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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题5 不等式（组）问题
考点扫描☆聚焦中考
不等式（组）问题近几年中考中填空题或选择题以中低档型出现,解答题以中档型出现;三种题型必考其一.解答题占的分值在8分~10分之间,以解不等式和应用题考查为主.涉及本知识点的重点有不等式的基本性质；解一元一次不等式（组）,并会表示解集;一元一次不等式（组）的应用.从考查热点涉及本知识点的有：不等式的基本性质；解一元一次不等式（组）并在数轴上表示解集；不等式（组）的整数解；一元一次不等式（组）的应用.
考点剖析☆典型例题
例1 （2023 北京）已知a﹣1＞0，则下列结论正确的是（　　）
A．﹣1＜﹣a＜a＜1 B．﹣a＜﹣1＜1＜a C．﹣a＜﹣1＜a＜1 D．﹣1＜﹣a＜1＜a
例2（2023 盐城）解不等式2x﹣3＜，并把它的解集在数轴上表示出来．
例3（2023 西藏）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
例4（2023 兰州）解不等式组：．
例5（2022 绥化）不等式组的解集为x＞2，则m的取值范围为 　　．
例6（2023 眉山）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（　　）
A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣3
例7（2023 怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？
考点过关☆专项突破
类型一 不等式的性质
1．（2023 德阳）如果a＞b，那么下列运算正确的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．a+3＜b+3 C．3a＜3b D．＜
2．（2022 包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（　　）
A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣m＞﹣n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
3．（2022 杭州）已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则（　　）
A．a+c＞b+d B．a+b＞c+d C．a+c＞b﹣d D．a+b＞c﹣d
4．（2022 宿迁）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　）
A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y
5．（2022 泰州）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n2（m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小关系为 　 　．
类型二 不等式（组）的解法
1．（2023 攀枝花）下列各数是不等式x﹣1≥0的解的是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
2．（2023 广西）x≤2在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022 聊城）关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（　　）
A．k≥8 B．k＞8 C．k≤8 D．k＜8
4．（2022 梧州）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2022 益阳）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023 遂宁）若关于x的不等式组的解集为x＞3，则a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
7．（2023 盘锦）不等式≥的解集是 　 　．
8．（2023 黄石）若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为 　 　．
9．（2022 内蒙古）关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 　 ．
10．（2023 宁夏）解不等式组 ．
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
4﹣2（2x﹣1）＞3x﹣1…第1步
4﹣4x+2＞3x﹣1…第2步
﹣4x﹣3x＞﹣1﹣4﹣2
﹣7x＞﹣7…第3步
x＞1…第4步
任务一：该同学的解答过程第 　　步出现了错误，错误原因是 　　；
不等式①的正确解集是 　 　；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
11．（2023 菏泽）解不等式组．
类型三 不等式（组）的整数解
1．（2023 宿迁）不等式x﹣2≤1的最大整数解是 　　．
2．（2023 绵阳）关于x的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（　　）
A．11 B．15 C．18 D．21
3．（2023 宜宾）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，则整数a的值为 　　．
4．（2022 陕西）求不等式﹣1＜的正整数解．
5．（2023 常州）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
6．（2022 淮安）解不等式组：并写出它的正整数解．
类型四 不等式（组）的应用
1．（2023 丽水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（　　）
A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n
2．（2023 西宁）象征吉祥富贵的丁香花是西宁市市花．为美化丁香大道，园林局准备购买某种规格的丁香花，若每棵6元，总费用不超过5000元，则最多可以购买 　 　棵．
3．（2023 辽宁）某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环，收入76元．
（1）每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？
（2）某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？
4．（2023 河南）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由；
（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价；
（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
5．（2022 泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题5 不等式（组）问题
考点扫描☆聚焦中考
不等式（组）问题近几年中考中填空题或选择题以中低档型出现,解答题以中档型出现;三种题型必考其一.解答题占的分值在8分~10分之间,以解不等式和应用题考查为主.涉及本知识点的重点有不等式的基本性质；解一元一次不等式（组）,并会表示解集;一元一次不等式（组）的应用.从考查热点涉及本知识点的有：不等式的基本性质；解一元一次不等式（组）并在数轴上表示解集；不等式（组）的整数解；一元一次不等式（组）的应用.
