资源简介

2.1.3　基本不等式的应用
【学习目标】
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.(逻辑推理、数学运算)
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(逻辑推理、数学运算)
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.(数学建模)
【自主预习】
预学忆思
1.已知x,y都为正数,若积xy是定值p,如何求它们和的最小值
2.已知x,y都为正数,如果和x+y是定值s,如何求积xy的最大值
3.两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗
自学检测
1.若实数a,b满足a+b=1,则ab的最大值为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.2 B.1 C. D.
2.已知实数x,y满足x>0,y>0,且+=1,则x+2y的最小值为(　　).
A.2 B.4 C.6 D.8
3.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=　　　　.
【合作探究】
探究1：利用基本不等式求条件最值
情境设置
已知正数x,y满足+=1.
问题1:能直接利用“1”的代换求x+y的最小值吗 为什么
问题2:怎样变形能利用“1”的代换求最值
问题3:你能根据问题2的方法,求x+y的最小值吗
新知生成
　　若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值.其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式.
新知运用
例1　已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.
　　【变式探究1】本例条件变为“x>0,y>0,2x+8y=xy”,试求x+y的最小值.
　　【变式探究2】本例条件变为“x>0,y>0,x+y=1”,试求+的最小值.
【方法总结】1.常值代换法适用于求解条件最值问题.求最值的方法步骤:
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数);
(2)把确定的定值(常数)变形为1;
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;
(4)利用基本不等式求解最值.
2.若常值代换法不适用于求条件最值,则对条件变形,直接使用基本不等式,建立以目标函数为整体的不等式,解不等式可得最值.
巩固训练
　　已知x,y均为正实数,且满足x+2y=2xy.
(1)求xy的最小值;
(2)求x+y的最小值.
探究2：基本不等式的应用
一、基本不等式在生活中的应用
例2　某单位建造一间背面靠墙的小房,地面是面积为12平方米的矩形,房高为3米.因地理位置的限制,房屋侧面的宽度x不得超过5米,房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,不计房屋背面的费用,设房屋的总造价为y元.
(1)求y用x表示的函数关系式.
(2)当x为多少时,总造价最低 最低总造价是多少
方法指导　(1)由侧面宽度为x米,可得正面长度为米,再求正面与侧面的费用,结合屋顶和地面的造价费用合计为5800元,即可得答案;(2)结合(1)中解析式,直接利用基本不等式求解即可.
【方法总结】解决实际问题时,先弄清题意(审题),建立数学模型(列式),再用所掌握的数学知识解决问题(求解),最后要回应题意下结论(作答).
巩固训练
某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,若将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用(单位:元)为560+48x.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层 注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=
二、基本不等式在几何中的应用
例3　如图所示,设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24,把它沿AC翻折,翻折后AB'交DC于点P,设AB=x.
(1)用x表示DP,并求出x的取值范围;
(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值.
巩固训练
如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=4米,AD=3米,当BM=　　　　时,矩形花坛AMPN的面积最小.
【随堂检测】
1.已知a>0,b>0,且2a+=1,则+b的最小值为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.2 B.3 C.8 D.9
2.(多选题)已知a>0,b>0,a+b=2,则对于+,下列说法正确的是(　　).
A.取最值时,a= B.最大值是5
C.取最值时,b= D.最小值是
3.一批货物随17列火车从A市以v千米/时的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列火车的间距不得小于2千米,那么这批货物全部运到B市,最快需要　　　　小时.
4.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个内接矩形花园(阴影部分),则矩形花园面积的最大值为　　　　.
22.1.3　基本不等式的应用
【学习目标】
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.(逻辑推理、数学运算)
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(逻辑推理、数学运算)
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.(数学建模)
【自主预习】
预学忆思
1.已知x,y都为正数,若积xy是定值p,如何求它们和的最小值
【答案】根据基本不等式求它们和的最小值.因为x,y都为正数,且xy是定值p,
所以x+y≥2=2,当且仅当x=y时等号成立,
所以x+y的最小值为2.
