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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题4 方程（组）问题
考点扫描☆聚焦中考
方程（组）问题在近几年全国各地中考试题中，填空题或选择题、解答题的形式都有考查，整式方程占比分相当大,难度有中档难度附近，一般大多数考生能拿到分数.主要考查方程的相关定义、解方程，方程在实际问题中的应用.考查热点涉及本知识点的有：①分式方程、一元二次方程及二次一次方程组的解法②由实际问题列出方程或者方程组求解；③方程（组）中含参求参数的值或者参数范围.
考点剖析☆典型例题
例1 （2022 青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　）
A．若＝，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣x＝6，则x＝﹣2
【答案】A
【点拨】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解析】解：A、若＝，则a＝b，故A符合题意；
B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；
C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；
D、﹣x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
例2（2021 广元）解方程：+＝4．
【答案】x＝7．
【点拨】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此解答即可．
【解析】解：+＝4，
3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24，
3x﹣9+2x﹣2＝24，
3x+2x＝24+9+2，
5x＝35，
x＝7．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
例3（2023 眉山）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【点拨】把方程组的两个方程相减得到2x﹣2y＝2m+6，结合x﹣y＝4，得到m的值．
【解析】解：∵关于x、y的二元一次方程组为，
①﹣②，得：
2x﹣2y＝2m+6，
∴x﹣y＝m+3，
∵x﹣y＝4，
∴m+3＝4，
∴m＝1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把方程组的两个方程相减得到m的方程，此题难度不大．
例4（2023 新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　）
A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
【答案】D
【点拨】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解析】解：x2﹣6x+8＝0，
x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+9＝﹣8+9，
（x﹣3）2＝1，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
例5（2022 天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
【答案】D
【点拨】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解析】解：x2+4x+3＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
x1＝﹣3，x2＝﹣1，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
例6（2023 陕西）解方程：．
【答案】x＝﹣
【点拨】利用解分式方程的步骤解方程即可．
【解析】解：原方程两边同乘x（x+5）去分母得：2x2﹣x（x+5）＝（x+5）2，
去括号得：2x2﹣x2﹣5x＝x2+10x+25，
移项，合并同类项得：﹣15x＝25，
解得：x＝﹣，
经检验，x＝﹣是分式方程的解，
故原方程的解为：x＝﹣．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
例7（2022 重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．
【答案】（1）24千米/时；
（2）18千米/时．
【点拨】（1）设乙骑行的速度为x千米/时，则甲骑行的速度为1.2x千米/时，利用路程＝速度×时间，结合甲追上乙时二者的行驶路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出乙骑行的速度，再将其代入1.2x中即可求出甲骑行的速度；
（2）设乙骑行的速度为y千米/时，则甲骑行的速度为1.2y千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合乙比甲多用20分钟，即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可求出乙骑行的速度，再将其代入1.2y中即可求出甲骑行的速度．
【解析】解：（1）设乙骑行的速度为x千米/时，则甲骑行的速度为1.2x千米/时，
依题意得：×1.2x＝2+x，
解得：x＝20，
∴1.2x＝1.2×20＝24．
答：甲骑行的速度为24千米/时．
（2）设乙骑行的速度为y千米/时，则甲骑行的速度为1.2y千米/时，
依题意得：﹣＝，
解得：y＝15，
经检验，y＝15是原方程的解，且符合题意，
∴1.2y＝1.2×15＝18．
答：甲骑行的速度为18千米/时．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
考点过关☆专项突破
类型一 一元一次方程及其应用
1．（2022 滨州）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I＝，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（　　）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
【答案】B
【点拨】根据等式的性质，对原式进行分析即可．
【解析】解：将等式I＝，去分母得IR＝U，实质上是在等式的两边同时乘R，用到的是等式的基本性质2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
2．（2023 永州）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
【答案】A
【点拨】根据方程的解的定义把x＝1代入方程即可求出m的值．
【解析】解：∵x＝1是关于x的一元一次方程2x+m＝5的解，
∴2×1+m＝5，
∴m＝3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟知：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．
4．（2023 海南）若代数式x+2的值为7，则x等于（　　）
A．9 B．﹣9 C．5 D．﹣5
【答案】C
【点拨】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解析】解：根据题意得：x+2＝7，
解得：x＝5．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程是解本题的关键．
3．（2022 百色）方程3x＝2x+7的解是（　　）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
【答案】C
【点拨】方程移项合并，即可求出解．
【解析】解：移项得：3x﹣2x＝7，
合并同类项得：x＝7．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2022 黔西南州）小明解方程﹣1＝的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同类项，得x＝﹣4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【点拨】对题目的解题过程逐步分析，即可找出出错的步骤．