考点剖析☆典型例题
例1 （2023 北京）已知a﹣1＞0，则下列结论正确的是（　　）
A．﹣1＜﹣a＜a＜1 B．﹣a＜﹣1＜1＜a C．﹣a＜﹣1＜a＜1 D．﹣1＜﹣a＜1＜a
【答案】B
【点拨】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【解析】解：∵a﹣1＞0，
∴a＞1，
∴﹣a＜﹣1，
∴﹣a＜﹣1＜1＜a，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
例2（2023 盐城）解不等式2x﹣3＜，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】x＜1．
【点拨】先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解析】解：先去分母，得3（2x﹣3）＜x﹣4，
去括号，得6x﹣9＜x﹣4，
移项合并同类项，得5x＜5，
系数化为1，得x＜1
∴原不等式的解集为：x＜1．
在数轴上表示为：
【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
例3（2023 西藏）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【点拨】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解析】解：，
由①x≤2，
由②得x＞﹣1，
不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
例4（2023 兰州）解不等式组：．
【答案】3＜x＜4．
【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】解：，
由①得：x＞3，
由②得：x＜4，
则不等式组的解集为3＜x＜4．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
例5（2022 绥化）不等式组的解集为x＞2，则m的取值范围为 　m≤2　．
【答案】m≤2．
【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．
【解析】解：由3x﹣6＞0，得：x＞2，
∵不等式组的解集为x＞2，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
例6（2023 眉山）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（　　）
A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣3
【答案】A
【点拨】先解不等式组，再根据仅有4个整数解得出m的不等式组，再求解．
【解析】解：解不等式组得：m+3＜x＜3，
由题意得：﹣2≤m+3＜﹣1，
解得：﹣5≤m＜﹣4，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
例7（2023 怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？
【答案】（1）原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；
（2）该学校共有3种租车方案，
方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；
方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；
方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；
（3）租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算．
【点拨】（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的B种客车不超过7辆”，可得出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金＝每辆A种客车的租金×租用A种客车的辆数+每辆B种客车的租金×租用B种客车的辆数，可分别求出选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论．
【解析】解：（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，
根据题意得：45x+30＝60（x﹣6），
解得：x＝26，
∴45x+30＝45×26+30＝1200．
答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；
（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，
根据题意得：，
解得：5≤y≤7，
又∵y为正整数，
∴y可以为5，6，7，
∴该学校共有3种租车方案，
方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；
方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；
方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；
（3）选择方案1的总租金为300×5+220×20＝5900（元）；
选择方案2的总租金为300×6+220×19＝5980（元）；
选择方案3的总租金为300×7+220×18＝6060（元）．
∵5900＜5980＜6060，
∴租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程，（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需总租金．
考点过关☆专项突破
类型一 不等式的性质
1．（2023 德阳）如果a＞b，那么下列运算正确的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．a+3＜b+3 C．3a＜3b D．＜
【答案】D
【点拨】不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，由此即可判断．
【解析】解：A、若a＞b，则a﹣3＞b﹣3，故A不符合题意；
B、若a＞b，则a+3＞b+3，故B不符合题意；
C、若a＞b，则3a＞3b，故C不符合题意；
D、若a＞b，则＜，正确，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质．
2．（2022 包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（　　）
A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣m＞﹣n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
