资源简介

2.1.2　基本不等式
【学习目标】
1.通过具体实例抽象出基本不等式的内容,能理解及证明基本不等式.(数学抽象、逻辑推理)
2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.(逻辑推理、数学运算)
3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.如果a>0,b>0,用,分别代替不等式a2+b2≥2ab中的a,b,可得到怎样的不等式
【答案】a+b≥2.
2.不等式a2+b2≥2ab和≥成立的条件是否相同 若不同,请举例说明.
【答案】成立的条件不同,前者成立的条件是a与b都为实数;而后者成立的条件是a与b都为非负数.例如,(-1)2+(-2)2≥2×(-1)×(-2)是成立的,而≥是不成立的.
3.基本不等式中的a,b可以是任意值为正数的代数式吗
【答案】a,b可以是任意正数,也可以是代数式.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对于任意a,b∈R,都有a2+b2≥2ab. (　　)
(2)当n∈N+时,n+>2. (　　)
(3)当x≠0时,x+≥2. (　　)
【答案】(1)√　(2)√　(3)×
2.已知a≠0,则下列不等式正确的是(　　).
A.a+≥2
B.(-a)+-≤-2
C.a2+≥2
D.(-a)2+-2≤-2
【答案】C
【解析】当a<0时,a+<0,(-a)+->0,故A,B错误.
当a≠0时,由基本不等式的性质可得a2+≥2,(-a)2+-2≥2,故C正确,D错误.
3.不等式x-2y+≥2成立的前提条件为　　　.
【答案】x>2y
【解析】因为基本不等式成立的前提条件是各项均为正,
所以x-2y>0,即x>2y.
4.已知a,b,c都是正数,求证:a+b+c---≥0.
【解析】∵a,b,c都是正数,
∴a+b≥2,b+c≥2,a+c≥2,
∴a+b+b+c+a+c≥2(++),
∴a+b+c≥++,
即a+b+c---≥0,当且仅当a=b=c时等号成立.
【合作探究】
探究1：不等式定理
情境设置
问题:我们知道(a-b)2≥0,你能得出什么样的重要关系
【答案】因为(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab.
新知生成
定理:对任意a,b∈R,必有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立.
新知运用
例1　已知a,b,c∈R,求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
方法指导　观察不等式和与积的特征,利用重要不等式证明.
【解析】由重要不等式可得a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2,
同理,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,
∴(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2a2b2+2b2c2+2c2a2,
从而a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
【方法总结】用重要不等式证明不等式时,应先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备重要不等式的结构和条件,然后合理地选择重要不等式进行证明.
巩固训练
设a>0,b>0,证明:+≥a+b.
【解析】∵a>0,b>0,∴+a≥2b,+b≥2a,
∴+≥a+b.
探究2：不等式定理的推论
情境设置
如图,AB是圆O的直径,Q是AB上任意一点,AQ=a,BQ=b,过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P,垂足为Q,连接AP,PB.
问题1:如何用a,b表示PO,PQ的长度
【答案】PO==.易证Rt△APQ∽Rt△PBQ,则PQ2=AQ·QB,即PQ=.
问题2:比较PO,PQ的长度,能得出什么结论
【答案】PO的长度大于或等于PQ的长度,通过两者的关系可以得出≤.
新知生成
1.推论
对任意a,b≥0,必有≥,当且仅当a=b时等号成立.
2.算术平均数、几何平均数
一般地,对于正数a,b,我们把称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数.
3.基本不等式
定理和推论中的不等式通常称为基本不等式.
新知运用
例2　(多选题)下列结论正确的是(　　).
A.y=x+的最小值为4
B.y=(x>0)的最大值为
C.y=x-1+(x>-1)的最小值为0
D.y=+的最小值为2
方法指导　利用基本不等式逐项分析即可.
【答案】BC
【解析】A中,没有考虑x<0的情况,A错误;
B中,y==≤=,当且仅当x=,即x=1时等号成立,B正确;
C中,y=x-1+=x+1+-2≥2-2=0,当且仅当x+1=,即x=0时等号成立,C正确;
D中,y=+≥2=2,而当=时,x无解,故取不到2,D错误.
【方法总结】基本不等式≥(a≥0,b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系.对它的准确掌握要抓住两个方面
(1)定理成立的条件:a,b都是非负数.
(2)“当且仅当”的含义:①当a=b时,≥的等号成立,即a=b =;②仅当a=b时,≥的等号成立,即= a=b.
巩固训练
下列命题正确的是(　　).
A.当a,b∈R时,+≥2=2
B.当a>0,b>0时,(a+b)+≥4
C.当a>4时,a+≥2=6
D.当a>0,b>0时,≥
【答案】B
【解析】A中,当<0时不等式不成立,所以A不正确;B中,因为a+b≥2>0,+≥2>0,相乘得(a+b)+≥4,当且仅当a=b时等号成立,所以B正确;C中,a+≥2=6中的等号不成立,所以C不正确;D中,由基本不等式知,≤(a>0,b>0),所以D不正确.故选B.
