资源简介

专题 9 圆锥曲线第三定义的应用
【2023~2024学年河南省新乡市第一次模拟】16．已知分别是双曲线的左、右顶点，且，为上一点，，则点到轴的距离为__________．
设，点到轴的距离为，由双曲线方程、斜率公式可得，结合正切的定义、勾股定理得出．
设，点到轴的距离为，
则，
所以，解得，所以点到轴的距离为．
1．椭圆：的左顶点为，点是椭圆上的两个动点，若直线的斜率乘积为定值，则动直线恒过定点的坐标为 .
2．已知直线与双曲线相交于M、N两点，双曲线C的左、右顶点分别为A、B，若直线AM与BN相交于点P，则下列说法正确的有 （填写正确命题的序号）
①实数的取值范围为或；②直线AM与直线BN的斜率之积为定值；③点P在椭圆上；④三角形PAB的面积最大值为ab.
由双曲线方程、距离公式以及，联立方程组，得出点到轴的距离．
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴设，∴，
②－③得⑤，且①可写为
将⑤代入得⑥，③可写为⑦
联立⑥⑦，只有两元
∴故距离为．
3．设为常数，动点分别与两定点，的连线的斜率之积为定值，若点的轨迹是离心率为的双曲线，则的值为（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．
4．已知是椭圆上关于原点对称的两点，若椭圆上存在点，使得直线斜率的绝对值之和为1，则椭圆的离心率的取值范围是 .
作轴于H，由结合余弦定理得出，再由等面积法结合双曲线方程得出
，作轴于H，
，
，
又因为P在双曲线上：
由①②③联立得：．
5．已知分别为椭圆（）的左、右顶点，是椭圆上的不同两点且关于轴对称，设直线的斜率分别为，若点到直线的距离为1，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
6．设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ）
A． B．
C． D．
7．椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是
A． B． C． D．
8．双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上且直线斜率的取值范围是[-4，-2]，那么直线斜率的取值范围是
A． B． C． D．
9．已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是
A． B． C． D．
10．设椭圆的左,右顶点为是椭圆上不同于的一点,设直线的斜率分别为,则当取得最小值时,椭圆的离心率为
A． B． C． D．
11．“过原点的直线交双曲线于，两点，点为双曲线上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值”．类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论：过原点的直线交椭圆于，两点，点为椭圆上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线：（，）的上、下顶点分别为，，点在双曲线上（异于顶点），直线，的斜率乘积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【详解】当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx+m，
由，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，
又A（﹣2，0），由题知kAB kAC==﹣，
则（x1+2）（x2+2）+4y1y2=0，且x1，x2≠﹣2，
则x1 x2+2（x1+x2）+4+4（kx1+m）（kx2+m）
=（1+4k2）x1x2+（2+4km）（x1+x2）+4m2+4
=+（2+4km）+4m2+4=0
则m2﹣km﹣2k2=0，
∴（m﹣2k）（m+k）=0，
∴m=2k或m=﹣k.
当m=2k时，直线BC的方程为y=kx+2k=k（x+2）.
此时直线BC过定点（﹣2，0），显然不适合题意.
当m=﹣k时，直线BC的方程为y=kx﹣k=k（x﹣1），此时直线BC过定点（1，0）.
当直线BC的斜率不存在时，若直线BC过定点（1，0），B C点的坐标分别为（1，），（1，﹣），满足kAB kAC=﹣.
综上，直线BC过定点（1，0）.
故答案为（1，0）.
点睛：定点 定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点 定值问题同证明问题类似，在求定点 定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点 定值显现.
2．①②
【分析】由直线与双曲线交于两点即可判断①正确；根据，得可判断②正确；由②得，进而得时，P在椭圆上，当，则点P在圆上，可判断③；当点P在椭圆的上下顶点时，直线PA与双曲线的渐近线平行
【详解】解：①由直线与双曲线交于两点，则：或，故①正确；
②由点M在双曲线C上，故设，则，即，
因为，则
又因为，所以，故②正确；
③，因为 ，，
所以，即
设，则，整理得
故当时故点P在椭圆上；
若，则点P在圆上，故③错误；
④由点P在椭圆的上下顶点时，则：，故此时直线PA与双曲线的渐近线平行，
与直线PA与双曲线有两个焦点矛盾，
故AM与BN的交点不可能位于椭圆的上下顶点，故④不成立.
故答案为：①②
3．A
【解析】根据题意可分别表示出动点P与两定点的连线的斜率，根据其之积为定值，求得x和y的关系式，对的范围进行分类讨论，当时，方程的轨迹为双曲线，根据圆锥曲线的标准方程可推断出离心率，从而求得λ的值．
【详解】依题意可知，整理得，
当时，方程的轨迹为双曲线，
即，
，，
，
.
故选：A
【点睛】本题主要考查双曲线的应用，考查计算能力，属于基础题.
4．
【详解】分析：由是椭圆上关于原点对称的两点，易知斜率之积为定值，结合均值不等式即可建立关于的不等式，从而得到椭圆的离心率的取值范围.
详解：不妨设椭圆C的方程为,,则，
所以，,两式相减得，所以，所以直线斜率的绝对值之和为，由题意得，，所以=4，即，所以，所以.
故答案为
点睛：：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
5．B
【详解】设，则，，，又，点到的距离为，解得，故选B.
【 方法点睛】本题主要考查双曲线的方程以及几何性质、离心率的求法，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．
6．C
【分析】设动点，根据已知条件，结合斜率公式，即可求解.
【详解】解：设动点，则，
则，，，
直线与直线的斜率之积为定值，
，化简可得，，
故点的轨迹方程为.
故选：C.
7．B
【详解】设P点坐标为，则，，，
于是，故.
∵ ∴.故选B.
【考点定位】直线与椭圆的位置关系
8．C
【详解】试题分析：根据双曲线的方程可知，的坐标分别为，，设点的坐标为，则，，且因为点在双曲线上，所以，不难发现，再结合，解得，故选C．
考点：双曲线的简单性质．
【思路点睛】本题中我们可以看到给出的两条直线具有相关性，即具有公共点，且它们各自所经过的定点，是关于原点对称的，此时不难想到两条直线的斜率之间必然会有某种关系．那么解题的关键是找出两条直线斜率之间的等式关系，再根据已知直线的斜率的取值范围，求解未知直线的斜率．
9．A
【分析】由题意，关于原点对称，设，，
，故选A.
【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质与离心率，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用，斜率之积的范围为，得到 ，进而构造出关于的不等式，最后解出的范围.
10．D
【分析】设，利用斜率公式求得，结合在椭圆上，化简可得，令，则，利用导数求得使取最小值的，可得时，取得最小值，根据离心率定义可得结果.
【详解】由椭圆方程可得，
设，则,
则，
，
，
令，则，
，
在上递减，在上递增，
可知当时，函数取得最小值，
，
，故选D.
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质、直线的斜率公式的应用，以及椭圆的离心率，利用导数求函数的最值，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
11．B
【解析】利用椭圆与双曲线方程形式上的类似，结合椭圆方程化简即可得到的值.
【详解】“过原点的直线交双曲线于，两点，点为双曲线上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值”，
类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论：过原点的直线[交椭圆：于，两点，若直线，的斜率均存在，则，
证明如下：
设，则，且，
设，
则，
所以
又，，
代入可得：
故选：B
【点睛】类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一 致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).
12．B
【解析】设点由直线，的斜率乘积为得到，则渐近线可求.
【详解】设点，又，，则 ，
所以，又因为点在双曲线上得，
所以，故，所以
则双曲线的渐近线方程为.
故选：B
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