【解析】解：方程两边同乘6应为：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），
∴出错的步骤为：①，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次方程，解题关键在于能准确观察出出错的步骤．
5．（2023 成都）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（　　）
A．（x+4.5）＝x﹣1 B．（x+4.5）＝x+1
C．（x+1）＝x﹣4.5 D．（x﹣1）＝x+4.5
【答案】A
【点拨】设木长x尺，根据题意列出方程解答即可．
【解析】解：设木长x尺，根据题意可得：
，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键．
6．（2023 丽水）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 　　斤．
【答案】．
【点拨】可设原有生丝为x斤，根据比值是一定的，列出方程计算即可求解．
【解析】解：设原有生丝为x斤，
x：12＝30：（30﹣3），
解得x＝．
故原有生丝为斤．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题关键．
7．（2023 北京）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．
【答案】边的宽为4cm，天头长为24cm．
【点拨】设天头长为6x cm，地头长为4x cm，则左、右边的宽为x cm，根据题意得列方程即可得到结论．
【解析】解：设天头长为6x cm，地头长为4x cm，则左、右边的宽为x cm，
根据题意得，100+（6x+4x）＝4×[27+（6x﹣4x）]，
解得x＝4，
答：边的宽为4cm，天头长为24cm．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确地理解题意列出方程是解题的关键．
类型二 二元一次方程组及其应用
1．（2023 无锡）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【点拨】二元一次方程2x+y＝10的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
【解析】解：A、把x＝1，y＝2代入方程，左边＝2+2＝右边，所以是方程的解；
B、把x＝2，y＝0代入方程，左边＝右边＝4，所以是方程的解；
C、把x＝0.5，y＝3代入方程，左边＝4＝右边，所以是方程的解；
D、把x＝﹣2，y＝4代入方程，左边＝0≠右边，所以不是方程的解．
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．
2．（2023 温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（　　）
A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30
【答案】A
【点拨】由碳水化合物和蛋白质含量间的关系，可得出碳水化合物含量是1.5x g，结合碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
【解析】解：∵碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，且蛋白质的含量为x g，
∴碳水化合物含量是1.5x g．
根据题意得：1.5x+x+y＝30，
∴x+y＝30．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
3．（2023 内蒙古）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在12场比赛中得20分．设该队胜x场，负y场，则根据题意，列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【点拨】依据题意，根据比赛12场可得x+y＝12，根据总积分20分，可得方程2x+y＝20，然后即可写出相应的方程组．
【解析】解：由题意可得，
．
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
4．（2023 南通）若实数x，y，m满足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，则代数式﹣2xy+1的值可以是（　　）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【点拨】结合已知条件解含参的二元一次方程组，然后代入﹣2xy+1中确定其取值即可．
【解析】解：由题意可得，
解得：，
则﹣2xy+1
＝﹣2××+1
＝﹣+1
＝﹣+1
＝﹣+1
＝﹣+≤，
∵3＞＞2＞，
∴A，B，C不符合题意，D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解得x，y的值后代入﹣2xy+1中整理出﹣+是解题的关键．
5．（2023 连云港）解方程组．
【答案】．
【点拨】利用加减消元法解方程组即可．
【解析】解：，
①+②得：5x＝15，
解得：x＝3，
将x＝3代入①得：3×3+y＝8，
解得：y＝﹣1，
故原方程组的解为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本方法为代入消元法和加减消元法，必须熟练掌握．
6．（2023 广西）【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，
【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m） l＝M （a+y），其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】：目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；
任务二：确定刻线的位置．
（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
【答案】见解析
【点拨】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；
（4）根据（3）可进行求解；
（5）分别把m＝0，m＝100，m＝200，m＝300，m＝400，m＝500，m＝600，m＝700，m＝800，m＝900，m＝1000 代入求解，以此即可求解．
【解析】解：（1）由题意得：m＝0，y＝0，
∵m0＝10，M＝50，
∴10l＝50a，
∴l＝5a；
（2）由题意得：m＝1000，y＝50，
∴（10+1000）l＝50（a+50），
∴101l﹣5a＝250；
（3）由（1）（2）可得：，
解得：；
（4）由（3）可知：l＝2.5，a＝0.5，
∴2.5（10+m）＝50（0.5+y），
∴；
（5）由（4）可知：，
当m＝100时，则有y＝5；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用、解二元一次方程组，读懂题意，根据题干的描述正确列出等式是解题关键．
类型三 一元二次方程及其应用
1．（2022 连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是 　1　．
【答案】1．
【点拨】把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得到m+n﹣1＝0，然后求得m+n的值即可．
【解析】解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，
解得m+n＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．（2022 梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 　x1＝2，x2＝﹣7　．
【答案】x1＝2，x2＝﹣7．
【点拨】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解析】解：（x﹣2）（x+7）＝0，
x﹣2＝0或x+7＝0，
x1＝2，x2＝﹣7，
