资源简介

1.1.2　子集和补集
【学习目标】
1.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(数学抽象、逻辑推理)
2.了解全集的概念,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.(数学抽象、数学运算)
3.能理解用Venn图表示集合的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用.(直观想象)
【自主预习】
预学忆思
1.集合与集合之间的关系有哪几种 如何用符号表示这些关系
【答案】集合与集合之间的关系有包含、真包含或相等,包含用符号“ ”表示,真包含用符号“ ”表示,相等用符号“=”表示.
2.集合的子集、真子集是怎么定义的
【答案】若A包含于B,则A是B的一个子集;若A B但A≠B,则A是B的真子集.
3.空集和其他集合间具有什么关系
【答案】空集是任何一个集合的子集,是任何非空集合的真子集.
4.补集与全集的关系是什么
【答案】补集是全集的子集.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)空集没有子集. (　　)
(2)若集合A是集合B的真子集,则集合B中必定存在元素不在集合A中. (　　)
(3)若a∈A,集合A是集合B的子集,则必定有a∈B. (　　)
(4)一个集合的补集中一定含有元素. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.已知集合M={x|x2=4},N为自然数集,则下列结论正确的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{2}=M　　　　　　　 B.2 M C.-2∈M D.M N
【答案】C
【解析】由题意知,M={-2,2},而N为自然数集,则-2 N,2∈N且-2,2∈M,
所以{2} M,故A,B,D错误,C正确.
3.写出集合{-1,1}的所有子集:　　　　　　　　.
【答案】 ,{-1},{1},{-1,1}
【解析】由子集的定义,得集合{-1,1}的所有子集有 ,{-1},{1},{-1,1}.
4.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,7},则UA=　　　　.
【答案】{2,4,6}
【解析】因为全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,7},所以UA={2,4,6}.
【合作探究】
探究1：子集与真子集
情境设置
小明同学与小李同学在讨论集合A={x|x是正方形},B={x|x是菱形},C={x|x是平行四边形}之间的关系时,
小明说:“所有的正方形都是菱形,所以集合A属于集合B;所有的菱形都是平行四边形,所以集合B属于集合C.”
小李说:“集合A,B,C的关系只能用图形表示.”
问题1:小明说的是否正确
【答案】不正确,这是两个集合之间的关系,应该是集合A包含于集合B,集合B包含于集合C.
问题2:小李说的正确吗
【答案】不正确,可以用封闭图形来表示,比如,
也可以用符号表示,如A B C.
新知生成
1.子集
(1)如果集合A的每个元素都是集合B的元素,就说A包含于B,或者说B包含A,记作A B(或B A),读作“A包含于B”(或“B包含A”).
(2)若集合A包含于集合B,则称集合A是集合B的一个子集.
2.集合相等
如果集合B是集合A的子集,集合A也是集合B的子集,就说两个集合相等,记作A=B.
3.真子集
如果A B但A≠B,就说集合A是集合B的真子集,记作A B,读作“A真包含于B”.
4.Venn图
大圆和小圆分别表示两个集合,小圆画在大圆里,表示前者是后者的真子集.这类表示集合间关系的示意图叫作韦恩图(Venn图).如B A可用Venn图表示为
5.子集的性质
(1)每个集合都是它自己的子集,即A A.
(2)空集包含于任意集合,是任意集合的子集.
6.包含关系具有传递性
对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C.
新知运用
例1　(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},用适当的符号填空:A　　　B,A　　　C,{2}　　　C,2　　　C.
(2)已知M={y|y=x2-2x-1,x∈R},N={x|-2≤x≤4},则集合M与N之间的关系是　　　　.
(3)集合M={1,2,3}的真子集个数是(　　).　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】(1)=　 　 　∈　(2)N M　(3)B
【解析】(1)由题意得A={1,2},B={1,2},C={0,1,2,3,4,5,6,7},∴A=B,A C,{2} C,2∈C.
(2)∵y=(x-1)2-2≥-2,∴M={y|y≥-2},∴N M.
　　(3)集合M的真子集所含有的元素的个数可以为0个,1个或2个.含有0个为 ,含有1个有3个真子集{1},{2},{3},含有2个元素有3个真子集{1,2},{1,3}和{2,3},共有7个真子集,故选B.
