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半角模型专项练习
解题要点剖析
所谓半角模型，就是在平面图形中，一个角与另一个角共顶点，且该角的大小是另一个角大小的一半.半角模型是平面几何中一个最常见的图形，此类题目通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，即将这个半角绕顶点旋转或通过截长补短的方法，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等或相似.
常见含半角旋转模型如图14-1所示.
经典考题解析
例1 (武汉)如图 14-2所示,在 中,AB=AC= ,点 D,E 都在边 BC 上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则 DE 的长为 .
思路分析 将绕点 A 逆时针旋转 120°,得到连接 FE,得 ,此时 DE=EF,可得. .过点 E 作EH⊥CF，垂足为点 H，设CE=x，利用直角三角形及勾股定理，可计算出x的值，这样就可求出 DE 的长.
规范解答 解:在△ABC中,
∴∠B=∠ACB=30°,BC=6.
如图14-3 所示,将△ABD 绕点A 逆时针旋转 120°,得到△ACF,连接FE,由旋转的性质,可知AD=AF,∠BAD=∠CAF,BD=CF,∠ABD=∠ACF=30°.
∵∠DAE=60°,
∴∠BAD+∠CAE=∠CAF+∠CAE=60°.
∴∠DAE=∠FAE.
又∵AE=AE,
∴△ADE≌△AFE.
∴DE=EF.
过点 E 作EH⊥CF,垂足为点 H,设 CE=x,则 CF=BD=2CE=2x,DE=6-3x.
在 Rt△CEH 中,∵∠ECH=∠ACB+∠ACF=60°,
则
在 Rt△EFH 中,由勾股定理,得
解得 (不合题意，舍去).
解后反思 此题中.AB=AC 及 属于半角模型，所以通过旋转考虑“辅助线”的作法，将△ABD 绕点A 旋转 大小后，分散的 就转化为∠EAF 的大小，从而与半角∠DAE 相等，形成全等三角形，这样就可解决问题.
例2已知点 P 是∠MAN 的角平分线上的一点，. ，垂足为点B， AN,垂足为点C.
(1) 如图14-4(1)所示,点 D,E 分别在线段AB,AC 上,且 求证：DE=BD+CE;
(2)如图14-4(2)所示,若点D 在AB 的延长线上,点 E 在射线CA 上,则 DE,BD,CE 三者的数量关系有变化吗 若有变化，请直接写出结论.
思路分析 (1)由已知，可知点 P 是角平分线上的点，且PB⊥AM，垂足为点 B，PC⊥AN,垂足为点C,可得PB=PC,若在 AC 的延长线上取一点F,使得CF=BD,则△PBD≌△PCF,然后再证明△PDE≌△PFE,可得出结论.
(2) 参考第(1)问的作图法,可得结论DE=CE-BD.
规范解答 解：(1) 如图14-5 所示，在AC 边的延长线上取点F，使得( 连接PF.
∵点P 是∠MAN 的角平分线上的一点,PB⊥AM,垂足为点 B,. 垂足为点C,
∴PB=PC,∠PBD=∠PCF=90°.
在△PBD 和△PCF 中,
∴△PBD≌△PCF.
∴ PD=PF,∠BPD=∠CPF.
∴∠EPF=∠EPC+∠CPF=∠EPC+∠BPD=∠DPE.
在△DPE 和△FPE 中,
∴△DPE≌△FPE.
∴DE=FE.
∵FE=CE+CF,
∴DE=BD+CE.
(2) DE=CE--BD.
解后反思 本题由∠ABP=∠ACP=90°,得∠A+∠BPC=180°,且∠DPE= 故含有“半角”模型和“对角互补”模型的两个基本模型图，“辅助线”的作法利用了“旋转”的思路，即通过“截长补短”的方法将两个分散的角聚集在一起形成一个三角形，然后根据两个三角形全等得出相应线段之间的关系.
例3 在正方形ADCB 中,点E 在直线CD上,点 F 在直线BC 上,
(1) 如图14-6(1)所示,点E 在边CD 上,点 F 在边 BC 上时,求证:EF=DE+BF;
(2)如图14-6(2)所示,点 E 在CD 的延长线上,点 F 在 BC 的延长线上时,则(1)中的结论变化吗 如果变化，请写出线段EF，BF，DE 的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图14-6(3)所示,点 E 在CD 的反向延长线上,点 F 在BC 的反向延长线时,请直接写出线段EF，BF，DE 的数量关系.
思路分析(1) 将△ABF 绕点A 顺时针旋转 90°,得到△ADM,再证明△AEF≌△AEM,从而得到EF=DE+BF.
(2) 在 BC 上取一点M,使得 BM=DE,可证明. ,再证明△AEF≌△AMF,得EF=BF--DE.
(3) 思考的思路同第(2)问,结论:EF=DE--BF.
