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2024届天津和平区高三一模考试数学试卷
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.
考试时间120分钟.祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题共45分）
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
球的表面积公式，其中R表示球的半径.
如果事件A、B互斥，则.
如果事件A、B相互独立，则.
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 函数的图象大致是（ ）
A B.
C. D.
3. 已知等比数列的各项均为正数，若成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
5. 某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（ ）
①估计居民月均用水量低于的概率为0.25；②估计居民月均用水量的中位数约为；③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于的人数为6万；④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间中应抽取4人.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 设，则有（ ）
A. B.
C. D.
7. 己知函数是的导数，则以下结论中正确的是（ ）
A. 函数是奇函数
B. 函数与的值域相同
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在区间上单调递增
8. 若三棱台的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为的球的表面上，，则三棱台的高为（ ）
A. B. 8 C. 6或8 D. 或6
9. 设双曲线的左、右焦点分别为点，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且，若双曲线C的实轴长为4，则双曲线C的方程为（ ）
A. B.
C D.
第Ⅱ卷（非选择题共105分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）
10. i虚数单位，复数则_______.
11. 在的二项展开式中，的系数为_______（请用数字作答）.
12. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为_______；党员甲能通过初试的概率为_______.
13. 圆与抛物线的准线相交于，两点.若，则抛物线的焦点坐标为_______.
14. 青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示_______；（ii）请写出的取值范围_______.
15. 若函数（其中）在区间上恰有4个零点，则a的取值范围为___________________.
三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 在中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，其中，且.
（1）求c的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
17. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点分别是棱，的中点，点是线段上一点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度.
18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
（1）求椭圆C方程；
（2）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为T，直线OT与椭圆C交于两点M，N，证明：.
19. 若数列满足，其中，则称数列为M数列.
（1）已知数列为M数列，当时.
（ⅰ）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
（ⅱ），求.
（2）若是M数列，且，证明：存在正整数n.使得.
20. 已知函数，（为自然对数底数）.
（1）求函数的单调区间：
（2）设在处的切线方程为，求证：当时，；
（3）若，存在，使得，且，求证：当时，.2024届天津和平区高三一模考试数学试卷
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.
考试时间120分钟.祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题共45分）
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
球的表面积公式，其中R表示球的半径.
如果事件A、B互斥，则.
如果事件A、B相互独立，则.
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的交集运算求得集合C，然后可解.
【详解】因为，
所以，
所以集合C的子集个数为.
故选：D
2. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇偶性可排除C；利用导数可求得单调性，由此可排除AD.
【详解】定义域为，，
为定义在上的奇函数，图象关于坐标原点对称，C错误；
当时，，，
在上单调递增，AD错误，B正确.
故选：B.
3. 已知等比数列的各项均为正数，若成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设等比数列的公比为q，且，由等差数列的中项性质列方程计算可得q，再由等比数列的通项公式计算可得
【详解】因为等比数列中的各项都是正数，设公比为q，得，
又成等差数列，
可得，
又，所以，解得或，
又，所以
则，
故选：A
4. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用特例可判定充分性不成立，结合直线与圆的位置关系，可判定必要性成立，即可得到答案.
【详解】例如：，此时，但，所以充分性不成立；
设直线，圆，则圆心为，半径为，
可得圆心到的距离为，
此时直线与圆相切，所以与圆没有公共点，
即满足不等式的点，使得恒成立，即必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（ ）
①估计居民月均用水量低于的概率为0.25；②估计居民月均用水量的中位数约为；③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于的人数为6万；④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间中应抽取4人.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由频率分布直方图求频率判断①，结合直方图中位数的求法计算中位数，即可判断②；用频率估计总体即可判断③，结合分层抽样的概念即可判断④.
【详解】由频率分布直方图可知，居民月均用水量低于的概率为，故①正确；
前三组的频率之和为，而前四组频率之和为，故中位数位于，由，可以估计居民月均用水量的中位数约为，②正确；
估计万居民中月均用水量不低于的人数为，③正确；
根据用水量对这位居民进行分层，用分层抽样的方法抽取人，则在用水量中应抽取人，④正确.
故选：D
6. 设，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，借助特殊值0，可得最小，再利用得出大小.