【方法总结】判断集合间关系的方法
(1)定义法
①对任意x∈A时,均有x∈B,则A B.
②当A B时,存在x∈B,且x A,则A B.
③若既有A B,又有B A,则A=B.
(2)数形结合法
对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.
巩固训练
1.设x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,则集合A,B之间的关系是　　　　.
【答案】B A
【解析】因为B=={(x,y)|y=x,且x≠0},所以B A.
2.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}之间的关系的Venn图是(　　).
【答案】B
【解析】由x2-x=0,得x=1或x=0,故N={0,1},易得N M,其对应的Venn图如选项B所示.
3.满足{1,2} M {1,2,3,4,5}的集合M有　　　　个.
【答案】7
【解析】由题意得,{1,2} M {1,2,3,4,5},可以确定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下:
含有三个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};
含有四个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5};
含有五个元素:{1,2,3,4,5}.
故满足题意的集合M共有7个.
探究2：利用集合间的关系求参数
例2　已知集合A={x|-2≤x≤5}.若A C,且C B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围.
方法指导　根据子集的性质,推出集合A与集合B的关系,然后建立不等式组求解.
【解析】因为A C,且C B,所以A B,则解得即3≤m≤4,所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}.
【方法总结】利用集合的关系求解参数问题:(1)利用集合的关系求解参数的取值范围问题,常涉及两个集合,其中一个集合含有参数,另一个集合已知,解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特别注意端点问题.(2)空集是任何集合的子集,因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时,要注意讨论A= 和A≠ 两种情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面的后果.
巩固训练
已知集合M={x|x2+2x-a=0}.
(1)若 M,求实数a的取值范围;
(2)若N={x|x2+x=0},且M N,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由题意得,方程x2+2x-a=0有实数解,
∴Δ=22-4×(-a)≥0,解得a≥-1,
即实数a的取值范围为{a|a≥-1}.
(2)∵N={x|x2+x=0}={0,-1},且M N,
∴当M= 时,Δ=22-4×(-a)<0,得a<-1.
当M≠ 时,若Δ=0,则a=-1,
此时M={-1},满足M N,符合题意;
若Δ>0,则a>-1,M中有两个元素,
∵M N,∴M=N,∴无解.
综上所述,实数a的取值范围为{a|a≤-1}.
探究3：补集
情境设置
观察下列三个集合:
S={x|x是高一年级的同学},
A={x|x是高一年级参加军训的同学},
B={x|x是高一年级没有参加军训的同学}.
问题1:如何确定高一年级的同学中谁参加了军训
【答案】如果我们直接去统计张三、李四、王五等人谁参加了军训,这样做可就麻烦多了.若确定出没有参加军训的同学,则剩下的同学都参加了军训,问题可就简单多了.
问题2:集合S与集合A,B之间有什么关系
【答案】A∪B=S,A∩B= .
问题3:如何在全集S中研究相关集合A和B之间的关系呢
【答案】由所有属于集合S但不属于集合A的元素组成的集合就是集合B.
新知生成
1.全集
如果在某个特定的场合,要讨论的对象都是集合U的元素或子集,就可以约定把集合U叫作全集(或基本集).
2.补集
若集合A是全集U的子集,则U中所有不属于A的元素组成的子集叫作A的补集,记作UA.
即UA={x|x∈U,且x A}.
当U可以从上下文确知时,A的补集也可以记作.显然U(UA)=A.一般地,不论A是否是B的子集,都可用B\A表示B中不属于A的元素组成的子集.
新知运用
例3　(1)设集合U=R,M={x|x>2或x<-2},则UM=(　　).　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x|-2≤x≤2} B.{x|-2C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x≤-2或x≥2}
(2)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},UA={2,4,6},UB={1,4,6},则集合B=　　　　.
【答案】(1)A　(2){2,3,5,7}
【解析】(1)如图,在数轴上表示出集合M,可知UM={x|-2≤x≤2}.
(2)∵A={1,3,5,7},UA={2,4,6},∴U={1,2,3,4,5,6,7},又UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}.
【方法总结】求补集UA的方法
(1)列举法表示:从全集U中去掉属于集合A的所有元素后,由所有余下的元素组成的集合.