规范解答 (1) 证明:延长CD 至点M,使得DM=BF,连接AM,如图14-7(1)所示.在正方形ADCB中,有 AD=AB,∠ABF=∠ADE=90°,
∴∠ABF=∠ADM=90°.
∴△ABF≌△ADM.
∴ AF=AM,∠DAM=∠BAF.
∵∠EAF=45°,∠DAE+∠EAF+∠BAF=90°,
∴∠EAM=∠DAM+∠DAE=∠DAE+∠BAF=∠EAF=45°.
在△EAM 和△EAF 中,
∴△EAM≌△EAF.
∴ EF=EM.
∵EM=DE+DM.
∴EF=DE+BF.
(2) EF=BF-DE.
理由:如图14-7(2)所示,在 BC 上取一点M,使得 连接AM.在正方形ADCB 中,
°,
∴ ∠DAE+∠DAF+∠FAM=90°.
∵∠EAD+∠DAF=∠EAF=45°,
∴∠FAM=45°.
∴∠FAM=∠EAF.
在△FAM 和△EAF 中,
∴△FAM≌△FAE.
∴EF=MF.
∵FM=BF-BM,
∴ EF=BF-DE.
(3)EF=DE-BF.
解后反思 由于正方形 ADCB 中存在AB=AD 且 因此图形中含有“半角”模型，通过旋转，将∠BAD 被∠EAF 分成的两个角中的一个绕公共顶点旋转，使得旋转后的两个角合为一个角，再通过全等三角形来寻找线段间的数量关系.
例4(淄博)如图14-8所示，正方形ABCD 的对角线相交于点O，点M，N 分别是边BC,CD 上的动点(不与点 B,C,D 重合),AM,AN 分别交BD 于点E,F,且 始终保持45°不变.
(1) 求证:
(2)求证:AF⊥FM.
(3) 请探索:在∠MAN 的旋转过程中,当∠BAM 等于多少度时, 写出你的结论，并加以证明.
思路分析 (1) 如图 14-8 所示,因为 所以 ∠CAM,由四边形 ABCD 是正方形,得∠ADB=∠ACB=45°,这样△DAF∽△CAM,即 也可由∠BAC=∠MAN=45°,∠AOF=∠ABM=90°,得出△AOF∽△ABM,即
(2)由第(1)问的结论及∠DAC=∠MAN=45°,得△DAC∽△AMF,即可证 AF⊥FM.
(3)由第(2)问,得∠AMF=∠DAC=45°,由 BD 与 AM 相交于点 E,得∠BAM=∠BFM,由此,若∠BAM=∠NMF,则∠BFM=∠NMF,此时BD∥MN,可得△CMN 为等腰直角三角形.所以CM=CN,BM=DN,则△AMB≌△AND,故有∠DAN=∠BAM=22.5°.
规范解答 解:(1) 解法1:∵ 正方形ABCD 的对角线AC与BD 相交于点O,
∴∠DAO=∠MAN=45°.
∴∠DAF=∠CAM.·
又∵∠ADB=∠ACB=45°,
∴△DAF∽△CAM.
解法2:∵正方形 ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,
∴∠BAC=∠MAN=45°,AC⊥BD.
∴∠BAM=∠FAO,∠AOF=∠ABM=90°.
∴△AOF∽△ABM.
(2) 由(1),可知
又∵∠DAC=∠MAN=45°,
∴△DAC∽△FAM.
∴∠AFM=∠ADC=90°.
∴ AF⊥FM.
(3)∵AM与BD 相交于点E,
∴∠AEB=∠FEM.
∴∠ABF+∠BAM=∠AMF+∠BFM.
由(2)可知,△DAC∽△FAM.
∴∠AMF=∠DCA=45°.
∴∠ABF=∠AMF=45°.
∴∠BAM=∠MFB.
当∠FMN=∠BAM 时,有∠FMN=∠MFB,
∴BF∥MN.
∴∠DBC=∠NMC=45°.
∴△NMC 是等腰直角三角形.
∴CM=CN.
∴ BM=DN.
∴△ADN≌△ABM.
∵∠MAN=45°,
∴∠BAM=∠DAN=22.5°.
即∠BAM=22.5°时,∠FMN=∠BAM.
解后反思 本题由∠MAN=45°,得 及AB=AD,所以图形中含“半角模型”，对于第(3)问，利用了8字形这个基本图形来解决问题；也可以根据 =∠MBF,得出四点A,B,M,F 共圆来解决问题.
例5 (湖北)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.
(1) 如图 14-9(1)所示,若点 D 关于直线AE 的对称点为F,求证:4
(2)如图14-9(2)所示,在(1)的条件下,若α=45°,求证:
(3) 如图14-9(3)所示,若α=45°,点E 在BC 的延长线上,则等式 还能成立吗 请说明理由.
