资源简介

1.2.2　充分条件和必要条件
【学习目标】
1.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.(数学抽象、逻辑推理)
2.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.(数学抽象、逻辑推理)
3.理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.什么是充分条件 什么是必要条件
2.“若p,则q”是假命题,p是q的充分条件吗 q还是p的必要条件吗
3.当p是q的充要条件时,此时q也是p的充要条件吗
4.以下五种表述形式:①p q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.它们是什么关系
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“x=0”是“(2x-1)x=0”的必要而不充分条件. (　　)
(2)若p是q的充要条件,则p和q是相互等价的. (　　)
(3)当q不是p的必要条件时,“p / q”成立. (　　)
2.“同位角相等”是“两条直线平行”的(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.使x>3成立的一个充分条件是(　　).
A.x>4　　　　　　　 B.x>0 C.x>2 D.x<2
4.“ac=bc”是“a=b”的　　　　　　条件.
【合作探究】
探究1：充分条件、必要条件
情境设置
问题1:如图,已知p:开关A闭合,q:灯泡B亮.
p与q有什么关系
问题2:p:两三角形相似,q:对应角相等.p与q有什么关系
问题3:如果p是q的充分条件,那么p是唯一的吗
新知生成
充分条件与必要条件
当“若p,则q”成立,即p q时,把p叫作q的充分条件,q叫作p的必要条件.
p q可以理解为若p成立,则q一定也成立,即p对于q的成立是充分的;反过来,若q不成立,则p一定不成立,即q对于p的成立是必要的.
新知运用
例1　指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0.
(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等.
方法指导　根据充分、必要条件的定义判断.
【方法总结】充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法:首先分清条件和结论,然后判断p q和q p是否成立,最后得出结论.
(2)命题判断法:①如果命题“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;②如果命题“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
(3)集合法:对于涉及取值范围的判断题,可从集合的角度研究,若两个集合具有包含关系,则小范围 大范围,大范围推不出小范围.
(4)传递法:由p1 p2 p3 … pn,得pn是p1的必要条件.
巩固训练
若p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形,则p是q的什么条件
探究2：充要条件
情境设置
问题1:若“x∈A”是“x∈B”的充要条件,则A与B有什么关系
问题2:“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里
问题3:p是q的充要条件,q是s的充要条件,p是s的充要条件吗
新知生成
1.充要条件的定义
如果既有p q,又有q p,就记作p q.即p既是q的充分条件,又是q的必要条件,此时我们称p是q的充分必要条件,简称充要条件.当然,此时q也是p的充分必要条件.
2.用命题描述充要条件
如果一个命题和它的逆命题都成立,那么此命题的条件和结论互为充分必要条件.
3.充要条件的含义
p是q的充分必要条件是指p成立,当且仅当q成立,即p与q互相等价.
新知运用
例2　在下列各题中,试判断p是q的什么条件.
(1)p:a=b,q:ac=bc;
(2)p:a+5是无理数,q:a是无理数;
(3)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0;
(4)p:A∩B=A,q:UB UA.
【方法总结】判断p是q的充分必要条件的两种思路
(1)命题角度:判断p是q的充分必要条件,主要是判断p q及q p这两个命题是否成立.若p q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;若二者都成立,则p与q互为充要条件.
(2)集合角度:关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断p q及q p的真假时,也可以从集合角度去判断,结合集合中“小集合 大集合”的关系来理解,这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.
此外,对于较复杂的关系,常用 , , 等符号进行传递,画出它们的综合结构图,可降低解题难度.
巩固训练
a,b中至少有一个不为零的充要条件是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.ab=0 B.ab>0
C.a2+b2=0 D.a2+b2>0
探究3：充要条件的证明
情境设置
已知关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根的充要条件是m>2.
问题1:由m>2得到方程x2+mx+1=0有两个负实根,这个过程指的是“充分性”还是“必要性”
.
问题2:由方程x2+mx+1=0有两个负实根直接求解得到m>2指的是“充分性”还是“必要性”
问题3:互为充要条件中条件和结论是相对的,在充要条件问题的证明中,条件是确定的吗
新知生成
充要条件的证明一般分为两个步骤,即分别证明“充分性”和“必要性”.解题时要避免将充分性当作必要性来证明,这就需要分清条件与结论,若“条件” “结论”,则是证明充分性,若“结论” “条件”,则是证明必要性.