探究3：基本不等式的简单应用
情境设置
小区有一个面积为8的直角三角形花坛.
问题1:上述情境中,能否求出两条直角边的边长之和的最小值
【答案】设两条直角边的边长分别为a,b(a>0,b>0),由已知ab=8,得a+b≥2=8,当且仅当a=b=4时,两条直角边的边长之和最小,最小值为8.
问题2:若这个直角三角形的两条直角边的边长之和为4,如何求该直角三角形面积的最大值呢
【答案】设两条直角边的边长分别为a,b(a>0,b>0),则a+b=4,因为a>0,b>0,所以a+b≥2,
所以ab≤=4,当且仅当a=b=2时等号成立.
所以该直角三角形面积的最大值为2.
新知生成
1.利用基本不等式求最值时,必须按照以下原则
(1)符合基本不等式≥成立的前提条件(a≥0,b≥0).
(2)化不等式的一边为定值.
(3)必须存在取“=”的条件,即“=”成立.
2.基本不等式的变形
(1)ab≤2≤(a,b∈R);
(2)≤≤(a,b均为正实数).
新知运用
一、利用基本不等式求最值
例3　(1)已知0(2)已知x>2,则x+的最小值为　　　　.
方法指导　通过常数拼凑使得两个式子的和或积为定值,再利用基本不等式求出最值,注意“一正、二定、三相等”的条件以及拼凑中的等价变形过程.
【答案】(1)　(2)6
【解析】(1)∵00,∴x(4-3x)=·3x(4-3x)≤=,
当且仅当3x=4-3x,即x=时等号成立,故x=.
(2)∵x>2,∴x-2>0,∴x+=(x-2)++2≥2+2=6,
当且仅当x-2=,即x=4时等号成立.
【方法总结】若是求和的最小值,通常化积为定值;若是求积的最大值,通常化和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式.
二、利用基本不等式证明
例4　已知a,b,c>0,求证:++≥a+b+c.
【解析】∵a,b,c>0,∴利用基本不等式可得+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,∴+++a+b+c≥2a+2b+2c,故++≥a+b+c,当且仅当a=b=c时等号成立.
【方法总结】利用基本不等式证明不等式时,要先观察题中需证明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之满足能使用基本不等式的条件;若题目中含有已知条件,则先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中隐含“1”时,要注意“1”的代换.另外,解题过程中要时刻注意等号能否取到.
巩固训练
(1)已知m>0,n>0,且m+n=16,求mn的最大值.
(2)已知a,b,c为正数,且a+b+c=1,证明:++≥9.
【解析】(1)∵m>0,n>0且m+n=16,
∴由基本不等式可得mn≤==64,
当且仅当m=n=8时,mn取得最大值64.
(2)++=++
=3+++
≥3+2+2+2
=3+2+2+2=9.
当且仅当a=b=c=时等号成立.
【随堂检测】
1.若0　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.aC.a<【答案】B
【解析】(法一)∵0(法二)取a=2,b=8,则=4,=5,∴a<<2.数学里有一种证明方法叫做无字证明(Proofs without words),一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题.由于这种证明方法的特殊性,无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有图形如图所示,在等腰直角三角形ABC中,O为斜边AB的中点,D为斜边AB上异于顶点的一个动点,设AD=a,BD=b,则该图形可以完成的无字证明为(　　).
A.≥(a>0,b>0)
B.≤(a>0,b>0)
C.≤(a>0,b>0)
D.a2+b2≥2(a>0,b>0)
【答案】B
【解析】∵△ABC是等腰直角三角形,O为斜边AB的中点,AD=a,BD=b,
∴OC=,OD=.
∵OC⊥AB,∴CD2=OC2+OD2=2+2=,
∴CD=,又CD≥OC,∴≥(a>0,b>0).故选B.
3.对x∈R且x≠0都成立的不等式是(　　).
A.x+≥2 B.x+≤-2
C.≥ D.≥2
【答案】D
【解析】因为x∈R且x≠0,所以当x>0时,x+≥2,当x<0时,-x>0,所以x+=--x+≤-2,所以A,B都错误;又因为x2+1≥2|x|,所以≤,所以C错误.故选D.
4.已知a,b为正实数,且a+b=1.求证:+≥4.
【解析】∵a,b为正实数,且a+b=1,
∴+=+
=1+++1
=2++≥2+2=4,
当且仅当a=b=时等号成立.
22.1.2　基本不等式
【学习目标】
1.通过具体实例抽象出基本不等式的内容,能理解及证明基本不等式.(数学抽象、逻辑推理)
2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.(逻辑推理、数学运算)
3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.如果a>0,b>0,用,分别代替不等式a2+b2≥2ab中的a,b,可得到怎样的不等式
2.不等式a2+b2≥2ab和≥成立的条件是否相同 若不同,请举例说明.