故答案为：x1＝2，x2＝﹣7．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
3．（2022 雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【答案】C
【点拨】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得（x+3）2＝﹣c+9，可得2c＝﹣c+9，解方程即可得c的值．
【解析】解：x2+6x+c＝0，
x2+6x＝﹣c，
x2+6x+9＝﹣c+9，
（x+3）2＝﹣c+9．
∵（x+3）2＝2c，
∴2c＝﹣c+9，解得c＝3，
故选：C．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4．（2023 广西）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　）
A．3.2（1﹣x）2＝3.7 B．3.2（1+x）2＝3.7
C．3.7（1﹣x）2＝3.2 D．3.7（1+x）2＝3.2
【答案】B
【点拨】根据2020年的人均可支配收入×（1+年平均增长率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
【解析】解：由题意得：3.2（1+x）2＝3.7，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2023 广州）解方程：x2﹣6x+5＝0．
【答案】见解析
【点拨】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解析】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0，x﹣5＝0，
x1＝1，x2＝5．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
6．（2023 东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2 的羊圈；（2）不能，理由见解析．
【点拨】（1）根据BC＝栅栏总长﹣2AB，再利用矩形面积公式即可求出；
（2）把S＝650代入x（72﹣2x）中函数解析式中，解方程，取在自变量范围内的值即可．
【解析】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．
根据题意，得x（72﹣2x）＝640，
化简，得 x2﹣36x+320＝0，
解得 x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40（m），
当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）．
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2 的羊圈；
（2）答：不能，
理由：由题意，得x（72﹣2x）＝650，
化简，得 x2﹣36x+325＝0，
Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 650m2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到周长等量关系是解决本题的关键．
类型四 分式方程及其应用
1．（2023 株洲）将关于x的分式方程去分母可得（　　）
A．3x﹣3＝2x B．3x﹣1＝2x C．3x﹣1＝x D．3x﹣3＝x
【答案】A
【点拨】方程两边同乘2x（x﹣1），然后整理即可判断哪个选项符合题意．
【解析】解：，
去分母，得：3（x﹣1）＝2x，
整理，得：3x﹣3＝2x，
故选：A．
【点睛】本题考查解分式方程，解答本题的关键是找出最简公分母．
2．（2023 恩施州）分式方程＝的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝0
【答案】B
【点拨】方程两边同乘最简公分母（x﹣3）（x﹣1），化为整式方程求解，然后再进行检验可得出方程的解．
【解析】解：＝，
方程两边同乘最简公分母（x﹣3）（x﹣1），
去分母得x（x﹣1）＝（x+1）（x﹣3），
解得x＝﹣3，
把x＝﹣3代入（x﹣3）（x﹣1）＝24≠0，
∴原分式方程的解是x＝﹣3，
故选：B．
【点睛】此题主要是考查了分式方程的解法，能够正确去得分母化为整式方程是解答此题的关键，注意分式方程要检验．
3．（2023 上海）在分式方程+＝5中，设＝y，可得到关于y的整式方程为（　　）
A．y2+5y+5＝0 B．y2﹣5y+5＝0 C．y2+5y+1＝0 D．y2﹣5y+1＝0
【答案】D
【点拨】设＝y，则＝，原方程可变为：y+＝5，再去分母得y2+1＝5y，即可得出结论．
【解析】解：设＝y，则＝，
分式方程+＝5可变为：y+＝5，
去分母得：y2+1＝5y，
整理得：y2﹣5y+1＝0，
故选：D．
【点睛】本题考查换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键．
4．（2023 牡丹江）若分式方程＝1﹣的解为负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1且a≠﹣2 B．a＜0且a≠﹣2
C．a＜﹣2且a≠﹣3 D．a＜﹣1且a≠﹣3
【答案】D
【点拨】求出分式方程的解，按照解为负数列出不等式进行计算即可得出a的取值范围．
【解析】解：方程两侧同乘（x+2）得，a＝x+2﹣3，
∴x＝a+1，
∵解为负数，
∴a+1＜0，
即a＜﹣1，
要是分式有意义，x≠﹣2，即a+1≠﹣2，
∴a≠﹣3．
故选：D．
【点睛】本题考查了求分式方程的解以及一次不等式的解集，分式有意义的条件是本题考查的重点．
5．（2023 巴中）关于x的分式方程+＝3有增根，则m＝　﹣1　．
【答案】﹣1
【点拨】先去分母，再根据增根的意义列方程求解．
【解析】解：方程两边同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2），
由题意得：x＝2是该整式方程的解，
∴2+m﹣1＝0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，理解增根的意义是解题的关键．
6．（2023 张家界）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）＝ B．3（x﹣1）＝6210 C．3（x﹣1）＝ D．＝3x
【答案】C
【点拨】设6210元购买椽的数量为x株，根据单价＝总价÷数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．
【解析】解：设6210文购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为，
由题意得：3（x﹣1）＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．
7．（2023 浙江）小丁和小迪分别解方程﹣＝1过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】×；×；正确步骤见解答过程．
【点拨】根据解分式方程的步骤进行计算并判断即可．
【解析】解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下：
﹣＝1，
两边同乘（x﹣2），去分母得：x+x﹣3＝x﹣2，
移项，合并同类项得：x＝1，
检验：将x＝1代入（x﹣2）中可得：1﹣2＝﹣1≠0，
则x＝1是分式方程的解，
故原分式方程的解是x＝1．
【点睛】本题考查解分式方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8．（2023 济南）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】见解析
【点拨】（1）根据“用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同”列方程求解；
（2）先根据“购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍”求出取值范围，再根据一次函数的性质求解．
【解析】解：（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是 （x﹣200）元．
根据题意：，
解这个方程，得：x＝500，
经检验，x＝500是原方程的根，
∴x﹣200＝300，