新知运用
例3　证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac<0.
方法指导　解答本题可先确定p和q,再分充分性(由ac<0证明方程有一个正实数根和一个负实数根)和必要性(由方程有一个正实数根和一个负实数根证明ac<0)进行证明.
【方法总结】有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条件,由“条件” “结论”是证明命题的充分性,由“结论” “条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节:一是证明充分性;二是证明必要性.
巩固训练
已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是(a+b-1)(a2+b2-ab)=0.
探究4：充分条件、必要条件的应用
情境设置
问题1:记集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若p是q的充分而不必要条件,则集合A,B的关系是什么 若p是q的必要而不充分条件呢
问题2:记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)},若M N,则p是q的什么条件 N M,M=N呢
新知生成
用集合法判断充分必要条件
对于集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},具体情况如下:
若A B,则p是q的充分条件;
若A B,则p是q的必要条件;
若A=B,则p是q的充要条件;
若A B,则p是q的充分而不必要条件;
若B A,则p是q的必要而不充分条件.
新知运用
例4　已知p:实数x满足3a【方法总结】充分条件、必要条件的应用
(1)已知条件是结论的充分条件,即由条件推出结论,由此建立逻辑关系解决问题.
(2)已知条件是结论的必要条件,即由结论推出条件,由此建立逻辑关系解决问题.
从集合的角度来看,满足条件的对象所构成的集合与满足结论的对象所构成的集合之间是子集关系.
巩固训练
设集合A={x|-1≤x≤2},集合B={x|2m【随堂检测】
1.(多选题)使ab>0成立的充分条件是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.a>0,b>0 B.a+b>0
C.a<0,b<0 D.a>1,b>1
2.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其《从军行》传诵至今,“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关,黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,由此推断,“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　).
A.必要而不充分条件
B.充分而不必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的(　　).
A.充分条件
B.必要条件
C.既不充分又不必要条件
D.充要条件
4.求方程ax2+2x+1=0只有负实根的充要条件.
21.2.2　充分条件和必要条件
【学习目标】
1.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.(数学抽象、逻辑推理)
2.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.(数学抽象、逻辑推理)
3.理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.什么是充分条件 什么是必要条件
【答案】“若p,则q”是真命题,即p q,把p叫作q的充分条件,q叫作p的必要条件.
2.“若p,则q”是假命题,p是q的充分条件吗 q还是p的必要条件吗
【答案】p / q,p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.
3.当p是q的充要条件时,此时q也是p的充要条件吗
【答案】是,因为p q,所以p,q互为充要条件.
4.以下五种表述形式:①p q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.它们是什么关系
【答案】等价关系.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“x=0”是“(2x-1)x=0”的必要而不充分条件. (　　)
(2)若p是q的充要条件,则p和q是相互等价的. (　　)
(3)当q不是p的必要条件时,“p / q”成立. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√
2.“同位角相等”是“两条直线平行”的(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【答案】C
3.使x>3成立的一个充分条件是(　　).
A.x>4　　　　　　　 B.x>0 C.x>2 D.x<2
【答案】A
【解析】只有x>4 x>3,其他选项均不可推出x>3.
4.“ac=bc”是“a=b”的　　　　　　条件.
【答案】必要而不充分
【解析】若ac=bc,当c=0时,不一定有a=b;反之,若a=b,则有ac=bc成立.故“ac=bc”是“a=b”的必要而不充分条件.
【合作探究】
探究1：充分条件、必要条件
情境设置
问题1:如图,已知p:开关A闭合,q:灯泡B亮.
p与q有什么关系
【答案】p成立,则q一定成立.
问题2:p:两三角形相似,q:对应角相等.p与q有什么关系
【答案】p成立,则q一定成立.
问题3:如果p是q的充分条件,那么p是唯一的吗
【答案】不唯一,如x>3是x>0的充分条件,x>5,x>10等都是x>0的充分条件.
新知生成
充分条件与必要条件
当“若p,则q”成立,即p q时,把p叫作q的充分条件,q叫作p的必要条件.
p q可以理解为若p成立,则q一定也成立,即p对于q的成立是充分的;反过来,若q不成立,则p一定不成立,即q对于p的成立是必要的.
