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2.1.1　课时2　不等式的性质
【学习目标】
1.能从等式的性质类比不等式的性质.(数学抽象)
2.掌握不等式的性质及其成立的条件,会利用不等式的性质解决求范围问题、证明不等式.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.不等式的性质“a>b,b>c a>c”改为“a>b,b>c a>c”成立吗
2.在性质3的推论2中,能把“ ”改为“ ”吗 为什么
3.如果a>b,且a,b同号,那么与的关系是什么
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a>b,则ac>bc一定成立. (　　)
(2)若a>b且db+d. (　　)
(3)若a>b且c>d,则ac>bd. (　　)
2.若a>b>0,dA.ac>bd>0　　　　　　B.ac>bd
C.a+c>b+d D.a+c>b+d>0
【合作探究】
探究1：不等式的性质
情境设置
小明说:“‘a=b’是‘ac2=bc2’成立的充要条件.”
问题1:小明的说法正确吗 用什么性质判断小明的说法是否正确
问题2:请大家回忆一下,等式有哪些性质
问题3:类比等式的性质,你能推出不等式的性质吗
新知生成
不等式的基本性质
性质1:(对称性)a>b b性质2:(传递性)a>b,b>c a>c.
性质3:(可加性)a>b a+c>b+c.
推论1:如果a+b>c,那么a>c-b.
推论2:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.
性质4:(可乘性)a>b,c>0 ac>bc;
a>b,c<0 ac推论3:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
推论4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
性质5:如果a>b>0,那么>.
性质6:如果a>b,且ab>0,那么<;
如果a>b,且ab<0,那么>.
新知运用
例1　已知a,b,c,d为实数,则下列命题中是真命题的是(　　).
A.若a
B.若<,则a>b
C.若a2D.若a2方法指导　本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假,也可以采用特殊值法判断.
【方法总结】运用不等式的性质判断命题真假时,要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能随意捏造性质.解有关不等式的选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.
巩固训练
(多选题)已知a,b,c∈R且a>b>c>0,则下列结论正确的是(　　).
A.2a>b+c　　　　　B.a(c-b)>b(c-b)
C.< D.b-c>a-c
探究2：不等式性质的应用
一、利用不等式性质证明简单不等式
例2　若a>b>0,c.
方法指导　可结合不等式的基本性质,分析所证不等式的结构,有理有据地导出证明结果.
【方法总结】利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题,一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质,并注意在解题中灵活准确地加以应用.
(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.
二、利用不等式性质求取值范围
例3　已知12　　【变式探究】已知2≤a+b≤4且1≤a-b≤2,求4a-2b的取值范围.
【方法总结】不等式具有可加性(需同向)与可乘性(需同正),但不能相减或相除,应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围,注意等价变形.
巩固训练
1.已知02.若bc-ad≥0,bd>0.求证:≤.
【随堂检测】
s1.如果a<0,b>0,那么下列不等式中正确的个数是(　　).
①<;②<;③a2|b|.
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知a,b,c,d∈R且ab>0,->-,则(　　).
A.bcad
C.> D.<
3.已知-1≤x≤4,2≤y≤3,则z=2x-3y的取值范围是　　　　.
4.已知a>b>0,c|c|,求证:
(1)b+c>0;(2)<.
22.1.1　课时2　不等式的性质
【学习目标】
1.能从等式的性质类比不等式的性质.(数学抽象)
2.掌握不等式的性质及其成立的条件,会利用不等式的性质解决求范围问题、证明不等式.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.不等式的性质“a>b,b>c a>c”改为“a>b,b>c a>c”成立吗
【答案】不成立,因为由a>c推不出a>b,b>c.
2.在性质3的推论2中,能把“ ”改为“ ”吗 为什么
【答案】不能,因为由a+c>b+d,不能推出a>b,c>d,例如1+100>2+3,但显然1<2.
3.如果a>b,且a,b同号,那么与的关系是什么
【答案】因为-=,且a>b,a,b同号,所以ab>0,b-a<0,所以<0,即<.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a>b,则ac>bc一定成立. (　　)
(2)若a>b且db+d. (　　)
(3)若a>b且c>d,则ac>bd. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×
2.若a>b>0,dA.ac>bd>0　　　　　　B.ac>bd
C.a+c>b+d D.a+c>b+d>0
【答案】C
【解析】若d<00>bd,A错误;
取a=3,b=2,c=-2,d=-3,则ac=bd,a+c>0>b+d,B错误,D错误;
因为a>b>0,db+d,C正确.
【合作探究】
探究1：不等式的性质
情境设置
小明说:“‘a=b’是‘ac2=bc2’成立的充要条件.”