【详解】由可得，
，，
下面比较，
因为，所以，
所以，
而，故，所以，
综上，.
故选：B
7. 己知函数是的导数，则以下结论中正确的是（ ）
A. 函数是奇函数
B. 函数与的值域相同
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在区间上单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】化简并求导，结合值域，对称性，单调性逐项判断即可.
【详解】由题意，，
对A, 为偶函数，故A错误；
对B，易知的值域为，的值域为，故B错误；
对C, ,故C错误；
对D, ,单调递减，故区间上单调递增，故D正确.
故选：D.
8. 若三棱台的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为的球的表面上，，则三棱台的高为（ ）
A. B. 8 C. 6或8 D. 或6
【答案】C
【解析】
【分析】由题可知，三棱台为正三棱台，上下底面的中心，连线构成的线段为高，根据球的性质可得，，进而可得.
【详解】设球的半径为，则，得，
如图所示，为的中心，为的中心，
由题意可知，三棱台为正三棱台，为其高，球心在上，
在中，在中，
故，，
当在线段上时，，
当在线段的延长线上时，，
故选：C
9. 设双曲线的左、右焦点分别为点，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且，若双曲线C的实轴长为4，则双曲线C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的定义及对称性求出，，由余弦定理解三角形可得，即可得解.
【详解】如图，
由及双曲线、直线的对称性可知，，
则由双曲线定义可知，
所以，，
所以，
解得，
因为，所以，
所以，
由余弦定理可知，
所以，，
所以双曲线方程为：
故选：C
第Ⅱ卷（非选择题共105分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）
10. i为虚数单位，复数则_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的运算及模的定义求解即可.
【详解】，
故答案为：
11. 在的二项展开式中，的系数为_______（请用数字作答）.
【答案】
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式求解.
【详解】二项展开式通项为，
令，解得,
所以，
故答案为：
12. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为_______；党员甲能通过初试的概率为_______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】求出随机变量的各个取值的概率，求期望，据此求即可.
【详解】由题意，的可能取值为，
则，，
，，
所以；
党员甲能通过初试的概率为.
故答案为：；
13. 圆与抛物线的准线相交于，两点.若，则抛物线的焦点坐标为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据弦长为，利用垂径定理可得，进而可得焦点坐标为.
【详解】
如图，抛物线的准线方程为，
圆即，圆心坐标为，半径为，
由垂径定理可得，即，
得或（舍去），故抛物线的方程为，焦点坐标为.
故答案为：
14. 青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示_______；（ii）请写出的取值范围_______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（i）根据向量线性运算可直接得到结果；
（ii）根据向量线性运算、数量积运算性质，可将所求数量积转化为；根据正六边形性质可求得的范围，由此可得结果.
【详解】（i）在圆上运动且关于圆心对称，为中点，；
（ii）；
当为正六边形顶点时，取得最大值；当与正六边形的边垂直时，取得最小值；
六边形为正六边形，为正三角形，；
作，则为中点，；
，即取值范围为.
故答案为：；.
15. 若函数（其中）在区间上恰有4个零点，则a的取值范围为___________________.
【答案】
【解析】
【分析】分别分析和的零点个数求解即可，同时要注意重根问题的检验.
【详解】当，设，，
则为开口向上的二次函数，，
①当，有唯一解，此时，
，此时有三个解，且均不为3，符合题意；
②当，无解，故区间上恰有4个零点，
则，解得，符合题意；
③当，的对称轴，且，
（i）当，，此时有两个解：2和5，，此时有三个解，且与的解2，5不重合，不合题意，
（ii）当，且，此时有两个解，且均属于，，
若有2个解，故，解得，则，舍去；
（iii）若有3个解，故，解得，
若此时有2个解，则必须有1个重根，
下面检验重根情况：，则，的3个解为，
且，，，
故重根可能为，，.
令，，解得，
当重合，若，则（），
解得，满足题意；
若，则，即，无解；
若，，即，无解；
当重合，若，则，解得（舍去）；
若，则，解得，符合题意；
若，则，即，无解，舍去；
（iv）当，，此时有1个解，
设为m，则，，故，解得，
又，综合得，
同理（iii）的分析，，，
此时有三个解，且与的解不重合，符合题意，
综上所述：或或
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点问题，关键是根据二次函数特征讨论判别式及区间端点与5的关系.
