资源简介

1.2.3　全称量词和存在量词
【学习目标】
1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.(数学抽象)
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定以及真假判别.(逻辑推理)
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定以及真假判别.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.常见的全称量词有哪些 如何表示 全称量词命题的定义是什么
【答案】常见的全称量词有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等,用符号“ ”表示.设语句p(x)中变量x的取值范围为集合M,则语句“对M的任一个元素x,有p(x)成立”是命题,叫作全称量词命题.
2.常见的存在量词有哪些 如何表示
【答案】常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“某一个”“有的”等,用符号“ ”表示.
3.全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题
【答案】全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词. (　　)
(2)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”. (　　)
(3)全称量词命题一定含有全称量词,存在量词命题一定含有存在量词. (　　)
(4) x∈M,p(x)与 x∈M, p(x)的真假性相反. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.下列语句是存在量词命题的是(　　).
A.整数n是2和5的倍数
B.存在整数n,使n能被11整除
C.若3x-7=0,则x=
D. x∈M,p(x)
【答案】B
【解析】A中语句不能判断真假,A不是命题;C不是存在量词命题;D是全称量词命题;命题存在整数n,使n能被11整除,含有存在量词“存在”,B是存在量词命题.
3.命题“ x∈R,x2-2x+1=0”的否定是　　　　.
【答案】 x∈R,x2-2x+1≠0
【合作探究】
探究1：含有量词的命题
情境设置
问题1:命题p:任何一个实数除以1都等于这个数;q:等边三角形的三边都相等.它们各使用了什么量词
【答案】命题p使用了全称量词“任何一个”,“等边三角形的三边相等”是指“任意一个等边三角形的三边都相等”,命题q使用了全称量词“任意”.
问题2:下列命题使用了什么量词
p:存在实数x,使x2-3>0;
q:有的实数既不是质数也不是合数.
【答案】命题p使用存在量词“存在”,命题q使用存在量词“有的”.
新知生成
1.量词
“每一个”和“有一个”等叫作量词.
2.全称量词
“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等叫作全称量词,用符号“ ”表示.
3.存在量词
“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等叫作存在量词,用符号“ ”表示.
4.全称量词命题
语句p(x)中变量x的取值范围为集合M,则语句“对M的任一个元素x,有p(x)成立”是命题,叫作全称量词命题.可用符号简记为“ x∈M,p(x)”.
5.存在量词命题
语句“存在M的某个元素x,使p(x)成立”也是命题,叫作存在量词命题.可用符号简记为“ x∈M,p(x)”.
新知运用
例1　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)有的质数是偶数;
(2)所有的质数都是奇数;
(3)负数的平方是正数;
(4)每一个多边形的外角和都是360°.
【解析】(1)“有的”是存在量词,故命题为存在量词命题;
(2)“所有的”是全称量词,故命题为全称量词命题;
(3)题中指“所有的”负数,故命题为全称量词命题;
(4)“每一个”是全称量词,故命题为全称量词命题.
【方法总结】判定命题是全称量词命题还是存在量词命题,主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词.要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词,这时我们就要根据命题涉及的意义去判断.
巩固训练
指出下列命题中的全称量词或存在量词,并用量词符号“ ”或“ ”表示下列命题.
(1)所有实数x都能使|x|+1>0成立;
(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;
(3)存在整数x,y,使得3x-2y=10成立;
(4)存在实数m,使得m与m的倒数之和等于1.
【解析】(1)“所有”是全称量词;表示: x∈R,|x|+1>0.
(2)“所有”是全称量词;表示: a,b∈R,方程ax+b=0恰有一个解.
(3)“存在”是存在量词;表示: x,y∈Z,3x-2y=10.
(4)“存在”是存在量词;表示: m∈R,m+=1.
探究2：全称量词命题和存在量词命题的真假判断
情境设置
问题:命题“车间今天生产的零件都合格”究竟是真命题还是假命题 如何判断呢
【答案】如果生产的每一个零件都是合格的,那么这个命题就是真命题;只要有一个零件不合格,这个命题就是假命题.
新知生成
判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法
1.对于全称量词命题“ x∈M,p(x)”:
(1)要证明它是真命题,需对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;
(2)要判断它是假命题,只要在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)不成立即可.(通常举反例)
2.对于存在量词命题“ x0∈M,p(x0)”:
(1)要证明它是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可.(通常举正例)
(2)要判断它是假命题,需对集合M中每一个元素x,证明p(x)不成立.
新知运用
例2　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.
(1) x∈N,2x+1是奇数;
(2)存在一个x∈R,使=0;
(3)对任意实数a,|a|>0;
(4)有一个角α,使sin α=.
【解析】(1)是全称量词命题.因为 x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题.
(2)是存在量词命题.因为不存在x∈R,使=0成立,所以该命题是假命题.