2.已知x,y都为正数,如果和x+y是定值s,如何求积xy的最大值
【答案】由已知可得x+y≥2,所以xy≤=,当且仅当x=y时,积xy有最大值,最大值为.
3.两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗
【答案】不一定.应用基本不等式求最值时还要求等号能取到.
自学检测
1.若实数a,b满足a+b=1,则ab的最大值为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.2 B.1 C. D.
【答案】D
【解析】∵ab≤,a+b=1,
∴ab≤,即ab≤,当且仅当a=b=时等号成立,∴(ab)max=.
2.已知实数x,y满足x>0,y>0,且+=1,则x+2y的最小值为(　　).
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】D
【解析】∵x>0,y>0,且+=1,
∴x+2y=(x+2y)+=4++≥4+2=8,当且仅当=,+=1,即x=4,y=2时等号成立,故x+2y的最小值为8.
3.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=　　　　.
【答案】20
【解析】总运费与总存储费用之和y=4x+·4=4x+≥2=160,
当且仅当4x=,即x=20时等号成立.
【合作探究】
探究1：利用基本不等式求条件最值
情境设置
已知正数x,y满足+=1.
问题1:能直接利用“1”的代换求x+y的最小值吗 为什么
【答案】不能,因为相乘后,不能凑出积为定值的形式,故不能利用基本不等式求最值.
问题2:怎样变形能利用“1”的代换求最值
【答案】已知条件无法变换,故先把x+y变形,即x+y=x+(y+1)-1,再利用“1”的变换求最值.
问题3:你能根据问题2的方法,求x+y的最小值吗
【答案】因为x>0,y>0,+=1,
所以x+y=x+(y+1)-1=[x+(y+1)]+-1=1+4++-1≥4+2=8,
当且仅当=,即x=3,y=5时等号成立,所以x+y的最小值为8.
新知生成
　　若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值.其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式.
新知运用
例1　已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.
【解析】∵x>0,y>0,+=1,∴x+y=+·(x+y)=++10≥2+10=16,当且仅当即时等号成立,∴x+y的最小值为16.
　　【变式探究1】本例条件变为“x>0,y>0,2x+8y=xy”,试求x+y的最小值.
【解析】由2x+8y=xy,得y(x-8)=2x.
∵x>0,y=>0,∴x-8>0,
∴x+y=x+=x+=(x-8)++10≥2 +10=18,当且仅当x-8=,即x=12时等号成立,∴x+y的最小值是18.
　　【变式探究2】本例条件变为“x>0,y>0,x+y=1”,试求+的最小值.
【解析】由+=(x+y)+=10++≥10+2=16,当且仅当=,x+y=1,即x=,y=时等号成立,∴+的最小值为16.
【方法总结】1.常值代换法适用于求解条件最值问题.求最值的方法步骤:
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数);
(2)把确定的定值(常数)变形为1;
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;
(4)利用基本不等式求解最值.
2.若常值代换法不适用于求条件最值,则对条件变形,直接使用基本不等式,建立以目标函数为整体的不等式,解不等式可得最值.
巩固训练
　　已知x,y均为正实数,且满足x+2y=2xy.
(1)求xy的最小值;
(2)求x+y的最小值.
【解析】(1)因为x,y>0,且x+2y=2xy,
由基本不等式得2xy=x+2y≥2,
解得≥,
所以xy≥2,当且仅当即时等号成立,
所以xy的最小值为2.
(2)因为x,y>0,且x+2y=2xy,
所以+=1,
所以x+y=+(x+y)=++≥2+=+,
当且仅当即时等号成立,
所以x+y的最小值为+.
探究2：基本不等式的应用
一、基本不等式在生活中的应用
例2　某单位建造一间背面靠墙的小房,地面是面积为12平方米的矩形,房高为3米.因地理位置的限制,房屋侧面的宽度x不得超过5米,房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,不计房屋背面的费用,设房屋的总造价为y元.
(1)求y用x表示的函数关系式.