新知运用
例1　指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0.
(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等.
方法指导　根据充分、必要条件的定义判断.
【解析】(1)x-3=0 (x-2)(x-3)=0,但(x-2)(x-3)=0 / x-3=0,故p是q的充分条件,p不是q的必要条件.
(2)两个三角形相似 / 两个三角形全等,但两个三角形全等 两个三角形相似,故p是q的必要条件,p不是q的充分条件.
【方法总结】充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法:首先分清条件和结论,然后判断p q和q p是否成立,最后得出结论.
(2)命题判断法:①如果命题“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;②如果命题“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
(3)集合法:对于涉及取值范围的判断题,可从集合的角度研究,若两个集合具有包含关系,则小范围 大范围,大范围推不出小范围.
(4)传递法:由p1 p2 p3 … pn,得pn是p1的必要条件.
巩固训练
若p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形,则p是q的什么条件
【解析】因为四边形的对角线相等 / 四边形是平行四边形,四边形是平行四边形 / 四边形的对角线相等,所以p是q的既不充分又不必要条件.
探究2：充要条件
情境设置
问题1:若“x∈A”是“x∈B”的充要条件,则A与B有什么关系
【答案】A=B.
问题2:“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里
【答案】p是q的充要条件说明p是条件,q是结论;p的充要条件是q说明q是条件,p是结论.
问题3:p是q的充要条件,q是s的充要条件,p是s的充要条件吗
【答案】是.∵p是q的充要条件,∴p q.又q是s的充要条件,∴q s.故p s,即p是s的充要条件.
新知生成
1.充要条件的定义
如果既有p q,又有q p,就记作p q.即p既是q的充分条件,又是q的必要条件,此时我们称p是q的充分必要条件,简称充要条件.当然,此时q也是p的充分必要条件.
2.用命题描述充要条件
如果一个命题和它的逆命题都成立,那么此命题的条件和结论互为充分必要条件.
3.充要条件的含义
p是q的充分必要条件是指p成立,当且仅当q成立,即p与q互相等价.
新知运用
例2　在下列各题中,试判断p是q的什么条件.
(1)p:a=b,q:ac=bc;
(2)p:a+5是无理数,q:a是无理数;
(3)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0;
(4)p:A∩B=A,q:UB UA.
【解析】(1)因为a=b ac=bc,而ac=bc / a=b,所以p是q的充分而不必要条件.
(2)因为a+5是无理数 a是无理数,并且a是无理数 a+5是无理数,所以p是q的充要条件.
(3)因为a2+b2=0 a=b=0,并且a=b=0 a2+b2=0,所以p是q的充要条件.
(4)因为A∩B=A A B UA UB,并且UB UA B A A∩B=A,所以p是q的充要条件.
【方法总结】判断p是q的充分必要条件的两种思路
(1)命题角度:判断p是q的充分必要条件,主要是判断p q及q p这两个命题是否成立.若p q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;若二者都成立,则p与q互为充要条件.
(2)集合角度:关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断p q及q p的真假时,也可以从集合角度去判断,结合集合中“小集合 大集合”的关系来理解,这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.
此外,对于较复杂的关系,常用 , , 等符号进行传递,画出它们的综合结构图,可降低解题难度.
巩固训练
a,b中至少有一个不为零的充要条件是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.ab=0 B.ab>0
C.a2+b2=0 D.a2+b2>0
【答案】D
【解析】若a2+b2>0,则a,b不同时为零;若a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.故选D.
探究3：充要条件的证明
情境设置
已知关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根的充要条件是m>2.
问题1:由m>2得到方程x2+mx+1=0有两个负实根,这个过程指的是“充分性”还是“必要性”
【答案】充分性;m≥2是条件,方程x2+mx+1=0有两个负实根是结论.
问题2:由方程x2+mx+1=0有两个负实根直接求解得到m>2指的是“充分性”还是“必要性”
【答案】必要性.方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根是条件,m>2是结论.
问题3:互为充要条件中条件和结论是相对的,在充要条件问题的证明中,条件是确定的吗
【答案】互为充要条件中,条件和结论是相对的,在充要条件问题的证明中,条件是确定的.
