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专题8 有关椭圆的离心率问题
【华大新高考联盟2024届高三11月教学质量测评】已知椭圆的右焦点为在椭圆上但不在坐标轴上，若，且，则椭圆的离心率的值可以是（ ）
A. B. C. D.
设直线，并联立直线与椭圆方程，得出坐标，结合得出坐标，由结合数量积运算得出，再解不等式得出椭圆的离心率的值.
设直线，其中，联立解得，
不妨设，
则，，
而，故，
整理得，故，观察可知，故选CD.
1．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知焦点在x轴上的椭圆的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
由得出坐标，由结合数量积运算得出，进而由其几何意义得出，即，进而得出离心率范围.
依题意，可得，又有，故，即，；又有，即圆与椭圆有公共点且公共点不在坐标轴上，
故，即，故，故选CD.
3．已知椭圆的左 右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知的上、下焦点分别是，，若椭圆C上存在点P使得，，则其离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
由平面向量数乘运算结合中位线定理、得出，再由直角三角形的性质得出，进而得出，，从而得出离心率的范围.
依题意，，故分别是线段的中点，故；
又有，故，则；
因为，故，即，得，故选CD.
5．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知的三个顶点都在椭圆：（）上，其中为左顶点，为上顶点，若以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若椭圆上存在一点，使得函数图象上任意一点关于点的对称点仍在的图象上，且椭圆的长轴长大于2，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆为椭圆的右焦点，曲线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．椭圆的内接四边形的对角线交于点，满足，，若直线的斜率为，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为.点在上且横纵坐标均为非负数，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】利用面积相等，得到由此得到消去整理化简求出离心率的取值范围.
【详解】的面积为因为的内切圆半径为，所以面积可表示为，所以
解得因为所以
两边平方得：又因为
整理得：
因为不等式两边同时除以，得：；
解得：
故选：A
2．A
【分析】设所在直线方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式及两平行线间的距离公式求出平行四边形的面积，换元后求出面积最大值，再由矩形面积最大列式求得的范围．
【详解】椭圆C：的焦点在x轴上，
设所在直线方程为，其中为椭圆的半焦距.
则由 得
设，则，
所以，
因为所在直线方程为，
所以直线与的距离为：
，
设，则，
则
要使得最大值，则只需的值最大，即的值最小即可.
根据条件当这个平行四边形为矩形时，其面积最大.
即当时有最大值，也即是时最小，
由函数在上单调递减，在上单调递增.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
因为函数在上，当时取得最小值，则.
所以，即，所以，
同时除以可得，解得,
故选：A
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
3．D
【分析】由题意可知，结合椭圆的定义解得，再由求解.
【详解】因为，所以，
由椭圆的定义得：，解得，
因为，所以，
两边同除以a得，解得 ，
因为 ，所以，
所以该离心率的取值范围是
故选：D.
4．C
【分析】使用极化恒等式由得，根据向量运算得 ，结合条件得出的取值范围建立关于的不等关系，从而求出离心率的取值范围.
【详解】设坐标原点为
所以
又
所以，即，故.
故选：C
【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的关系式，这个关系式可以用几何关系得到，也可以用代数关系得到.
在本题中主要是通过建立关系 ，一方面由极化恒等式得，另一方面结合条件及向量运算得，从而建立a，b，c的不等关系.
5．D
【分析】设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程为（），分别列出过和的切线方程，联立切线和内层椭圆，由分别转化出的表达式，结合可求与关系式，齐次化可求离心率.
【详解】设内层椭圆方程为（），因为内、外层椭圆离心率相同，
所以外层椭圆方程可设成（），
设切线方程为，与联立得，
，
由，
化简得：，
设切线方程为，
同理可求得，
所以，
，
所以，因此.
故选：D
6．B
【分析】由已知即向量数量积定义可得，应用余弦定理求得，根据等面积法可得，再由正弦定理列方程求离心率，结合目标式、基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，故，
又，则，
由余弦定理知：，
所以，而，
因为的内切圆的半径，故，
所以，则，
由，即，
所以，整理得且，
所以，
，当且仅当时等号成立，
所以目标式最小值为.
故选：B
7．A
【分析】由题意知只需椭圆与圆有四个公共点，求出的关系得离心率的取值范围
【详解】由题意知的第三个顶点在以为圆心，以为半径的圆上，要使以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则需要满足椭圆与圆有四个公共点，
由 得，
所以或，
当时，椭圆与圆有两个交点，分别为左右顶点，当位于右顶点处满足条件；
当时，要满足椭圆与圆有两个不同交点，需要，
即，即，解得，所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：要满足条件的三角形有3个，关键是将条件转化为椭圆与圆有四个公共点解决.
8．B
【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解.
【详解】如图所示：
设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，则，所以平行四边形为矩形，故，
设，，则，
在直角中，，，
所以，则，
所以，
令，得，
又由，得，
因为对勾函数在上单调递增，所以，
所以 ，即，则，故，
所以，
所以椭圆离心率的取值范围是.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于的齐次不等式，从而得解.
9．D
【分析】首先求出函数的对称中心，即可得到椭圆经过点，从而得到，再根据，即可得到关于离心率的不等式，解得即可.
【详解】因为，
所以的图象可由奇函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
所以的图象关于点对称，
所以椭圆经过点，则，即，
即，
所以，又因为，所以，解得，
又，所以，即.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是求出的对称中心，得到关于离心率的不等式，从而求出离心率的取值范围.
10．A
【分析】直线与椭圆的两个交点且，其中与关于x轴对称，设直线为代入椭圆，应用韦达定理结合求参数a，即可求离心率.
【详解】由题设，椭圆右焦点，且曲线恒过，不妨令，
对于直线与椭圆的两个交点，其中与关于x轴对称，
所以，即，故，
令直线为代入椭圆方程整理得：，
则，，而，
，则，可得（负值舍），
所以.
故选：A
11．B
【分析】设出点，由已知求出，利用两点在椭圆上，化简计算解出直线的方程，可得直线的斜率，解方程求出离心率．
【详解】设点，，且，
可得，即，解得，
由两点在椭圆上，
有，
得：，
即，
同理可得，
因此，直线的方程为，
从而直线的斜率为，
由，可得
故选：B
12．A
【分析】设圆、与轴的切点分别为，，圆心、在的角平分线上，从而切点也在的角平分线上，所以，由切线的性质求得，，由圆面积比得半径比，然后由相似形得出的关系式，从而求得离心率.
【详解】由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上.如图，
设圆、与轴的切点分别为，，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线，
切点也在的角平分线上，所以，
由椭圆的定义知，则，
所以，
所以，
所以，
.
又圆与圆的面积之比为9，
所以圆与圆的半径之比为3，
因为，所以，
即，整理得，故椭圆的离心率.
故选：A.
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
答案第1页，共2页
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