资源简介

专题10 同解方程解抛物线与圆结合问题
【2023·山东省枣庄市高三下学期第二次模拟考试】己知点在抛物线上，过点A作圆的两条切线分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的方程为______.
先求得抛物线方程，设切线方程，结合直线与圆相切得，再将切线方程与抛物线联立消含参表示纵坐标，利用点在抛物线上含参表示斜率结合点斜式及坐标关系、韦达定理消元求直线方程即可.
将点代入抛物线得，
设过点A的直线为，
由直线与圆相切可得：，即，
，，其中、为AB、AC的斜率倒数，
直线与抛物线联立，整理可得：，
则，同理，
所以，
故BC：，
即，化简得.
1．已知点P为直线上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，点A，B在直线l上的射影分别为D，C，若四边形的面积为32，则点P的横坐标为 ．
（2011·浙江·高考真题）
2．已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M
（1）求点M到抛物线C1的准线的距离；
（2）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．
角度一：先利用点在抛物线上计算得抛物线上两点连线所得直线方程：，将点坐标换做点坐标，则点对应B点或C点，利用直线与圆的位置关系计算得，根据韦达定理知，，再代入抛物线上两点连线方程即可；
角度二、同角度一先得出抛物线上两点连线所得直线方程，再利用直线与圆的位置关系得，
结合在抛物线上得，从而得出BC方程.
角度一、
先推导抛物线上两点连线的方程：
设抛物线上两点，，
得两点式：，
即 ，
即，
即，
可设过A的直线为：，其中P为抛物线上一点，即B或C，
与圆相切得：，
即，所以，，
所以BC：，
即.
角度二、
同角度一，先推导抛物线上两点连线的方程，
则设过A的直线为：，其中P为抛物线上一点，即B或C，
与圆相切得：，
即，即，
B、C为的解，B、C在直线上，
过两点直线唯一，故BC：.
总评：
该题包含两个环节，过圆外一点作圆的两条切线，抛物线上两点的连线方程.
经典的“筷子夹汤圆”可以得到以直线斜率或斜率倒数为变量的方程，通过根与系数关系简化计算.
法三显然把这一问题的解法又作了一次上升，利用点是方程的解，结合同一性，快速得到直线的方程.
需要注意的是，本题计算较为简单是抛物线带来的“福利”，若点在椭圆或双曲线上，虽然逻辑相同，但计算量会增大，详见相似题.
3．已知曲线：，D为直线上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．证明：直线过定点．
4．如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C： 上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴.
5．抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
6．已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.
7．已知抛物线（）的顶点为，直线与拋物线的交点（异于点）到点的距离为，
（1）求的标准方程；
（2）过点作斜率为（）的直线与交于点（异于点），直线关于直线对称的直线与交于点（异于点），求证：直线过定点．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】设出点P的坐标及过点P作抛物线的切线方程，求出二切点坐标间关系，再由四边形面积的函数关系计算作答.
【详解】依题意，设点，显然过点P的抛物线的切线斜率存在，设切线方程为：，
由消去y并整理得：，则，
令切线的斜率为，切线的斜率为，于是得，
设切点，切点，则有，，有，，
点，有，
，
四边形为直角梯形，其面积为，解得，
所以点P的横坐标为.
故答案为：
【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；
抛物线在点处的切线斜率.
2．（1） （2）
【详解】（1）
由于抛物线C1：x2=y准线方程为：y=﹣，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心M（0，4），
利用点到直线的距离公式可以得到距离d==．
（2）设点P（x0，x02），A（x1，x12），B（x2，x22）；
由题意得：x0≠0，x2≠±1，x1≠x2，
设过点P的圆c2的切线方程为：y﹣x02=k（x﹣x0）即y=kx﹣kx0+x02①
则，即（x02﹣1）k2+2x0（4﹣x02）k+（x02﹣4）2﹣1=0
设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2应该为上述方程的两个根，
∴，；
①代入y=x2得：x2﹣kx+kx0﹣x02=0 因为x0应为此方程的根，
故x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0
∴kAB=x1+x2=k1+k2﹣2x0=
由于MP⊥AB，∴kAB KMP=﹣1
故P∴．
3．证明见解析
【分析】设，，，根据导函数的几何意义结合斜率公式可得，整理可知，同理，即点，为该直线上的两点，故证明该直线过定点即可.
【详解】证明：设，，，
因为，所以，则，又，
所以切线的斜率，整理得，即，
同理得：，从而直线的方程为，
所以直线过定点.
4．证明见解析
【分析】设P，A，B的纵坐标分别为，根据中点坐标公式得PA，PB的中点坐标，代入抛物线方程，可得，即得结论；
【详解】证明：设，，，
若抛物线上一动点，则的中点为，
当中点在抛物线上时，则，
即，
因为，的中点在抛物线上，
所以为方程的两个不同的实数根.
所以，
即点的纵坐标为，因此，垂直于轴.
5．（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；
（2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.
【详解】（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）[方法一]：设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
[方法二]【最优解】：设．
当时，同解法1．
当时，直线的方程为，即．
由直线与相切得，化简得，
同理，由直线与相切得．
因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．
所以直线与相切．
综上所述，若直线与相切，则直线与相切．
【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路
6．（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）利用题中条件求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据、、三者的关系求出的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为、，并由两条切线的垂直关系得到，并设从点所引的直线方程为，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，利用得到有关的一元二次方程，最后利用以及韦达定理得到点的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点的坐标，并验证点是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点的轨迹方程.
（1）由题意知，且有，即，解得，
因此椭圆的标准方程为；
（2）①设从点所引的直线的方程为，即，
当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则，
将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，
，
化简得，即，
则、是关于的一元二次方程的两根，则，
化简得；
②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上.
综上所述，点的轨迹方程为.
考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.
7．（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）求得交点坐标为，利用两点之间的距离公式即可得解；
（2）由直线与抛物线联立可求得，,结合已知条件可知，利用点斜式可知直线的方程为，即可证得结论.
【详解】（1）联立，得，即交点坐标为，
所以，，
抛物线的标准方程为
（2）证明：设，，
将代入抛物线方程得，所以，．
设直线，同理，，
因为与直线关于直线对称，由图形对称性，计算可得．
所以，，
又，
所以直线的方程为，
化简有，所以恒过定．
【点睛】思路点睛：解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；
（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