【答案】D
【点拨】A、不等式的两边同时减去2，不等号的方向不变；
B、不等式的两边同时乘以﹣，不等号的方向改变；
C、不等式的两边同时减去m，不等号的方向不变；
D、不等式的两边同时乘以﹣2，不等号的方向改变．
【解析】解：A、m﹣2＞n﹣2，∴不符合题意；
B、﹣mn，∴不符合题意；
C、m﹣n＞0，∴不符合题意；
D、∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，
∴1﹣2m＜1﹣2n，∴符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的3个性质是解题关键．
3．（2022 杭州）已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则（　　）
A．a+c＞b+d B．a+b＞c+d C．a+c＞b﹣d D．a+b＞c﹣d
【答案】A
【点拨】根据不等式的性质判断A选项；根据特殊值法判断B，C，D选项．
【解析】解：A选项，∵a＞b，c＝d，
∴a+c＞b+d，故该选项符合题意；
B选项，当a＝2，b＝1，c＝d＝3时，a+b＜c+d，故该选项不符合题意；
C选项，当a＝2，b＝1，c＝d＝﹣3时，a+c＜b﹣d，故该选项不符合题意；
D选项，当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝d＝3时，a+b＜c﹣d，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时加上或减去同一个整式（或相等的整式），不等号的方向不变是解题的关键．
4．（2022 宿迁）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　）
A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y
【答案】D
【点拨】根据不等式的性质进行分析判断．
【解析】解：A、在不等式x＜y的两边同时减去1，不等号的方向不变，即x﹣1＜y﹣1，不符合题意；
B、在不等式x＜y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＜y+1，不符合题意；
C、在不等式x＜y的两边同时乘﹣2，不等号法方向改变，即﹣2x＞﹣2y，不符合题意；
D、在不等式x＜y的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2x＜2y，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质．不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可．
5．（2022 泰州）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n2（m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小关系为 　b＜c＜a　．
【答案】b＜c＜a
【点拨】代数式的比较，常用的方法是作差法或者作商法，由于填空题不需要过程的特殊性，还可以考虑特殊值代入法．考虑到答案唯一，因此特殊值代入法最合适，也最简单．
【解析】解：解法1：令m＝1，n＝0，
则a＝2，b＝0，c＝1．
∵0＜1＜2．
∴b＜c＜a．
解法2：∵a﹣c＝（2m2﹣mn）﹣（m2﹣n2）＝（m﹣0.5n）2+0.75n2＞0；
∴c＜a；
∵c﹣b＝（m2﹣n2）﹣（mn﹣2n2）＝（m﹣0.5n）2+.075n2＞0；
∴b＜c；
∴b＜c＜a．
【点睛】本题考查不等式的性质，但是直接利用不等式的性质并不容易求解，考虑到填空题不需要过程，所以特殊值代入法也是最好的选择．
类型二 不等式（组）的解法
1．（2023 攀枝花）下列各数是不等式x﹣1≥0的解的是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】D
【点拨】移项即可得出答案．
【解析】解：∵x﹣1≥0，
∴x≥1，
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式的解的概念，本题属于基础题型．
2．（2023 广西）x≤2在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【点拨】先在数轴上找到点2，再确定实心点还是空心点，根据大于往右画，小于往左画得结论．
【解析】解：x≤2在数轴上表示为：
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴上表示解集，掌握表示解集的方法是解决本题的关键．
3．（2022 聊城）关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（　　）
A．k≥8 B．k＞8 C．k≤8 D．k＜8
【答案】A
【点拨】两个方程相减可得出x+y＝k﹣3，根据x+y≥5列出关于k的不等式，解之可得答案．
【解析】解：把两个方程相减，可得x+y＝k﹣3，
根据题意得：k﹣3≥5，
解得：k≥8．
所以k的取值范围是k≥8．
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解二元一次方程组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力、不等式的基本性质等知识点．
4．（2022 梧州）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【点拨】求出两个不等式的公共解，并将解集在数轴上表示出来即可．
【解析】解：
所以不等式组的解集为﹣1＜x＜2，
在数轴上表示为：
，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是关键．
5．（2022 益阳）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【点拨】先把不等式组的解集求出来，然后根据解集判断x＝2是否是解集一个解．
【解析】解：A、∵不等式组的解集为x＜﹣1，∴x＝2不在这个范围内，故A不符合题意；
B、∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴x＝2不在这个范围内，故B不符合题意；
C、∵不等式组无解，∴x＝2不在这个范围内，故C不符合题意；
D、∵不等式组的解集为x＞1，∴x＝2在这个范围内，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．
6．（2023 遂宁）若关于x的不等式组的解集为x＞3，则a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
【答案】D
【点拨】用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可．
【解析】解：，
