资源简介

1.1.3　集合的交与并
【学习目标】
1.理解两个集合的交集与并集的含义,能求两个集合的交集与并集.(数学抽象、数学运算)
2.能使用Venn图表达集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.(直观想象、数学运算)
3.掌握交集与并集的相关性质并会应用.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.两个集合的交集与并集的含义是什么
【答案】把所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集;把集合A,B中的元素放在一起组成的集合,叫作A与B的并集.
2.如何用Venn图表示集合的交集和并集
【答案】两个集合A,B交集的Venn图如图(1)所示,两个集合A,B并集的Venn图如图(2)所示.
3.交集和并集有哪些性质
【答案】交集和并集的性质如下:
A∩A=A,A∩ = ,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪ =A,A∪B=B∪A.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若A,B中分别有2个元素,则A∪B中必有4个元素. (　　)
(2)若A∪B=A,B≠ ,则B中的每个元素都属于集合A. (　　)
(3)并集定义中的“或”能改为“和”. (　　)
(4)若A∩B=C∩B,则A=C. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.已知集合P={x|x<3},Q={x|-1≤x≤4},那么P∪Q=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x|-1≤x<3}　　　 B.{x|-1≤x≤4}
C.{x|x≤4} D.{x|x≥-1}
【答案】C
【解析】在数轴上表示出两个集合,如图,可得P∪Q={x|x≤4}.
3.已知集合A={-1,0,1,2},B={-1,0,3},则A∩B=　　　　.
【答案】{-1,0}
【解析】由A={-1,0,1,2},B={-1,0,3},得A∩B={-1,0}.
4.若集合A={x|-32},C={x|x≤-3},则A∩B=　　　　,A∩C=　　　　.
【答案】{x|2【解析】由数轴法可知,A∩B={x|2【合作探究】
探究1：两个集合的交
情境设置
妈妈去超市买水果,洋洋喜欢吃葡萄、圣女果、苹果、橙子、枇杷,哥哥喜欢吃圣女果、香梨、苹果、樱桃.
问题1:妈妈哪些水果要多买一些
【答案】两人都喜欢吃的水果是圣女果、苹果,这两种水果要多买一些.
问题2:若将洋洋喜欢吃的水果构成的集合记为A,哥哥喜欢吃的水果构成的集合记为B,两人都喜欢吃的水果构成的集合记为C,如何表达这三个集合之间的关系
【答案】洋洋喜欢吃的水果构成的集合A={葡萄,圣女果,苹果,橙子,枇杷},哥哥喜欢吃的水果构成的集合B={圣女果,香梨,苹果,樱桃},两人都喜欢吃的水果构成的集合C={圣女果,苹果},则集合C为集合A和集合B的公共部分.
问题3:如何用Venn图表示上述三个集合的关系
【答案】
新知生成
交集的概念
1.自然语言:把所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”).
2.符号语言:A∩B={x|x∈A且x∈B}.
3.图形语言:
新知运用
例1　(1)设集合M={m∈Z|-3　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{0,1}　 B.{-1,0,1}
C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}
(2)已知集合A={x|25},则A∩B=(　　).
A.{x|25}
C.{x|25}
方法指导　(1)化简集合M,N,根据交集定义求交集;(2)将集合A,B在数轴上标出,用不等式表示其公共部分即可.
【答案】(1)B　(2)C
【解析】(1)易知M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},根据交集定义可知M∩N={-1,0,1},故选B.
(2)将集合A,B在数轴上标出,如图所示,
由图可知A∩B={x|2【方法总结】1.离散型集合交集的运算,多借助定义或Venn图求解.
2.若A,B是无限连续的数集,多利用数轴来求解A∩B,取它们的公共部分.但要注意,利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心点表示.
巩固训练
已知M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},则M∩N=(　　).
A.x=3,y=-1 B.(3,-1)
C.{3,-1} D.{(3,-1)}
【答案】D
【解析】由得故M∩N={(3,-1)}.
探究2：两个集合的并
情境设置
　　某次校运动会上,高一(1)班有10人报名参加田赛,有12人报名参加径赛.
问题1:若没有人两项都报,你能算出高一(1)班参赛的人数吗
【答案】能,高一(1)班参赛的人数为10+12=22.
问题2:若两项都报的有3人,你能算出高一(1)班参赛的人数吗
【答案】能,19人.参赛人数包括参加田赛的,也包括参加径赛的,但由于元素互异性的要求,两项都报的不能重复计算,故有10+12-3=19(人).
问题3:如何用Venn图表示问题2中的案例
【答案】
新知生成
并集的概念
1.自然语言:把集合A,B中的元素放在一起组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”).
2.符号语言:A∪B={x|x∈A或x∈B}.
3.图形语言:
新知运用
例2　(1)已知集合M={x∈N+|x<8},N={-1,4,5,7},则M∪N等于(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{4,5,7}
B.{1,2,3,4,5,6,7}
C.{1,2,3,4,5,6,7,-1,4,5,7}
D.{-1,1,2,3,4,5,6,7}
(2)已知集合A=,B={x|3>2x-1},则A∪B=　　　　.