3.基本不等式中的a,b可以是任意值为正数的代数式吗
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对于任意a,b∈R,都有a2+b2≥2ab. (　　)
(2)当n∈N+时,n+>2. (　　)
(3)当x≠0时,x+≥2. (　　)
2.已知a≠0,则下列不等式正确的是(　　).
A.a+≥2
B.(-a)+-≤-2
C.a2+≥2
D.(-a)2+-2≤-2
3.不等式x-2y+≥2成立的前提条件为　　　.
4.已知a,b,c都是正数,求证:a+b+c---≥0.
【合作探究】
探究1：不等式定理
情境设置
问题:我们知道(a-b)2≥0,你能得出什么样的重要关系
【答案】因为(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab.
新知生成
定理:对任意a,b∈R,必有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立.
新知运用
例1　已知a,b,c∈R,求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
方法指导　观察不等式和与积的特征,利用重要不等式证明.
【方法总结】用重要不等式证明不等式时,应先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备重要不等式的结构和条件,然后合理地选择重要不等式进行证明.
巩固训练
设a>0,b>0,证明:+≥a+b.
探究2：不等式定理的推论
情境设置
如图,AB是圆O的直径,Q是AB上任意一点,AQ=a,BQ=b,过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P,垂足为Q,连接AP,PB.
问题1:如何用a,b表示PO,PQ的长度
问题2:比较PO,PQ的长度,能得出什么结论
新知生成
1.推论
对任意a,b≥0,必有≥,当且仅当a=b时等号成立.
2.算术平均数、几何平均数
一般地,对于正数a,b,我们把称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数.
3.基本不等式
定理和推论中的不等式通常称为基本不等式.
新知运用
例2　(多选题)下列结论正确的是(　　).
A.y=x+的最小值为4
B.y=(x>0)的最大值为
C.y=x-1+(x>-1)的最小值为0
D.y=+的最小值为2
方法指导　利用基本不等式逐项分析即可.
【方法总结】基本不等式≥(a≥0,b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系.对它的准确掌握要抓住两个方面
(1)定理成立的条件:a,b都是非负数.
(2)“当且仅当”的含义:①当a=b时,≥的等号成立,即a=b =;②仅当a=b时,≥的等号成立,即= a=b.
巩固训练
下列命题正确的是(　　).
A.当a,b∈R时,+≥2=2
B.当a>0,b>0时,(a+b)+≥4
C.当a>4时,a+≥2=6
D.当a>0,b>0时,≥
探究3：基本不等式的简单应用
情境设置
小区有一个面积为8的直角三角形花坛.
问题1:上述情境中,能否求出两条直角边的边长之和的最小值
问题2:若这个直角三角形的两条直角边的边长之和为4,如何求该直角三角形面积的最大值呢
【
新知生成
1.利用基本不等式求最值时,必须按照以下原则
(1)符合基本不等式≥成立的前提条件(a≥0,b≥0).
(2)化不等式的一边为定值.
(3)必须存在取“=”的条件,即“=”成立.
2.基本不等式的变形
(1)ab≤2≤(a,b∈R);
(2)≤≤(a,b均为正实数).
新知运用
一、利用基本不等式求最值
例3　(1)已知0(2)已知x>2,则x+的最小值为　　　　.
方法指导　通过常数拼凑使得两个式子的和或积为定值,再利用基本不等式求出最值,注意“一正、二定、三相等”的条件以及拼凑中的等价变形过程.
【方法总结】若是求和的最小值,通常化积为定值;若是求积的最大值,通常化和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式.
二、利用基本不等式证明
例4　已知a,b,c>0,求证:++≥a+b+c.
【方法总结】利用基本不等式证明不等式时,要先观察题中需证明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之满足能使用基本不等式的条件;若题目中含有已知条件,则先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中隐含“1”时,要注意“1”的代换.另外,解题过程中要时刻注意等号能否取到.
巩固训练
(1)已知m>0,n>0,且m+n=16,求mn的最大值.
(2)已知a,b,c为正数,且a+b+c=1,证明:++≥9.
(2)++=++
=3+++
【随堂检测】
1.若0　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.aC.a<2.数学里有一种证明方法叫做无字证明(Proofs without words),一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题.由于这种证明方法的特殊性,无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有图形如图所示,在等腰直角三角形ABC中,O为斜边AB的中点,D为斜边AB上异于顶点的一个动点,设AD=a,BD=b,则该图形可以完成的无字证明为(　　).
A.≥(a>0,b>0)
B.≤(a>0,b>0)
C.≤(a>0,b>0)
D.a2+b2≥2(a>0,b>0)
3.对x∈R且x≠0都成立的不等式是(　　).
A.x+≥2 B.x+≤-2
C.≥ D.≥2
4.已知a,b为正实数,且a+b=1.求证:+≥4.
2

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