(3)是全称量词命题.因为|0|=0,所以|a|>0不恒成立,所以该命题是假命题.
(4)是存在量词命题.因为当α=30°时,sin α=,所以该命题是真命题.
巩固训练
判断下列命题的真假.
(1) x∈Z,x3<1;
(2)存在一个四边形不是平行四边形;
(3) x∈N,x2>0.
【解析】(1)因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1,
所以“ x∈Z,x3<1”是真命题.
(2)真命题,如梯形.
(3)因为0∈N,02=0,所以命题“ x∈N,x2>0”是假命题.
探究3：含量词命题的否定
情境设置
问题1:全称量词命题和存在量词命题的否定有什么特点
【答案】全称量词命题和存在量词命题的否定分别是存在量词命题和全称量词命题.
问题2:如何对省略量词的命题进行否定
【答案】先找出省略的量词,然后进行否定.
新知生成
全称量词命题: x∈M,p(x),它的否定: x∈M, p(x).
存在量词命题: x∈M,p(x),它的否定: x∈M, p(x).
全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.
新知运用
例3　写出下列命题的否定并判断其真假:
(1)p: x∈R,x-2≥0;
(2)q:所有的正方形都是矩形;
(3)r: x∈R,x2+2x+3≤0;
(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.
方法指导　先判断是全称量词命题还是存在量词命题,然后根据含有量词的命题的否定格式进行否定.
【解析】(1) p: x∈R,x-2<0.
因为 x∈R,x-2≥0恒成立,所以 p是假命题.
(2) q:至少存在一个正方形不是矩形.
因为所有的正方形都是矩形,所以 q是假命题.
(3) r: x∈R,x2+2x+3>0.
因为 x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0恒成立,所以 r是真命题.
(4) s: x∈R,x3+1≠0.
因为当x=-1时,x3+1=0,
所以 s是假命题.
【方法总结】写含量词命题的否定的方法:(1)一般地,写含量词命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论;(2)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,将命题改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定.
巩固训练
对下列含有量词的命题作否定,并判断其真假.
(1)存在某个整数a,使得a2=a;
(2)任意实数都可以写成平方和的形式;
(3)每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数;
(4) m>0,方程x2+x-m=0有实数根;
(5) m>0,方程x2+x+m=0有实数根.
【解析】(1)对于任意的整数a,都有a2≠a;假命题.
(2)存在实数不可以写成平方和的形式;真命题.
(3)存在能写成两个奇数之和的整数不是偶数;假命题.
(4) m>0,方程x2+x-m=0没有实数根;假命题.
(5) m>0,方程x2+x+m=0没有实数根;假命题.
【随堂检测】
1.下列命题是假命题的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. x∈R,|x|=0 B. x∈R,2x-10=1
C. x∈R,x3>0 D. x∈R,x2+1>0
【答案】C
【解析】当x=0时,x3=0,故选项C为假命题.
2.(多选题)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　).
A. x∈R,x2-x+1≥0
B. x∈Z,y∈Z,2x+4y=3
C.菱形的对角线互相垂直
D.每个正方形都是轴对称图形
【答案】ACD
【解析】对于A, x∈R,x2-x+1=x-2+≥>0,是真命题,是全称量词命题,故A正确;
对于B, x∈Z,y∈Z,2x+4y=3,是存在量词命题,故B错误;
对于C,根据菱形的性质知菱形的对角线互相垂直,是真命题,是全称量词命题,故C正确;
对于D,每个正方形都是轴对称图形,是全称量词命题,是真命题,故D正确.
故选ACD.
3.若对任意x>8,x>a恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
【答案】(-∞,8]
【解析】∵对任意x>8,x>a恒成立,∴大于8的数恒大于a,∴a≤8.
4.判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题,如果是,写出这些命题的否定,并说明否定的真假,不必证明;如果不是,则只需判断命题真假,并给出证明.
(1)存在实数x,使得x2+2x+3≤0;
(2)有些三角形是等边三角形;
(3)方程x2-8x-10=0的每一个根都不是奇数.
【解析】(1)存在实数x,使得x2+2x+3≤0,是存在量词命题,
该命题的否定:对任意的实数x,x2+2x+3>0,为真命题.
(2)有些三角形是等边三角形,是存在量词命题,
该命题的否定:所有的三角形都不是等边三角形,为假命题.
(3)方程x2-8x-10=0的每一个根都不是奇数,为全称量词命题,
该命题的否定:方程x2-8x-10=0的根至少有一个是奇数,为假命题.
21.2.3　全称量词和存在量词
【学习目标】
1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.(数学抽象)
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定以及真假判别.(逻辑推理)
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定以及真假判别.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.常见的全称量词有哪些 如何表示 全称量词命题的定义是什么
2.常见的存在量词有哪些 如何表示
3.全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词. (　　)
(2)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”. (　　)
(3)全称量词命题一定含有全称量词,存在量词命题一定含有存在量词. (　　)
(4) x∈M,p(x)与 x∈M, p(x)的真假性相反. (　　)
2.下列语句是存在量词命题的是(　　).