三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 在中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，其中，且.
（1）求c的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理转化为边的关系，联立条件得解；
（2）由余弦定理及同角三角函数基本关系得解；
（3）由二倍角的正余弦公式及两角和的余弦公式求解即可.
【小问1详解】
，
，
，解得，
.
【小问2详解】
由余弦定理可得，又，
，.
【小问3详解】
因为，
所以.
17. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点分别是棱，的中点，点是线段上一点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明即可；
（2）求平面的法向量，利用向量法求夹角余弦即可；
（3）利用线面角的向量公式求解即可.
【小问1详解】
因为四棱锥的底面是正方形，平面，
所以以点为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
又因为，则，即，
由平面，所以平面.
【小问2详解】
设平面与平面的夹角为，
平面的法向量，平面的法向量,
所以，，
则平面与平面的夹角的余弦值为.
【小问3详解】
设长度为，，
设直线与平面所成角为，
因为，
，
解得，此时的长度为.
18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为T，直线OT与椭圆C交于两点M，N，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）设的方程为，联立方程组，求得，得到，再由的方程为，联立方程组，求得，进而求得，再由弦长公式，求得，结合，即可得证.
【小问1详解】
解：由椭圆的离心率为，且过点F且与x轴垂直的直线截得的线段长为，
可得 ，解得，所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
证明：设直线所在的直线方程为，
联立方程组，整理得，
所以，解得，
设，则，
所以，则，即，
所以的方程为，
联立，解得或，所以，
则，
又由
，
又因为的中点，
可得，
所以.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线问题的方法与策略：
1、涉及圆锥曲线的定义问题：抛物线的定义是解决曲线问题的基础，它能将距离进行等量转化．如果问题中涉及圆锥曲线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用圆锥曲线定义就能解决问题．因此，涉及圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用圆锥曲线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.
19. 若数列满足，其中，则称数列为M数列.
（1）已知数列为M数列，当时.
（ⅰ）求证：数列是等差数列，并写出数列通项公式；
（ⅱ），求.
（2）若是M数列，且，证明：存在正整数n.使得.
【答案】（1）（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）(ⅰ)根据等差数列定义即可证明并写出通项公式（ⅱ）分组求和得出，利用裂项相消法求解即可；
（2）求出，利用放缩法可得，相加相消即可，据此即可得证.
【小问1详解】
（ⅰ）由，可得，
所以数列是首项为公差为1的等差数列，
所以，
又因为，所以.
（ⅱ），
设，，
，，
所以，
.
【小问2详解】
若是M数列，有，
故，且，
即
，
则
，
由随的增大而增大，
若，可得，
因为，故对任意的，总存在正整数使，
即总存在正整数n，使得.
【点睛】关键点点睛：本题解题中，对求和要求较高，裂项相消法求和是解决问题的关键，其次利用放缩法适当放缩，继续利用裂项相消法是证明的关键.
20. 已知函数，（为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调区间：
（2）设在处的切线方程为，求证：当时，；
（3）若，存在，使得，且，求证：当时，.
【答案】（1）单调递增区间，单调递减区间
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出导数，解不等式即可得解；
（2）求出切线方程，令，利用导数求出函数的单调性，即可得证；
（3）由的单调性，得出的单调性，转化为，可转化为，构造函数利用导数求最值即可得证.
小问1详解】
因为，定义域为，
令，即，
所以递减区间为，递增区间为.
【小问2详解】
因为，所以，而，
所以在点处的切线方程为：，
当时，令，
由，，当时，，当时，，
所以在递减，在上单调递增，故，即，
所以，所以，
所以在时恒成立，
即时，得证.
【小问3详解】
由题意可知，
因为时，，
令，所以时单调递减，
所以，所以在上为减函数，且，此时，
则由（1）有在上单调递减，在上单调递增，且，此时，
由题意，设，
设与交点的横坐标为，则，有，
因为，且，
所以，又，
所以，
令，则
，
令，则，
所以时，，时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，即，
所以，，
所以在单调递增.
在时，，
所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题第三步证明困难，关键在于由，转化为，再利用导数求出在上的最值.

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