(2)由不等式构成的无限集表示:借助数轴,取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.
例4　设全集U={3,6,m2-m-1},A={|3-2m|,6},UA={5},求实数m.
【解析】∵UA={5},∴5∈U且|3-2m|=3,
即
由m2-m-1=5,得m2-m-6=0,
∴m=-2或m=3.
由|3-2m|=3,得m=0或m=3.
∴m=3.
【方法总结】集合A与UA中没有公共元素;若集合中元素个数有限时,可利用补集定义并结合Venn图求解,若集合中元素有无限个时,可利用数轴分析法求参数.
巩固训练
1.(多选题)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3或4A.UA={x|x<1或3B.UB={x|x<2或x≥5}
C.UA UB
D.UB UA
【答案】AB
【解析】由补集的定义知A,B正确;由子集的定义知C,D都不正确.
2.已知全集U=R,集合P={x|x≤0或x≥6},M={x|a【答案】{x|0【解析】∵全集U=R,∴UP={x|0若M= ,即a≥2a+4,解得a≤-4,符合M UP.
若M≠ ,要使M UP,则需解得0≤a≤1.
综上,实数a的取值范围为{a|a≤-4或0≤a≤1}.
【随堂检测】
1.下列关系正确的是(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0∈ B. ={0}
C.{ } {0} D. {0}
【答案】D
【解析】0 , ≠{0},{ } {0}, {0}.故选D.
2.已知集合A={a,b},那么集合A的所有子集为(　　).
A.{a},{b} B.{a,b}
C.{a},{b},{a,b} D. ,{a},{b},{a,b}
【答案】D
【解析】由题意得,集合A={a,b}的子集有 ,{a},{b},{a,b}.故选D.
3.已知全集U={x|-3【答案】{x|-3【解析】∵U={x|-34.已知集合A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|mx-1=0}.
(1)求A;
(2)若B A,求实数m的取值集合.
【解析】(1)由x2-3x+2=0,解得x=1或2,故A={1,2}.
(2)当B= 时,m=0符合条件;
当B≠ ,即m≠0时,B=,由B A可得=1或2,解得m=1或m=.
综上,m的取值集合为0,,1.
21.1.2　子集和补集
【学习目标】
1.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(数学抽象、逻辑推理)
2.了解全集的概念,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.(数学抽象、数学运算)
3.能理解用Venn图表示集合的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用.(直观想象)
【自主预习】
预学忆思
1.集合与集合之间的关系有哪几种 如何用符号表示这些关系
2.集合的子集、真子集是怎么定义的
3.空集和其他集合间具有什么关系
4.补集与全集的关系是什么
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)空集没有子集. (　　)
(2)若集合A是集合B的真子集,则集合B中必定存在元素不在集合A中. (　　)
(3)若a∈A,集合A是集合B的子集,则必定有a∈B. (　　)
(4)一个集合的补集中一定含有元素. (　　)
2.已知集合M={x|x2=4},N为自然数集,则下列结论正确的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{2}=M　　　　　　　 B.2 M C.-2∈M D.M N
3.写出集合{-1,1}的所有子集:　　　　　　　　.
4.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,7},则UA=　　　　.
【合作探究】
探究1：子集与真子集
情境设置
小明同学与小李同学在讨论集合A={x|x是正方形},B={x|x是菱形},C={x|x是平行四边形}之间的关系时,
小明说:“所有的正方形都是菱形,所以集合A属于集合B;所有的菱形都是平行四边形,所以集合B属于集合C.”
小李说:“集合A,B,C的关系只能用图形表示.”
问题1:小明说的是否正确
问题2:小李说的正确吗
新知生成
1.子集
(1)如果集合A的每个元素都是集合B的元素,就说A包含于B,或者说B包含A,记作A B(或B A),读作“A包含于B”(或“B包含A”).
(2)若集合A包含于集合B,则称集合A是集合B的一个子集.
2.集合相等
如果集合B是集合A的子集,集合A也是集合B的子集,就说两个集合相等,记作A=B.
3.真子集
如果A B但A≠B,就说集合A是集合B的真子集,记作A B,读作“A真包含于B”.