思路分析 (1) 由点 D 关于直线AE 的对称点为F，可得. 所以∠DAF=2α=∠BAC.这样可得两个等腰三角形, 与 相似.
(2)通过证明△ADE≌△AFE 及△ABD≌△ACF,再由△ABC 是等腰直角三角形,得∠B=∠ACB=∠ACF=45°.故在 Rt△ECF 中,通过勾股定理证得结论.
(3) 由于 AB=AC,将△ABD 逆时针旋转 90°得到 连接EF.
规范解答 解:(1) ∵ 点D,F 关于直线AE 对称,
∴ DE=EF.∠DAE=∠EAF=α.
∴∠DAF=2α=∠BAC.
又∵
∴△DAF∽△BAC.
(2)∵∠DAF=2α=∠BAC,
∴∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠BAD=∠CAF.
又∵AB=AC,AD=AF,
∴△BAD≌△CAF.
∴ BD=CF.
∵α=45°,
∴ △ABC 是等腰直角三角形.
∴∠ACF=∠ABD=∠ACB=45°.
∴∠ECF=90°.
∴ 在△ECF 中,由勾股定理,得
(3)解法 1:如图 14 - 10 所示,将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 90°,得到△ACF,连接EF.
∴ BD=CF,AD=AF,∠ACF=∠ABD.
∵∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ACF=45°.
∴∠BCF=90°,即∠ECF=90°.
由旋转的性质,得∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠DAF=∠DAE+∠FAE=2α.
∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=2α-α=α,AF=AD.
又∵AE 是公共边,
∴△DAE≌△FAE,即DE=EF.
解法2:作点 F 与点D 关于直线AE 对称,连接AF,EF,DF,CF.
∴AD=AF,DE=EF.
∴∠DAE=∠FAE=α.
∴∠DAF=2α=∠BAC.
即∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC.
∴∠BAD=∠CAF.
又∵AB=AC,AD=AF.
∴△BAD≌△CAF.
∴ BD=CF.
∴∠ACF=∠ABD=45°.
∴∠DCF=∠DCA+∠ACF=90°.
∴CF⊥CE.
即
解后反思 本题是相似形综合题，主要考查轴对称的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理.其图形中含有“半角模型”，故从旋转的角度思考问题.解题时，注意小题间的思路相同是解题的关键.
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1. 阅读下面材料：
小炎遇到这样一个问题：如图(1)所示，点 E，F 分别在正方形ABCD 的边BC，CD 上，∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由.
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中起来.她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD 有公共点并且相等的，于是找到解决问题的方法.她的方法是将 绕着点A 逆时针旋转 得到 ，再利用全等的知识解决这个问题(见图2).
参考小炎思考问题的方法，解决下列问题：
(1) 如图(3)所示,在四边形ABCD 中, 点E,F 分别在边BC,CD 上, 若 都不是直角，则当 与 满足 时，仍有
(2) 如图(4)所示,在, 中, ,点 D,E 均在边 BC 上,且 若 ,求 DE 的长.
2.(北京)已知正方形ABCD，点 E 为平面内任意一点，连接DE，将线段 DE 绕点D顺时针旋转 得到 DG,连接EC,AG.
(1) 当点 E 在正方形ABCD 内部时,
① 依题意补全图形；
② 判断AG 与CE 的数量关系与位置关系并写出证明思路.
(2) 当点 B,D,G 在一条直线上时,若 求 CE的长.
3.(北京)在正方形ABCD 中,点 E 为边CD 上一点,连接BE.
(1) 请你在图(1)中画出, 使得 与 关于直线BE 对称；
(2) 若边AD 上存在一点F,使得. ，请你在图(2)中探究. 与 的数量关系并证明；
(3)在(2)的条件下,若点 E 为边CD 的三等分点,且( 请写出求 的思路(可以不写出计算结果).
4.(北京)在 中, ,点 D 在射线BC 上(与B,C 两点不重合),以AD 为边作正方形ADEF,使点 E 与点B 在直线AD 的两侧,射线 BA 与射线CF相交于点G.
(1) 若点 D 在线段BC 上,如图(1)所示.
① 依题意补全图(1);
② 判断BC 与CG 的数量关系与位置关系，并加以证明；
(2)如图(2)所示,若点D 在线段BC 的延长线上,且点 G 为CF 的中点,连接GE,AB ，则GE 的长为 ，并简述求GE 长的思路.
5.(江西)在菱形ABCD 中,, ，点 P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边三角形APE，点E 的位置随点P 的位置变化而变化.
(1)如图(1)所示,当点E 在菱形ABCD 内部或边上时,连接CE,BP 与CE 的数量关系是 ,CE 与AD 的位置关系是 ;
(2)当点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立 若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图(2)和图(3)中的一种情况予以证明或说理)；
(3)如图(4)所示,当点 P 在线段BD 的延长线上时,连接 BE,若 ,求四边形 ADPE 的面积.

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