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2024年山东省菏泽市郓城县中考数学一模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.据测算，世博会召开时，上海使用清洁能源可减少二氧化碳排放约万吨，将万吨用科学记数法表示为( )
A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨
3.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，点在的延长线上，点在上，且，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
5.下列图案是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.下列说法：
的相反数是；
算术平方根等于它本身的数只有零；
数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；
若，都是无理数，则一定是无理数．其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，正六边形的边长为，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是( )
A. B. C. D.
10.如图，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于、两点，下列结论：；抛物线与轴的另一个交点坐标是；；方程有两个不相等的实数根；当时，则其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
11.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是( )
A. B. C. D.
12.如图，等边的边长为，点是边上的一动点，连接，以为斜边向上作等腰，连接，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.如图，正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为_____．
14.如图，电线杆的顶上有一盏高为的路灯，电线杆底部为，身高的男孩站在与点相距的点处，若男孩以为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子，扫过的面积为______．
15.如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴的平行线，交轴于点，点是轴上一点，的面积是，则______．
16.如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点，的坐标为，，，，直线交轴于点若与关于点成中心对称，则点的坐标为______．
17.如图， 的对角线，交于点，平分交于点，交于点，且，，连接下列结论：；；：：；其中正确的结论有______填写所有正确结论的序号
18.如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、正方形，使得点、、、在直线上，点、、、在轴正半轴上，则点的坐标是______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：
解不等式组：；
先化简，再求值：，其中．
20.本小题分
如图，一次函数、为常数，的图象与轴、轴分别交于、两点，且与反比例函数为常数，且的图象在第二象限交于点轴，垂足为，若．
求一次函数与反比例函数的解析式；
记两函数图象的另一个交点为，求的面积；
直接写出不等式的解集．
21.本小题分
年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
这次被调查的同学共有______人；
扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为______；
现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
22.本小题分
某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量件与每件的售价元满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价元件
销售量件
求出与之间的函数表达式；不需要求自变量的取值范围
该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，设这种衬衫每月的总利润为元，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
23.本小题分
如图，是的弦，为上一点，过点作的垂线与的延长线交于点，连接并延长，与交于点，连接，．
求证：是的切线；
若，，求的长．
24.本小题分
如图，，，，，垂足为．
求证：≌；
求的度数；
求证：．
25.本小题分
如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点点、是抛物线上的动点．
求抛物线的解析式；
当点在直线下方时，求面积的最大值
直线与线段相交于点，当与相似时，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：将万吨用科学记数法表示为：吨．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是非负数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
是的外角，
．
故选：．
由平行线的性质可得，再由三角形的外角性质可得，从而得解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：第一个是轴对称图形，也是中心对称图形；
第二个是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
第四个是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：的相反数是，故原题说法错误；
算术平方根等于它本身的数是零和，故原题说法错误；
数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数，故原题说法正确；
若，都是无理数，则一定是无理数，故原题说法正确．
其中正确的有个，
故选：．
根据实数包括无理数和有理数，相反数定义和算术平方根的性质进行分析即可．
此题主要考查了实数，关键是掌握相反数的概念，掌握实数与数轴上点是一一对应关系．
7.【答案】
【解析】解：第一次降价后的价格为，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低，为，
则列出的方程是．
故选：．
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降低的百分率，把相应数值代入即可求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
8.【答案】
【解析】解：正六边形的边长为，
，，
，
，
过作于，
，，
在中，
，
，
同理可证，，
，
，
图中阴影部分的面积为，
故选：．
由正六边形的边长为，可得，，进而求出，，过作于，由等腰三角形的性质和含角直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．
本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【解答】
解：设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
这棵树的高度是米，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：由抛物线对称轴知，，
，则此小题结论正确；
设抛物线与轴的另一个交点坐标是，根据题意得，，
，则此小题结论正确；
把代入得，，
，
，
，
，
，则此小题结论正确；
由函数图象可知，直线与抛物线有两个交点，
有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，则此小题结论正确；
由函数图象可知，当时，抛物线在直线上方，于是则此小题结论正确．
故选：．
利用对称轴方程进行解答；
利用抛物线的对称性质求解便可；
把代入二次函数解析式，并把换成的对称代数式便可；
根据抛物线抛物线与直线的交点情况解答；
根据两函数图象的位置关系解答．
本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
11.【答案】
【解析】解：过作直线于，则，，
，
，
，
，
故选：．
过作直线于，求出，根据含角的直角三角形的性质得出，代入求出即可．