问题1:小明的说法正确吗 用什么性质判断小明的说法是否正确
【答案】不正确,用等式的性质.当a=b时,ac2=bc2一定成立,反过来,当ac2=bc2时,不能推出a=b,如c=0.故“‘a=b’是‘ac2=bc2’成立的充要条件”是错误的.
问题2:请大家回忆一下,等式有哪些性质
【答案】性质1:如果a=b,那么b=a.
性质2:如果a=b,b=c,那么a=c.
性质3:如果a=b,那么a±c=b±c.
性质4:如果a=b,那么ac=bc.
性质5:如果a=b,c≠0,那么=.
问题3:类比等式的性质,你能推出不等式的性质吗
【答案】能.
新知生成
不等式的基本性质
性质1:(对称性)a>b b性质2:(传递性)a>b,b>c a>c.
性质3:(可加性)a>b a+c>b+c.
推论1:如果a+b>c,那么a>c-b.
推论2:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.
性质4:(可乘性)a>b,c>0 ac>bc;
a>b,c<0 ac推论3:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
推论4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
性质5:如果a>b>0,那么>.
性质6:如果a>b,且ab>0,那么<;
如果a>b,且ab<0,那么>.
新知运用
例1　已知a,b,c,d为实数,则下列命题中是真命题的是(　　).
A.若a
B.若<,则a>b
C.若a2D.若a2方法指导　本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假,也可以采用特殊值法判断.
【答案】D
【解析】取a=-1,b=1,则满足a0,所以a0,此时a2c2=0a2>0,d2>c2>0,有b2d2>a2c2,故D为真命题.
【方法总结】运用不等式的性质判断命题真假时,要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能随意捏造性质.解有关不等式的选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.
巩固训练
(多选题)已知a,b,c∈R且a>b>c>0,则下列结论正确的是(　　).
A.2a>b+c　　　　　B.a(c-b)>b(c-b)
C.< D.b-c>a-c
【答案】AC
【解析】由a>b>c>0,得a>b,a>c,∴2a>b+c,故A正确;
由a>b>c>0,得a>b,c-b<0,∴a(c-b)由b>c>0,得<,故C正确;
由a>b>c>0,得0探究2：不等式性质的应用
一、利用不等式性质证明简单不等式
例2　若a>b>0,c.
方法指导　可结合不等式的基本性质,分析所证不等式的结构,有理有据地导出证明结果.
【解析】∵c-d>0.
又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0.
∴(a-c)2>(b-d)2>0.
两边同时乘以,
得<.
又e<0,∴>.
【方法总结】利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题,一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质,并注意在解题中灵活准确地加以应用.
(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.
二、利用不等式性质求取值范围
例3　已知12【解析】∵15又<<,∴<<,即<<4.
故-24　　【变式探究】已知2≤a+b≤4且1≤a-b≤2,求4a-2b的取值范围.
【解析】令a+b=μ,a-b=ν,则2≤μ≤4,1≤ν≤2.
由解得
∴4a-2b=4·-2·=μ+3ν,
又2≤μ≤4,3≤3ν≤6,∴5≤μ+3ν≤10,
∴5≤4a-2b≤10.
【方法总结】不等式具有可加性(需同向)与可乘性(需同正),但不能相减或相除,应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围,注意等价变形.
巩固训练
1.已知0【答案】-<2a-b<
【解析】因为0且2a-b=(a+b)-(-a+b),
所以结合不等式的性质可得-<2a-b<.
2.若bc-ad≥0,bd>0.求证:≤.
【解析】因为bc-ad≥0,所以ad≤bc,
因为bd>0,所以≤,所以+1≤+1,
所以≤.
【随堂检测】
s1.如果a<0,b>0,那么下列不等式中正确的个数是(　　).
①<;②<;③a2|b|.
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】①正确,②③④可举反例排除,如对于②③,可设a=-9,b=1;对于④,可设a=-1,b=2.
2.已知a,b,c,d∈R且ab>0,->-,则(　　).
A.bcad
C.> D.<
【答案】A
【解析】∵ ab>0,
∴ 在->-两侧乘ab不变号,
即-bc>-ad,即bc3.已知-1≤x≤4,2≤y≤3,则z=2x-3y的取值范围是　　　　.
【答案】[-11,2]
【解析】∵-1≤x≤4,2≤y≤3,∴-2≤2x≤8,-9≤-3y≤-6,∴-11≤2x-3y≤2,∴-11≤z≤2.
4.已知a>b>0,c|c|,求证:
(1)b+c>0;(2)<.
【解析】(1)∵|b|>|c|且b>0,c<0,∴b>-c,即b+c>0.
(2)∵c-d>0,又a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴>>0,∴<.
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