新知生成
充要条件的证明一般分为两个步骤,即分别证明“充分性”和“必要性”.解题时要避免将充分性当作必要性来证明,这就需要分清条件与结论,若“条件” “结论”,则是证明充分性,若“结论” “条件”,则是证明必要性.
新知运用
例3　证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac<0.
方法指导　解答本题可先确定p和q,再分充分性(由ac<0证明方程有一个正实数根和一个负实数根)和必要性(由方程有一个正实数根和一个负实数根证明ac<0)进行证明.
【解析】充分性:∵ac<0,
∴Δ=b2-4ac>0,<0.
∴方程ax2+bx+c=0有两个实数根.
设方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1,x2,
∵x1·x2=<0,
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根.
必要性:∵一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根,
∴Δ=b2-4ac>0,x1·x2=<0,
∴ac<0.
故一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac<0.
【方法总结】有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条件,由“条件” “结论”是证明命题的充分性,由“结论” “条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节:一是证明充分性;二是证明必要性.
巩固训练
已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是(a+b-1)(a2+b2-ab)=0.
【解析】充分性:∵(a+b-1)(a2+b2-ab)=(a+b-1)·=0,ab≠0,
∴+b2>0,∴a+b=1.
必要性:∵a+b=1,∴(a+b-1)(a2+b2-ab)=0.
∴a+b=1的充要条件是(a+b-1)(a2+b2-ab)=0.
探究4：充分条件、必要条件的应用
情境设置
问题1:记集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若p是q的充分而不必要条件,则集合A,B的关系是什么 若p是q的必要而不充分条件呢
【答案】若p是q的充分而不必要条件,则A B,若p是q的必要不充分条件,则B A.
问题2:记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)},若M N,则p是q的什么条件 N M,M=N呢
【答案】若M N,则p是q的充分条件;若N M,则p是q的必要条件;若M=N,则p是q的充要条件.
新知生成
用集合法判断充分必要条件
对于集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},具体情况如下:
若A B,则p是q的充分条件;
若A B,则p是q的必要条件;
若A=B,则p是q的充要条件;
若A B,则p是q的充分而不必要条件;
若B A,则p是q的必要而不充分条件.
新知运用
例4　已知p:实数x满足3a【答案】-,0
【解析】由题意得,p对应的集合为A={x|3a因为p是q的充分条件,所以p q,所以A B,所以解得-≤a<0,
所以实数a的取值范围是-,0.
【方法总结】充分条件、必要条件的应用
(1)已知条件是结论的充分条件,即由条件推出结论,由此建立逻辑关系解决问题.
(2)已知条件是结论的必要条件,即由结论推出条件,由此建立逻辑关系解决问题.
从集合的角度来看,满足条件的对象所构成的集合与满足结论的对象所构成的集合之间是子集关系.
巩固训练
设集合A={x|-1≤x≤2},集合B={x|2m【答案】-,+∞
【解析】因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B A.
当B= 时,2m≥1,即m≥,符合条件.
当B≠ 时,有-1≤2m<1 -≤m<.
故实数m的取值范围是-,+∞.
【随堂检测】
1.(多选题)使ab>0成立的充分条件是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.a>0,b>0 B.a+b>0
C.a<0,b<0 D.a>1,b>1
【答案】ACD
【解析】因为a>0,b>0 ab>0;a<0,b<0 ab>0;a>1,b>1 ab>0,所以选项ACD都是使ab>0成立的充分条件.
2.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其《从军行》传诵至今,“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关,黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,由此推断,“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　).
A.必要而不充分条件
B.充分而不必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】“攻破楼兰”不一定“返回家乡”,但“返回家乡”一定有“攻破楼兰”.
3.若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的(　　).
A.充分条件
B.必要条件
C.既不充分又不必要条件
D.充要条件
【答案】A
【解析】因为a=2 (a-1)(a-2)=0,又(a-1)·(a-2)=0 / a=2,所以“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分条件,故选A.
4.求方程ax2+2x+1=0只有负实根的充要条件.
【解析】当a=0时,原方程为一元一次方程2x+1=0,有一个负实根x=-.
当a≠0时,原方程为一元二次方程,
又ax2+2x+1=0只有负实根,
所以解得0综上,方程只有负实根的充要条件是0≤a≤1.
2

展开更多......

收起↑