函数的最值,同（1）可得，这里我们用换元法求最值，令，则有，注意到，可取负数，即为钝角，因此在取负值中的最小值时，取最大值.
（1）设，，.
依题意有，. 3分
由，得，解得，故点应选在距点2处. 6分
（2）设，，.
依题意有，，
10分
令，由，得，，
12分
，，
当，所张的角为钝角，最大角当，即时取得，故点应选在距点处. 14分
考点：(1)角相等的应用与列方程解应用题；（2）角与函数的最大值.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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