方法指导　(1)根据并集的定义可得;(2)集合A是不等式组的解集,集合B是不等式3>2x-1的解集,先确定集合A和B的元素,再根据并集的定义,借助数轴写出A∪B.
【答案】(1)D　(2){x|x<3}
【解析】(1)易知M={1,2,3,4,5,6,7},则M∪N={-1,1,2,3,4,5,6,7}.
(2)解不等式组得-2解不等式3>2x-1,得x<2,则B={x|x<2}.
用数轴表示集合A和B,如图所示,
则A∪B={x|x<3}.
【方法总结】1.离散型集合并集的运算,多借助定义或Venn图求解.
2.若A,B是无限连续的数集,多利用数轴来求解A∪B.但要注意,利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心点表示.
巩固训练
已知集合M={x|-35},则M∪N等于(　　).
A.{x|-5-3}
C.{x|-35}
【答案】B
【解析】如图,在数轴上标出集合M,N,阴影部分即为M∪N.
探究3：集合交与并的运算性质
情境设置
已知集合A,B.
问题1:若A∪B= ,则集合A与集合B之间的关系是什么
【答案】A∪B= 说明A,B均为 .
问题2:若A∩B= ,则集合A与集合B之间的关系是什么
【答案】A∩B= 说明集合A,B中没有公共元素.
问题3:若A∪B=A,A∩B=A,则集合A与集合B之间的关系是什么
【答案】因为A∪B=A B A,A∩B=A A B,
所以A=B.
新知生成
1.交集的性质
(1)A∩A=A,A∩ = ,A∩B=B∩A;
(2)A∩B A;
(3)A∩B=A A B.
2.并集的性质
(1)A∪A=A,A∪ =A,A∪B=B∪A;
(2)A A∪B;
(3)A∪B=B A B.
新知运用
例3　已知集合A={x|-1(1)当k=-1时,求A∩B;
(2)若A∪B=A,求实数k的取值范围.
方法指导　(1)由k=-1,得B={x|0【解析】(1)当k=-1时,B={x|0因为集合A={x|-1(2)因为A∪B=A,所以B A.
当B= 时,k+1≥3-k,解得k≥1;
当B≠ 时,由B A得
解得0≤k<1.
综上,k的取值范围是{k|k≥0}.
【方法总结】利用集合交集、并集的性质解题的方法:(1)在利用集合的交集、并集性质解题时,常常会遇到A∩B=A,A∪B=B等这类问题,解答时常借助于交集、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析,如A∩B=A A B,A∪B=B A B等,解答时应灵活处理.(2)当集合B A时,如果集合A是一个确定的集合,而集合B不确定,运算时要考虑B= 的情况,切不可漏掉.
巩固训练
若集合A={x|-3≤x≤5},B={x|2m-1≤x≤2m+9},A∪B=B,则实数m的取值范围是　　　　.
【答案】{m|-2≤m≤-1}
【解析】∵A∪B=B,
∴A B,如图所示,
∴解得-2≤m≤-1.
∴实数m的取值范围为{m|-2≤m≤-1}.
【随堂检测】
1.设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩(UB)=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x|0≤x<1} B.{x|0C.{x|x<0} D.{x|x>1}
【答案】B
【解析】∵B={x|x>1},∴UB={x|x≤1},∴A∩(UB)={x|02.(多选题)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则(　　).
A.A∩B=xx< B.A∩B≠
C.A∪B=xx< D.A∪(RB)=R
【答案】ABD
【解析】∵A={x|x<2},B={x|3-2x>0}=xx<,RB=xx≥,
∴A∩B=xx<,A∩B≠ ,A∪(RB)=R.故选ABD.
3.满足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的个数是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】由{1,3}∪A={1,3,5},知A {1,3,5}且A中一定含有元素5,因此集合A可以是{5},{1,5},{3,5},{1,3,5},共4个.故选D.
4.已知集合A={x|x≥3},B={x|1≤x≤7},C={x|x≥a-1}.
(1)求A∩B,A∪B;
(2)若C∪A=A,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由题意得,A∩B={x|3≤x≤7},A∪B={x|x≥1}.
(2)因为C∪A=A,所以C A,
所以a-1≥3,即a≥4,
故a的取值范围为[4,+∞).
21.1.3　集合的交与并
【学习目标】
1.理解两个集合的交集与并集的含义,能求两个集合的交集与并集.(数学抽象、数学运算)
2.能使用Venn图表达集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.(直观想象、数学运算)
3.掌握交集与并集的相关性质并会应用.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.两个集合的交集与并集的含义是什么
2.如何用Venn图表示集合的交集和并集
3.交集和并集有哪些性质
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若A,B中分别有2个元素,则A∪B中必有4个元素. (　　)
(2)若A∪B=A,B≠ ,则B中的每个元素都属于集合A. (　　)
(3)并集定义中的“或”能改为“和”. (　　)
(4)若A∩B=C∩B,则A=C. (　　)
2.已知集合P={x|x<3},Q={x|-1≤x≤4},那么P∪Q=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x|-1≤x<3}　　　 B.{x|-1≤x≤4}
C.{x|x≤4} D.{x|x≥-1}
3.已知集合A={-1,0,1,2},B={-1,0,3},则A∩B=　　　　.