解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x＞a，
∵不等式组的解集是x＞3，
∴a≤3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
7．（2023 盘锦）不等式≥的解集是 　x≥﹣3　．
【答案】x≥﹣3．
【点拨】按解一元一次不等式的步骤解不等式即可．
【解析】解：去分母得，3（x+1）≥2x，
去括号得，3x+3≥2x，
移项合并同类项得，x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是关键．
8．（2023 黄石）若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为 　a≤﹣1　．
【答案】a≤﹣1．
【点拨】求出不等式组的解，根据其解集求出a的取值范围即可．
【解析】解：解不等式组，得．
∵它的解集为﹣1＜x＜4，
∴a≤﹣1．
故答案为：a≤﹣1．
【点睛】本题考查不等式的解集，正确求解不等式是本题的关键．
9．（2022 内蒙古）关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 　a≥2　．
【答案】见试题解答内容
【点拨】先把a当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
【解析】解：，
由①得：x≤2，
由②得：x＞a，
∵不等式组无解，
∴a≥2，
故答案为：a≥2．
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小解没了．
10．（2023 宁夏）解不等式组 ．
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
4﹣2（2x﹣1）＞3x﹣1…第1步
4﹣4x+2＞3x﹣1…第2步
﹣4x﹣3x＞﹣1﹣4﹣2
﹣7x＞﹣7…第3步
x＞1…第4步
任务一：该同学的解答过程第 　4　步出现了错误，错误原因是 　不等式的基本性质3应用错误　；
不等式①的正确解集是 　x＜1　；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【答案】任务一：4，不等式的基本性质3应用错误，x＜1；
任务二：﹣1≤x＜1．
【点拨】任务一：根据解不等式的基本步骤解答即可；
任务二：先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可．
【解析】解：任务一：4，不等式的基本性质3应用错误，x＜1；
任务二：﹣3x+x≤4﹣2，
﹣2x≤2，
x≥﹣1，
∴该不等式组的解集为﹣1≤x＜1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
11．（2023 菏泽）解不等式组．
【答案】x≤．
【点拨】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解析】解：，
解不等式①，得：x＜2.5，
解不等式②，得：x≤，
∴该不等式组的解集是x≤．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
类型三 不等式（组）的整数解
1．（2023 宿迁）不等式x﹣2≤1的最大整数解是 　3　．
【答案】3
【点拨】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．
【解析】解：移项，得：x≤1+2，
合并同类项，得：x≤3，
则不等式的最大整数解为3；
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
2．（2023 绵阳）关于x的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（　　）
A．11 B．15 C．18 D．21
【答案】C
【点拨】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有两个整数解确定出m的取值，求出整数m的值，进而求出和．
【解析】解：解不等式3x+2＞m，得x＞，
解不等式≤1，得x≤3，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴1≤＜2，
∴5≤m＜8，
∴整数m的取值为5，6，7，
∴所有整数m的和5+6+7＝18．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
3．（2023 宜宾）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，则整数a的值为 　2或﹣1　．
【答案】2或﹣1．
【点拨】求出a﹣1＜x≤5，根据所有整数解的和为14，列出关于a的不等式组，解得a的范围，即可求得答案．
【解析】解：，
解不等式①得：x＞a﹣1，
解不等式②得：x≤5，
∴a﹣1＜x≤5，
∵所有整数解的和为14，
∴不等式组的整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，﹣1，
∴1≤a﹣1＜2或﹣2≤a﹣1＜﹣1，
∴2≤a＜3或﹣1≤a＜0，
∵a为整数，
∴a＝2或a＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
【点睛】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是根据题意列出关于a的不等式组．
4．（2022 陕西）求不等式﹣1＜的正整数解．
【答案】不等式的正整数解有4，3，2，1．
【点拨】解不等式求出x的范围，再取符合条件的正整数即可．
【解析】解：两边同时乘以4得：2x﹣4＜x+1，
移项得：2x﹣x＜1+4，
合并同类项得：x＜5，
∴不等式的正整数解有：4，3，2，1．
【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤．
5．（2023 常州）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
【答案】﹣1＜x≤2，数轴见解答，整数解是：0，1，2．
【点拨】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．
【解析】解：，
解不等式①得，x≤2，
解不等式②得，x＞﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2，
在数轴上表示为
，
∴不等式组的整数解是：0，1，2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，关键是能求出不等式组的解集．
6．（2022 淮安）解不等式组：并写出它的正整数解．
【答案】1，2，3．
【点拨】解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
【解析】解：解不等式2（x﹣1）≥﹣4得x≥﹣1．
