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1.1.1 课时1 集合与元素
【学习目标】
1.通过实例,了解集合的含义,理解集合与它的元素之间的归属关系.(数学抽象、逻辑推理)
2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.(数学抽象)
3.在具体情境中,了解空集的含义.(数学抽象)
【自主预习】
预学忆思
1.在初中,我们学习数的分类时,学过哪些数的集合
2.如何用字母表示集合与元素
3.元素与集合之间有哪些关系
4.空集中有元素吗 它是无限集吗
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)集合中的元素一定是数. (　　)
(2)集合N中的最小元素为0. (　　)
(3)空集 =0. (　　)
2.下面能构成集合的是(　　).
A.中国的小河流
B.大于5且小于11的偶数
C.高一年级的优秀学生
D.某班级跑得快的学生
3.下列元素与集合的关系判断正确的是　　　.(填序号)
①0∈N;②π∈Q;③∈Q;④-1∈Z;⑤ R.
4.已知集合M只有两个元素3和a+1,且4∈M,则实数a=　　　　.
【合作探究】
探究1：集合与元素的概念
情境设置
集合论是现代数学的基础,创始者是德国数学家——康托尔.康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣.康托尔肯定了无穷数的存在,并对无穷问题进行了哲学的讨论,最终建立了较完善的集合理论,为现代数学的发展打下了坚实的基础.
问题1:初中我们接触了哪些集合
问题2:所有的“美景”能否构成集合
新知生成
1.集合与集合的元素
把一些对象放在一起考虑时,就说这些对象组成了一个集合,给这些对象的总的名称,就是这个集合的名字.这些对象中的每一个,都叫作这个集合的一个元素.
2.元素与集合的关系
若S是一个集合,a是S的一个元素,记作a∈S,读作“a属于S”;若a不是S的元素,记作a S(或a S),读作“a不属于S”.
新知运用
例1　(1)判断下列元素的全体能否组成集合.
①不超过20的非负数;
②方程x2-9=0在实数范围内的解;
③某校2020年在校的所有高个子同学;
④的近似值的全体.
(2)(多选题)由不超过5的实数组成的集合A与元素a=+的关系有(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.a∈A B.a2∈A C.∈A D.a+1∈A
【方法总结】判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的,就可以构成集合;如果是“模棱两可”的,就不能构成集合.
巩固训练
1.(多选题)下列各组对象能组成集合的是(　　).
A.2022年北京冬奥会的5个冰上项目和10个雪上项目
B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有正整数
D.函数y=图象上所有的点
2.设集合B是小于的所有实数的集合,则2　　　　B,1+　　　　B.(用符号“∈”或“ ”填空)
探究2：集合中元素特性的应用
情境设置
问题1:在同一个集合中,能找出相同的元素吗
问题2:由1,2,3构成的集合与由3,2,1构成的集合是否是同一个集合
新知生成
集合的基本属性
(1)同一集合中的元素是互不相同的.
(2)集合中的元素是确定的.即给定一个集合,任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的.
(3)集合中的元素没有顺序.
新知运用
例2　已知集合A中元素满足2x+a>0,a为实数.若1 A,2∈A,则实数a的取值范围为　　　　.
【方法总结】由集合中元素的特性求解参数取值(范围)的步骤
巩固训练
已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若-3∈A,试求实数a的值.
探究3：常用数集与集合分类
情境设置
问题1:数学里最常用的集合是各种数的集合,简称数集.在初中,我们用什么表示实数集
问题2:实数集中的元素有多少个 这类集合称为什么集
问题3:你能用符号表示常见的数集吗
新知生成
1.常用的数集及其记法
全体自然数组成的集合叫自然数集,记作N.
全体整数组成的集合叫整数集,记作Z.
全体有理数组成的集合叫有理数集,记作Q.
全体实数组成的集合叫实数集,记作R.
通常用R+表示全体正实数组成的集合;类似的有R-,Z+,N+,Q-,….
有限集 元素个数有限的集合叫有限集
无限集 元素个数无限多的集合叫无限集
空集 没有元素的集合叫空集,记作 ,空集也是有限集
2.集合的分类
新知运用
例3　下列所给关系正确的个数是(　　).
①-∈R;② Q;③0∈N+;④|-3| N+.　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4
【方法总结】判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法:集合中的元素是直接给出的.
(2)推理法:对于某些不便直接表示的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
例4　下列集合中哪些是空集 哪些是无限集
(1)满足|x|+|y|=0且xy≠0的所有实数组(x,y)构成的集合;
(2)被3除余1的正整数构成的集合;
(3)一次函数y=2x-3图象上所有的点构成的集合;
(4)方程x2-x+1=0的全体实根构成的集合.
方法指导　根据集合的分类定义判断.
【方法总结】空集的判断要紧扣空集的定义:没有元素的集合.有限集和无限集的分类关键是看元素的个数是否可数.
巩固训练
1.(多选题)下列表示正确的是(　　).
A.∈N B.0∈N
C.-3 Z D.π Q
2.下列集合哪些是空集 哪些是有限集 哪些是无限集
(1)所有偶数构成的集合;
(2)所有绝对值不大于3的偶数构成的集合;
(3)方程x2+2=0的所有实数根构成的集合.