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元；
（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型 （40﹣m）台，
购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，
由题意得：40﹣m≤3m，
解得：m≥10，
w＝500×0.8 m+300×0.8（40﹣m），
即：w＝160m+9600，
∵160＞0
∴w随m的减小而减小．
当m＝10时，w取得最小值11200，
∴40﹣m＝30
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，找到相等关系是解题的关键．
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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题4 方程（组）问题
考点扫描☆聚焦中考
方程（组）问题在近几年全国各地中考试题中，填空题或选择题、解答题的形式都有考查，整式方程占比分相当大,难度有中档难度附近，一般大多数考生能拿到分数.主要考查方程的相关定义、解方程，方程在实际问题中的应用.考查热点涉及本知识点的有：①分式方程、一元二次方程及二次一次方程组的解法②由实际问题列出方程或者方程组求解；③方程（组）中含参求参数的值或者参数范围.
考点剖析☆典型例题
例1 （2022 青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　）
A．若＝，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣x＝6，则x＝﹣2
例2（2021 广元）解方程：+＝4．
例3（2023 眉山）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
例4（2023 新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　）
A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
例5（2022 天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
例6（2023 陕西）解方程：．
例7（2022 重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．
考点过关☆专项突破
类型一 一元一次方程及其应用
1．（2022 滨州）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I＝，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（　　）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
2．（2023 永州）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
4．（2023 海南）若代数式x+2的值为7，则x等于（　　）
A．9 B．﹣9 C．5 D．﹣5
3．（2022 百色）方程3x＝2x+7的解是（　　）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
4．（2022 黔西南州）小明解方程﹣1＝的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同类项，得x＝﹣4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
5．（2023 成都）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（　　）
A．（x+4.5）＝x﹣1 B．（x+4.5）＝x+1 C．（x+1）＝x﹣4.5 D．（x﹣1）＝x+4.5
6．（2023 丽水）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 　　斤．
7．（2023 北京）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．
类型二 二元一次方程组及其应用
1．（2023 无锡）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（　　）
A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30
3．（2023 内蒙古）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在12场比赛中得20分．设该队胜x场，负y场，则根据题意，列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 南通）若实数x，y，m满足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，则代数式﹣2xy+1的值可以是（　　）
A．3 B． C．2 D．
5．（2023 连云港）解方程组．
6．（2023 广西）【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，
【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m） l＝M （a+y），其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】：目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；
任务二：确定刻线的位置．
（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
类型三 一元二次方程及其应用
1．（2022 连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是 　 　．
2．（2022 梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 　 　．
3．（2022 雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
4．（2023 广西）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　）
A．3.2（1﹣x）2＝3.7 B．3.2（1+x）2＝3.7
C．3.7（1﹣x）2＝3.2 D．3.7（1+x）2＝3.2
5．（2023 广州）解方程：x2﹣6x+5＝0．
6．（2023 东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
类型四 分式方程及其应用
1．（2023 株洲）将关于x的分式方程去分母可得（　　）
A．3x﹣3＝2x B．3x﹣1＝2x C．3x﹣1＝x D．3x﹣3＝x
2．（2023 恩施州）分式方程＝的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝0
3．（2023 上海）在分式方程+＝5中，设＝y，可得到关于y的整式方程为（　　）
A．y2+5y+5＝0 B．y2﹣5y+5＝0 C．y2+5y+1＝0 D．y2﹣5y+1＝0
4．（2023 牡丹江）若分式方程＝1﹣的解为负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1且a≠﹣2 B．a＜0且a≠﹣2
C．a＜﹣2且a≠﹣3 D．a＜﹣1且a≠﹣3
5．（2023 巴中）关于x的分式方程+＝3有增根，则m＝　　．
6．（2023 张家界）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）＝ B．3（x﹣1）＝6210 C．3（x﹣1）＝ D．＝3x
7．（2023 浙江）小丁和小迪分别解方程﹣＝1过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
8．（2023 济南）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
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