4.Venn图
大圆和小圆分别表示两个集合,小圆画在大圆里,表示前者是后者的真子集.这类表示集合间关系的示意图叫作韦恩图(Venn图).如B A可用Venn图表示为
5.子集的性质
(1)每个集合都是它自己的子集,即A A.
(2)空集包含于任意集合,是任意集合的子集.
6.包含关系具有传递性
对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C.
新知运用
例1　(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},用适当的符号填空:A　　　B,A　　　C,{2}　　　C,2　　　C.
(2)已知M={y|y=x2-2x-1,x∈R},N={x|-2≤x≤4},则集合M与N之间的关系是　　　　.
(3)集合M={1,2,3}的真子集个数是(　　).　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.6 B.7 C.8 D.9
【方法总结】判断集合间关系的方法
(1)定义法
①对任意x∈A时,均有x∈B,则A B.
②当A B时,存在x∈B,且x A,则A B.
③若既有A B,又有B A,则A=B.
(2)数形结合法
对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.
巩固训练
1.设x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,则集合A,B之间的关系是　　　　.
2.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}之间的关系的Venn图是(　　).
3.满足{1,2} M {1,2,3,4,5}的集合M有　　　　个.
探究2：利用集合间的关系求参数
例2　已知集合A={x|-2≤x≤5}.若A C,且C B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围.
方法指导　根据子集的性质,推出集合A与集合B的关系,然后建立不等式组求解.
【解析】因为A C,且C B,所以A B,则解得即3≤m≤4,所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}.
【方法总结】利用集合的关系求解参数问题:(1)利用集合的关系求解参数的取值范围问题,常涉及两个集合,其中一个集合含有参数,另一个集合已知,解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特别注意端点问题.(2)空集是任何集合的子集,因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时,要注意讨论A= 和A≠ 两种情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面的后果.
巩固训练
已知集合M={x|x2+2x-a=0}.
(1)若 M,求实数a的取值范围;
(2)若N={x|x2+x=0},且M N,求实数a的取值范围.
探究3：补集
情境设置
观察下列三个集合:
S={x|x是高一年级的同学},
A={x|x是高一年级参加军训的同学},
B={x|x是高一年级没有参加军训的同学}.
问题1:如何确定高一年级的同学中谁参加了军训
问题2:集合S与集合A,B之间有什么关系
问题3:如何在全集S中研究相关集合A和B之间的关系呢
新知生成
1.全集
如果在某个特定的场合,要讨论的对象都是集合U的元素或子集,就可以约定把集合U叫作全集(或基本集).
2.补集
若集合A是全集U的子集,则U中所有不属于A的元素组成的子集叫作A的补集,记作UA.
即UA={x|x∈U,且x A}.
当U可以从上下文确知时,A的补集也可以记作.显然U(UA)=A.一般地,不论A是否是B的子集,都可用B\A表示B中不属于A的元素组成的子集.
新知运用
例3　(1)设集合U=R,M={x|x>2或x<-2},则UM=(　　).　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x|-2≤x≤2} B.{x|-2C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x≤-2或x≥2}
(2)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},UA={2,4,6},UB={1,4,6},则集合B=　　　　.
【方法总结】求补集UA的方法
(1)列举法表示:从全集U中去掉属于集合A的所有元素后,由所有余下的元素组成的集合.
(2)由不等式构成的无限集表示:借助数轴,取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.
例4　设全集U={3,6,m2-m-1},A={|3-2m|,6},UA={5},求实数m.
【方法总结】集合A与UA中没有公共元素;若集合中元素个数有限时,可利用补集定义并结合Venn图求解,若集合中元素有无限个时,可利用数轴分析法求参数.
巩固训练
1.(多选题)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3或4A.UA={x|x<1或3B.UB={x|x<2或x≥5}
C.UA UB
D.UB UA
2.已知全集U=R,集合P={x|x≤0或x≥6},M={x|a【随堂检测】
1.下列关系正确的是(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0∈ B. ={0}
C.{ } {0} D. {0}
2.已知集合A={a,b},那么集合A的所有子集为(　　).
A.{a},{b} B.{a,b}
C.{a},{b},{a,b} D. ,{a},{b},{a,b}
3.已知全集U={x|-34.已知集合A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|mx-1=0}.
(1)求A;
(2)若B A,求实数m的取值集合.
2

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