【随堂检测】
1.下列各组对象可以组成集合的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.所有小的正数
2.若a,b,c为集合M中的三个元素,则以a,b,c为边长的△ABC一定不是(　　).
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.有下列说法:
①集合N中最小的数为1;
②若-a∈N,则a∈N;
③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;
④所有小的正数组成一个集合.
其中正确说法的个数是(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
4.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,求实数m的值.
21.1.1 课时1 集合与元素
【学习目标】
1.通过实例,了解集合的含义,理解集合与它的元素之间的归属关系.(数学抽象、逻辑推理)
2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.(数学抽象)
3.在具体情境中,了解空集的含义.(数学抽象)
【自主预习】
预学忆思
1.在初中,我们学习数的分类时,学过哪些数的集合
【答案】学过数的集合有:自然数的集合,正数的集合,负数的集合,有理数的集合,无理数的集合,实数的集合等.
2.如何用字母表示集合与元素
【答案】元素通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示;集合通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.
3.元素与集合之间有哪些关系
【答案】元素与集合之间是属于与不属于的关系.
4.空集中有元素吗 它是无限集吗
【答案】空集没有元素,它不是无限集,是有限集.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)集合中的元素一定是数. (　　)
(2)集合N中的最小元素为0. (　　)
(3)空集 =0. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×
2.下面能构成集合的是(　　).
A.中国的小河流
B.大于5且小于11的偶数
C.高一年级的优秀学生
D.某班级跑得快的学生
【答案】B
【解析】我国的小河流不能构成集合,A不符合集合中元素的确定性; 大于5且小于11的偶数为6,8,10,B可以构成集合;高一年级的优秀学生不能构成集合,C不符合集合中元素的确定性;某班级跑得快的学生不能构成集合,D不符合集合中元素的确定性.
3.下列元素与集合的关系判断正确的是　　　.(填序号)
①0∈N;②π∈Q;③∈Q;④-1∈Z;⑤ R.
【答案】①④
【解析】N表示自然数集,Q表示有理数集,Z表示整数集,R表示实数集,故0∈N,π Q, Q,-1∈Z,∈R.
4.已知集合M只有两个元素3和a+1,且4∈M,则实数a=　　　　.
【答案】3
【解析】由题意知a+1=4,即a=3.
【合作探究】
探究1：集合与元素的概念
情境设置
集合论是现代数学的基础,创始者是德国数学家——康托尔.康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣.康托尔肯定了无穷数的存在,并对无穷问题进行了哲学的讨论,最终建立了较完善的集合理论,为现代数学的发展打下了坚实的基础.
问题1:初中我们接触了哪些集合
【答案】(1)数集:自然数的集合,有理数的集合,….
(2)点集:圆(同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合),线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合),….
问题2:所有的“美景”能否构成集合
【答案】不能构成集合.
新知生成
1.集合与集合的元素
把一些对象放在一起考虑时,就说这些对象组成了一个集合,给这些对象的总的名称,就是这个集合的名字.这些对象中的每一个,都叫作这个集合的一个元素.
2.元素与集合的关系
若S是一个集合,a是S的一个元素,记作a∈S,读作“a属于S”;若a不是S的元素,记作a S(或a S),读作“a不属于S”.
新知运用
例1　(1)判断下列元素的全体能否组成集合.
①不超过20的非负数;
②方程x2-9=0在实数范围内的解;
③某校2020年在校的所有高个子同学;
④的近似值的全体.
(2)(多选题)由不超过5的实数组成的集合A与元素a=+的关系有(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.a∈A B.a2∈A C.∈A D.a+1∈A
【答案】(2)ACD
　　【解析】(1)①对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”,所以能组成集合;
②能组成集合;
③“高个子”无明确的标准,对于某个人算不算高个子无法客观地判断,因此不能组成集合;
④“的近似值”没有明确精确到什么程度,因此不能判断一个数是不是它的近似值,所以不能组成集合.
(2)对于A,因为a=+<+=4<5,所以a∈A.
对于B,因为a2=()2+2×+()2=5+2>5,所以a2 A.
对于C,因为===-<5,所以∈A.
对于D,因为a+1<++1=5,所以a+1∈A.
故选ACD.
【方法总结】判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的,就可以构成集合;如果是“模棱两可”的,就不能构成集合.
巩固训练
1.(多选题)下列各组对象能组成集合的是(　　).
A.2022年北京冬奥会的5个冰上项目和10个雪上项目
B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有正整数
D.函数y=图象上所有的点
【答案】ACD
【解析】选项A,C,D中的元素符合集合中元素的确定性;而选项B中,“难题”没有明确标准,不符合集合中元素的确定性,不能构成集合.
2.设集合B是小于的所有实数的集合,则2　　　　B,1+　　　　B.(用符号“∈”或“ ”填空)
【答案】 　∈
【解析】∵2=>,∴2 B,
∵(1+)2=3+2<3+2×4=11,
∴1+<,∴1+∈B.