4.若集合A={x|-32},C={x|x≤-3},则A∩B=　　　　,A∩C=　　　　.
【合作探究】
探究1：两个集合的交
情境设置
妈妈去超市买水果,洋洋喜欢吃葡萄、圣女果、苹果、橙子、枇杷,哥哥喜欢吃圣女果、香梨、苹果、樱桃.
问题1:妈妈哪些水果要多买一些
问题2:若将洋洋喜欢吃的水果构成的集合记为A,哥哥喜欢吃的水果构成的集合记为B,两人都喜欢吃的水果构成的集合记为C,如何表达这三个集合之间的关系
问题3:如何用Venn图表示上述三个集合的关系
新知生成
交集的概念
1.自然语言:把所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”).
2.符号语言:A∩B={x|x∈A且x∈B}.
3.图形语言:
新知运用
例1　(1)设集合M={m∈Z|-3　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{0,1}　 B.{-1,0,1}
C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}
(2)已知集合A={x|25},则A∩B=(　　).
A.{x|25}
C.{x|25}
方法指导　(1)化简集合M,N,根据交集定义求交集;(2)将集合A,B在数轴上标出,用不等式表示其公共部分即可.
【方法总结】1.离散型集合交集的运算,多借助定义或Venn图求解.
2.若A,B是无限连续的数集,多利用数轴来求解A∩B,取它们的公共部分.但要注意,利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心点表示.
巩固训练
已知M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},则M∩N=(　　).
A.x=3,y=-1 B.(3,-1)
C.{3,-1} D.{(3,-1)}
探究2：两个集合的并
情境设置
　　某次校运动会上,高一(1)班有10人报名参加田赛,有12人报名参加径赛.
问题1:若没有人两项都报,你能算出高一(1)班参赛的人数吗
问题2:若两项都报的有3人,你能算出高一(1)班参赛的人数吗
问题3:如何用Venn图表示问题2中的案例
新知生成
并集的概念
1.自然语言:把集合A,B中的元素放在一起组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”).
2.符号语言:A∪B={x|x∈A或x∈B}.
3.图形语言:
新知运用
例2　(1)已知集合M={x∈N+|x<8},N={-1,4,5,7},则M∪N等于(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{4,5,7}
B.{1,2,3,4,5,6,7}
C.{1,2,3,4,5,6,7,-1,4,5,7}
D.{-1,1,2,3,4,5,6,7}
(2)已知集合A=,B={x|3>2x-1},则A∪B=　　　　.
方法指导　(1)根据并集的定义可得;(2)集合A是不等式组的解集,集合B是不等式3>2x-1的解集,先确定集合A和B的元素,再根据并集的定义,借助数轴写出A∪B.
【方法总结】1.离散型集合并集的运算,多借助定义或Venn图求解.
2.若A,B是无限连续的数集,多利用数轴来求解A∪B.但要注意,利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心点表示.
巩固训练
已知集合M={x|-35},则M∪N等于(　　).
A.{x|-5-3}
C.{x|-35}
探究3：集合交与并的运算性质
情境设置
已知集合A,B.
问题1:若A∪B= ,则集合A与集合B之间的关系是什么
问题2:若A∩B= ,则集合A与集合B之间的关系是什么
问题3:若A∪B=A,A∩B=A,则集合A与集合B之间的关系是什么
新知生成
1.交集的性质
(1)A∩A=A,A∩ = ,A∩B=B∩A;
(2)A∩B A;
(3)A∩B=A A B.
2.并集的性质
(1)A∪A=A,A∪ =A,A∪B=B∪A;
(2)A A∪B;
(3)A∪B=B A B.
新知运用
例3　已知集合A={x|-1(1)当k=-1时,求A∩B;
(2)若A∪B=A,求实数k的取值范围.
方法指导　(1)由k=-1,得B={x|0【方法总结】利用集合交集、并集的性质解题的方法:(1)在利用集合的交集、并集性质解题时,常常会遇到A∩B=A,A∪B=B等这类问题,解答时常借助于交集、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析,如A∩B=A A B,A∪B=B A B等,解答时应灵活处理.(2)当集合B A时,如果集合A是一个确定的集合,而集合B不确定,运算时要考虑B= 的情况,切不可漏掉.
巩固训练
若集合A={x|-3≤x≤5},B={x|2m-1≤x≤2m+9},A∪B=B,则实数m的取值范围是　　　　.
【随堂检测】
1.设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩(UB)=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x|0≤x<1} B.{x|0C.{x|x<0} D.{x|x>1}
2.(多选题)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则(　　).
A.A∩B=xx< B.A∩B≠
C.A∪B=xx< D.A∪(RB)=R
3.满足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的个数是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知集合A={x|x≥3},B={x|1≤x≤7},C={x|x≥a-1}.
(1)求A∩B,A∪B;
(2)若C∪A=A,求实数a的取值范围.
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