(2)当x为多少时,总造价最低 最低总造价是多少
方法指导　(1)由侧面宽度为x米,可得正面长度为米,再求正面与侧面的费用,结合屋顶和地面的造价费用合计为5800元,即可得答案;(2)结合(1)中解析式,直接利用基本不等式求解即可.
【解析】(1)因为侧面宽度为x米,所以正面长度为米,
依题意,得y=3×2x·150+·400+5800=900x++5800(0(2)因为x+≥2=8,
当且仅当x=,即x=4时等号成立,所以900x++5800≥900×8+5800=13000,所以当x=4时,y的最小值为13000,
即当侧面的宽度为4米时,总造价最低,最低总造价为13000元.
【方法总结】解决实际问题时,先弄清题意(审题),建立数学模型(列式),再用所掌握的数学知识解决问题(求解),最后要回应题意下结论(作答).
巩固训练
某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,若将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用(单位:元)为560+48x.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层 注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=
【解析】由题意知,每平方米的平均购地费用为=,
∴每平方米的平均综合费用y=560+48x+=560+48x+.
当x+取最小值时,y取得最小值.
∵x≥10,∴x+≥2=30.
当且仅当x=,即x=15时等号成立.
∴当x=15时,y取得最小值,最小值为2000元.
即该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最少.
二、基本不等式在几何中的应用
例3　如图所示,设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24,把它沿AC翻折,翻折后AB'交DC于点P,设AB=x.
(1)用x表示DP,并求出x的取值范围;
(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值.
【解析】(1)矩形ABCD(AB>BC)的周长为24,
∵AB=x,∴AD=-x=12-x,
∵AB>BC=AD,得x>12-x,∴6∵∠BAC=∠PAC,∠BAC=∠PCA,
∴在△APC中,∠PAC=∠PCA,∴AP=PC,从而得DP=PB',
∴AP=AB'-PB'=AB-DP=x-DP,在Rt△ADP中,由勾股定理得(12-x)2+DP2=(x-DP)2,
∴DP=12-(6(2)在Rt△ADP中,
S△ADP=AD·DP=(12-x)12-=108-6x+(6∵6∴S△ADP=108-6x+≤108-72,当x=6时,△ADP的面积取最大值,最大值为108-72.
巩固训练
如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=4米,AD=3米,当BM=　　　　时,矩形花坛AMPN的面积最小.
【答案】4米
【解析】设BM=x(x>0),则由DC∥AM得=,解得ND=,
∴矩形AMPN的面积S=(4+x)3+=24+3x+≥24+2=48,当且仅当3x=,即x=4时等号成立,
∴当BM=4米时,矩形花坛AMPN的面积最小.
【随堂检测】
1.已知a>0,b>0,且2a+=1,则+b的最小值为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.2 B.3 C.8 D.9
【答案】D
【解析】+b=+b·2a+=5++2ab≥5+2=9,
当且仅当即时等号成立,所以+b的最小值为9.
2.(多选题)已知a>0,b>0,a+b=2,则对于+,下列说法正确的是(　　).
A.取最值时,a= B.最大值是5
C.取最值时,b= D.最小值是
【答案】AD
【解析】因为a+b=2,所以+=+=+++2≥+2=,当且仅当=,且a+b=2,即a=,b=时等号成立.
3.一批货物随17列火车从A市以v千米/时的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列火车的间距不得小于2千米,那么这批货物全部运到B市,最快需要　　　　小时.
【答案】8
【解析】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t,
则t==+≥2=8,
当且仅当=,即v=100时等号成立,
所以这批货物全部运到B市,最快需要8小时.
4.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个内接矩形花园(阴影部分),则矩形花园面积的最大值为　　　　.
【答案】400
【解析】
由题意设矩形花园的长为x>0,宽为y>0,得矩形花园的面积为xy.
根据题意作图,如图,因为花园是矩形,则△ADE∽△ABC,所以=.
又因为AG=BC=40,
所以AF=DE=x,FG=y,所以x+y=40,
由基本不等式x+y≥2,得xy≤400,
当且仅当x=y=20时等号成立,此时矩形花园面积最大,最大值为400.
2

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