探究2：集合中元素特性的应用
情境设置
问题1:在同一个集合中,能找出相同的元素吗
【答案】不能,因为集合中的元素互不相同.
问题2:由1,2,3构成的集合与由3,2,1构成的集合是否是同一个集合
【答案】是同一个集合,因为集合中的元素没有顺序.
新知生成
集合的基本属性
(1)同一集合中的元素是互不相同的.
(2)集合中的元素是确定的.即给定一个集合,任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的.
(3)集合中的元素没有顺序.
新知运用
例2　已知集合A中元素满足2x+a>0,a为实数.若1 A,2∈A,则实数a的取值范围为　　　　.
【答案】-4【解析】因为1 A,2∈A,所以
解得-4【方法总结】由集合中元素的特性求解参数取值(范围)的步骤
巩固训练
已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若-3∈A,试求实数a的值.
【解析】∵-3∈A,∴-3=a-3或-3=2a-1.
若-3=a-3,则a=0,
此时集合A中含有两个元素-3,-1,符合题意;
若-3=2a-1,则a=-1,
此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合题意.
综上所述,a=0或a=-1.
探究3：常用数集与集合分类
情境设置
问题1:数学里最常用的集合是各种数的集合,简称数集.在初中,我们用什么表示实数集
【答案】用圆圈和具体的数,如实数集:
问题2:实数集中的元素有多少个 这类集合称为什么集
【答案】实数集中的元素有无穷多个,元素无限个的集合称为无限集.
问题3:你能用符号表示常见的数集吗
【答案】能,N表示自然数集,R表示实数集,Z表示整数集,Q表示有理数集等.
新知生成
1.常用的数集及其记法
全体自然数组成的集合叫自然数集,记作N.
全体整数组成的集合叫整数集,记作Z.
全体有理数组成的集合叫有理数集,记作Q.
全体实数组成的集合叫实数集,记作R.
通常用R+表示全体正实数组成的集合;类似的有R-,Z+,N+,Q-,….
有限集 元素个数有限的集合叫有限集
无限集 元素个数无限多的集合叫无限集
空集 没有元素的集合叫空集,记作 ,空集也是有限集
2.集合的分类
新知运用
例3　下列所给关系正确的个数是(　　).
①-∈R;② Q;③0∈N+;④|-3| N+.　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4
【答案】B
【解析】∵-是实数,是无理数,∴①②正确.∵N+表示正整数集,∴③④不正确.
【方法总结】判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法:集合中的元素是直接给出的.
(2)推理法:对于某些不便直接表示的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
例4　下列集合中哪些是空集 哪些是无限集
(1)满足|x|+|y|=0且xy≠0的所有实数组(x,y)构成的集合;
(2)被3除余1的正整数构成的集合;
(3)一次函数y=2x-3图象上所有的点构成的集合;
(4)方程x2-x+1=0的全体实根构成的集合.
方法指导　根据集合的分类定义判断.
【解析】(1)若|x|+|y|=0,则x=y=0,这与xy≠0矛盾,所以(1)是空集;
(2)被3除余1的正整数有1,4,7,…,即有无数个,所以(2)是无限集;
(3)一次函数y=2x-3图象上的点有无数个,所以(3)是无限集;
(4)因为Δ=(-1)2-4<0,所以(4)是空集.
【方法总结】空集的判断要紧扣空集的定义:没有元素的集合.有限集和无限集的分类关键是看元素的个数是否可数.
巩固训练
1.(多选题)下列表示正确的是(　　).
A.∈N B.0∈N
C.-3 Z D.π Q
【答案】BD
【解析】N表示自然数集,故A不正确,B正确;Z表示整数集,故C不正确;Q表示有理数集,故D正确.故选BD.
2.下列集合哪些是空集 哪些是有限集 哪些是无限集
(1)所有偶数构成的集合;
(2)所有绝对值不大于3的偶数构成的集合;
(3)方程x2+2=0的所有实数根构成的集合.
【解析】(1)是无限集.(2)是有限集.(3)空集.
【随堂检测】
1.下列各组对象可以组成集合的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.所有小的正数
【答案】B
【解析】A中“难题”的标准不确定,不能构成集合;B能构成集合;C中“一些点”没有明确的标准,不能构成集合;D中“小”没有明确的标准,不能构成集合.
2.若a,b,c为集合M中的三个元素,则以a,b,c为边长的△ABC一定不是(　　).
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
【答案】D
【解析】根据集合元素的互异性,a≠b≠c,所以△ABC一定不是等腰三角形.
故选D.
3.有下列说法:
①集合N中最小的数为1;
②若-a∈N,则a∈N;
③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;
④所有小的正数组成一个集合.
其中正确说法的个数是(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】A
【解析】因为N中最小的数为0,所以①错误;由-(-2)∈N,而-2 N可知②错误;若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为0,所以③错误;“小”的正数没有明确的标准,所以④错误,故选A.
4.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,求实数m的值.
【解析】由题意知,m=2或m2-3m+2=2,
解得m=2或m=0或m=3.
经验证,当m=0或m=2时,集合A中的元素不满足互异性;当m=3时,满足题意.
故m=3.
2

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