A.整数n是2和5的倍数
B.存在整数n,使n能被11整除
C.若3x-7=0,则x=
D. x∈M,p(x)
3.命题“ x∈R,x2-2x+1=0”的否定是　　　　.
【合作探究】
探究1：含有量词的命题
情境设置
问题1:命题p:任何一个实数除以1都等于这个数;q:等边三角形的三边都相等.它们各使用了什么量词
问题2:下列命题使用了什么量词
p:存在实数x,使x2-3>0;
q:有的实数既不是质数也不是合数.
新知生成
1.量词
“每一个”和“有一个”等叫作量词.
2.全称量词
“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等叫作全称量词,用符号“ ”表示.
3.存在量词
“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等叫作存在量词,用符号“ ”表示.
4.全称量词命题
语句p(x)中变量x的取值范围为集合M,则语句“对M的任一个元素x,有p(x)成立”是命题,叫作全称量词命题.可用符号简记为“ x∈M,p(x)”.
5.存在量词命题
语句“存在M的某个元素x,使p(x)成立”也是命题,叫作存在量词命题.可用符号简记为“ x∈M,p(x)”.
新知运用
例1　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)有的质数是偶数;
(2)所有的质数都是奇数;
(3)负数的平方是正数;
(4)每一个多边形的外角和都是360°.
【方法总结】判定命题是全称量词命题还是存在量词命题,主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词.要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词,这时我们就要根据命题涉及的意义去判断.
巩固训练
指出下列命题中的全称量词或存在量词,并用量词符号“ ”或“ ”表示下列命题.
(1)所有实数x都能使|x|+1>0成立;
(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;
(3)存在整数x,y,使得3x-2y=10成立;
(4)存在实数m,使得m与m的倒数之和等于1.
探究2：全称量词命题和存在量词命题的真假判断
情境设置
问题:命题“车间今天生产的零件都合格”究竟是真命题还是假命题 如何判断呢
新知生成
判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法
1.对于全称量词命题“ x∈M,p(x)”:
(1)要证明它是真命题,需对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;
(2)要判断它是假命题,只要在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)不成立即可.(通常举反例)
2.对于存在量词命题“ x0∈M,p(x0)”:
(1)要证明它是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可.(通常举正例)
(2)要判断它是假命题,需对集合M中每一个元素x,证明p(x)不成立.
新知运用
例2　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.
(1) x∈N,2x+1是奇数;
(2)存在一个x∈R,使=0;
(3)对任意实数a,|a|>0;
(4)有一个角α,使sin α=.
巩固训练
判断下列命题的真假.
(1) x∈Z,x3<1;
(2)存在一个四边形不是平行四边形;
(3) x∈N,x2>0.
探究3：含量词命题的否定
情境设置
问题1:全称量词命题和存在量词命题的否定有什么特点
问题2:如何对省略量词的命题进行否定
新知生成
全称量词命题: x∈M,p(x),它的否定: x∈M, p(x).
存在量词命题: x∈M,p(x),它的否定: x∈M, p(x).
全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.
新知运用
例3　写出下列命题的否定并判断其真假:
(1)p: x∈R,x-2≥0;
(2)q:所有的正方形都是矩形;
(3)r: x∈R,x2+2x+3≤0;
(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.
方法指导　先判断是全称量词命题还是存在量词命题,然后根据含有量词的命题的否定格式进行否定.
【方法总结】写含量词命题的否定的方法:(1)一般地,写含量词命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论;(2)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,将命题改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定.
巩固训练
对下列含有量词的命题作否定,并判断其真假.
(1)存在某个整数a,使得a2=a;
(2)任意实数都可以写成平方和的形式;
(3)每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数;
(4) m>0,方程x2+x-m=0有实数根;
(5) m>0,方程x2+x+m=0有实数根.
【随堂检测】
1.下列命题是假命题的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. x∈R,|x|=0 B. x∈R,2x-10=1
C. x∈R,x3>0 D. x∈R,x2+1>0
2.(多选题)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　).
A. x∈R,x2-x+1≥0
B. x∈Z,y∈Z,2x+4y=3
C.菱形的对角线互相垂直
D.每个正方形都是轴对称图形
3.若对任意x>8,x>a恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
4.判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题,如果是,写出这些命题的否定,并说明否定的真假,不必证明;如果不是,则只需判断命题真假,并给出证明.
(1)存在实数x,使得x2+2x+3≤0;
(2)有些三角形是等边三角形;
(3)方程x2-8x-10=0的每一个根都不是奇数.
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