解不等式＜x﹣1得x＜4，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜4．
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．
类型四 不等式（组）的应用
1．（2023 丽水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（　　）
A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n
【答案】A
【点拨】利用小霞原来存款数+15×月数n＞小明原来存款数+12×月数n，求出即可．
【解析】解：由题意可得：52+15n＞70+12n．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，得到两人存款数的关系式是解决本题的关键．
2．（2023 西宁）象征吉祥富贵的丁香花是西宁市市花．为美化丁香大道，园林局准备购买某种规格的丁香花，若每棵6元，总费用不超过5000元，则最多可以购买 　833　棵．
【答案】833．
【点拨】设购买x棵丁香花，根据总费用不超过5000元得：6x≤5000，解出x的值，结合x为整数即可得到答案．
【解析】解：设购买x棵丁香花，
根据题意得：6x≤5000，
解得x≤833，
∵x为整数，
∴x的最大值为833，
∴最多可以购买833棵；
故答案为：833．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次不等式．
3．（2023 辽宁）某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环，收入76元．
（1）每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？
（2）某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？
【答案】（1）每个甲种驱蚊手环的售价是36元，每个乙种驱蚊手环的售价是20元；
（2）最多可购买甲种驱蚊手环31个．
【点拨】（1）设每个甲种驱蚊手环的售价是x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，根据“卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环，收入76元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环（100﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2500元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【解析】解：（1）设每个甲种驱蚊手环的售价是x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个甲种驱蚊手环的售价是36元，每个乙种驱蚊手环的售价是20元；
（2）设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环（100﹣m）个，
根据题意得：36m+20（100﹣m）≤2500，
解得：m≤，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为31．
答：最多可购买甲种驱蚊手环31个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
4．（2023 河南）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由；
（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价；
（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）选择活动一更合算；
（2）一件这种健身器材的原价是400元；
（3）300≤a＜400或600≤a＜800．
【点拨】（1）根据已知列式计算即可；
（2）设一件这种健身器材的原价为x元，可得x＝x﹣80，即可解得答案；
（3）分两种情况：当300≤a＜600时，a﹣80＜0.8a，当600≤a＜900时，a﹣160＜0.8a，分别解不等式可得答案．
【解析】解：（1）∵450×＝360（元），450﹣80＝370（元），
∴选择活动一更合算；
（2）设一件这种健身器材的原价为x元，
若x＜300，则活动一按原价打八折，活动二按原价，此时付款金额不可能相等；
∴300≤x＜500，
∴x＝x﹣80，
解得x＝400，
∴一件这种健身器材的原价是400元；
（3）当300≤a＜600时，a﹣80＜0.8a，
解得a＜400；
∴300≤a＜400；
当600≤a＜900时，a﹣160＜0.8a，
解得a＜800；
∴600≤a＜800；
综上所述，300≤a＜400或600≤a＜800．
【点睛】本题考查一元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式解决问题．
5．（2022 泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
【答案】（1）每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元；
（2）当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多．
【点拨】（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，根据“购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，利用总价＝单价×数量，结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5400元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解析】解：（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元．
（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，
依题意得：，
解得：20≤m≤30．
设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（160﹣120）m+（200﹣150）（40﹣m）＝﹣10m+2000．
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝20时，w取得最大值，此时40﹣m＝40﹣20＝20．
答：当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
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