本题考查了含角的直角三角形的性质，能根据含角的直角三角形的性质得出是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，作射线，
是等边三角形，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
点在的角平分线上运动，
当时，的长度有最小值，
，
，
的最小值为，
故选：．
过点作于点，作射线，可证点，点，点，点四点共圆，可得，则点在的角平分线上运动，即当时，的长度有最小值，由直角三角形的性质可求解．
本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，垂线段最短，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的，计算即可．
【解答】
解：正方形二维码的边长为，
正方形二维码的面积为，
经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
黑色部分的面积占正方形二维码面积的，
黑色部分的面积约为：，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：如图所示，，
∽，
，
即，
解得，
，
男孩以为半径绕电线杆走一圈，他在路灯下的影子扫过的面积为．
故答案为：．
根据∽，即可得到，，再根据男孩以为半径绕电线杆走一圈，即可得出他在路灯下的影子扫过的面积．
本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接，
轴，
，
根据题意可知：，
又反比例函数的图象位于第一象限，，
则．
故答案为．
根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，再根据反比例函数的图象位于第一象限即可求出的值．
本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
16.【答案】
【解析】解：如图，过作，
点，的坐标为，，得
．
由，，
得，，
，
，
设的解析式为，将，点坐标代入，得
，
解得，
的解析式为，
当时，，即，
由中点坐标公式，得
，
，
．
故答案为：．
根据等腰直角三角形，可得的长，再根据锐角三角函数，可得，的长，再根据待定系数法，可得函数解析式，令，可得点坐标，根据中心对称性的性质，可得答案．
本题考查了中心对称性的性质，利用等腰直角三角形得出的长是解题关键．
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于填空题中的压轴题．
正确．只要证明，推出，再利用三角形中位线定理即可判断．
错误．想办法证明，推出即可判断．
正确．设，求出，即可判断．
正确．求出，，用表示，通过计算证明即可．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，故正确，
，
∽，
，
，
，故错误，
设，则，，，
，
：：：，故正确，
，
，
，，
，故正确，
故答案为．
18.【答案】．
【解析】解：当时，有，
解得：，
点的坐标为．
四边形为正方形，
点的坐标为．
同理，可得出：，，，，，
，，，，，
为正整数，
点的坐标是．
故答案为：．
根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点、的坐标，同理可得出、、、、及、、、、的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“为正整数”，依此规律代入即可得出点的横坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律“为正整数”是解题的关键．
19.【答案】解：，
由得：，
解得：，
由得：，
解得：，
不等式组的解集为：；
原式
，
当时，
原式
．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序．
20.【答案】解：由已知，，，
轴
∽
点坐标为
反比例函数解析式为：
把点，代入得：
解得：
一次函数解析式为
当时，解得
，
当时，
点坐标为
不等式，从函数图象上看，表示一次函数图象不高于反比例函数图象
由图象得，或
【解析】根据三角形相似，可求出点坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；
联立解析式，可求交点坐标；
根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．
本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式．
21.【答案】解：；
；
列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 一 乙，甲 丙，甲 丁，甲
乙 甲，乙 一 丙，乙 丁，乙
丙 甲，丙 乙，丙 一 丁，丙
丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁 一
共有种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有种，
选中甲、乙，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
【解析】【分析】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
用乘以篮球的学生所占的百分比即可；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：根据题意得：
人，
答：这次被调查的学生共有人；
故答案为：；
根据题意得：
，
答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：；
见答案．
22.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
，
解得，，
即与之间的函数表达式是；
，
解得，，，
尽量给客户优惠，
这种衬衫定价为元；
由题意可得，
，
该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，每件售价不低于进货价，
，，
解得，，
当时，取得最大值，此时，
答：售价定为元可获得最大利润，最大利润是元．
【解析】根据题意和表格中的数据可以得到与之间的函数表达式；
根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
根据题意，可以得到与之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
23.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：连接，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
．
【解析】连接，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到，根据平行线的性质得到，于是得到是的切线；
连接，，根据圆周角定理得到，推出，得到，根据三角函数的定义得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】证明：，
，，
，
在和中，
，
≌，
即≌；
，，
，
由知≌，
，
，
，
，
；
延长到，使得，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
≌，
，，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据题意和题目中的条件可以找出≌的条件；
根据中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到的度数；
根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
25.【答案】解：设函数的表达式为，将点坐标代入上式并解得，
故抛物线的表达式为．
如图，设直线与轴交于点，设点，
将点、的坐标代入一次函数表达式并解得
直线的表达式为，则，
，其中、分别为点、的横坐标，
，故有最大值，当时，其最大值为．
如图，，，
，故与相似时，分为两种情况：
当时，
，，，
过点作与点，
，解得，
则，则，
则直线的表达式为，
联立并解得舍去负值，
故点
时，
，
则直线的表达式为，
联立并解得，
故点，
综上，点或
【解析】设函数的表达式为，将点坐标代入上式，即可求解；
设直线与轴交于点，设点，将点、的坐标代入一次函数表达式并解得直线的表达式，由可求解；
分、两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线，进而求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、锐角三角函数、三角形相似的性质、三角形面积的计算等，其中要注意分类求解，避免遗漏．
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