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2.2　从函数观点看一元二次方程
【学习目标】
1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及根的个数.(数学运算)
2.了解函数的零点与方程的根的关系.(逻辑推理、数学运算)
3.会求一元二次方程的根以及二次函数的解析式.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.一元二次函数的一般形式是什么
2.如何求一元二次函数的解析式
3.如何求一元二次函数图象与x轴的交点
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)y=mx2-5x是一元二次函数. (　　)
(2)函数y=x2-2x的零点为2和0. (　　)
(3)函数y=ax2+bx+c有两个零点. (　　)
2.已知某一元二次函数的图象与函数y=2x2的图象的形状一样,开口方向相反,且其顶点为(-1,3),则此函数的解析式为　　　　　　　　.
3.已知二次函数y=x2+ax+b的两个零点分别是2和3,求a,b的值.
【合作探究】
探究1：一元二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系
情境设置
观察下列一元二次方程与对应的二次函数:
(1)x2-4=0与y=x2-4;
(2)x2-4x+4=0与y=x2-4x+4;
(3)x2-2x+2=0与y=x2-2x+2.
问题1:上述一元二次方程是否有实根 若有,请求出.
问题2:画出上述一元二次函数的简图,观察图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程的根之间的关系.
　
新知生成
当a>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c的图象之间的关系如表所示:
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+ bx+c (a>0) 的图象
ax2+bx+c =0(a>0) 的根 有两个相异的实根x1,x2(x1新知运用
例1　二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;
(2)若方程ax2+bx+c=2k-1有两个不等实根,求实数k的取值范围.
【方法总结】涉及方程根的问题常转化为二次函数的图象与直线的交点问题,利用数形结合求解.
巩固训练
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,且经过点(1,2).
(1)求方程ax2+bx+c=0的根和对应的二次函数解析式;
(2)若方程ax2+bx+c=1-k无实根,求实数k的取值范围.
探究2：二次函数的零点
情境设置
已知ax2+bx+c=0.
问题1:当a<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c的图象之间的关系是怎样的
问题2:什么是二次函数的零点
问题3:二次函数的零点就是二次函数图象与x轴的交点吗
新知生成
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点,也就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标.
新知运用
例2　求下列函数的零点.
(1)y=3x2-2x-1;
(2)y=ax2-x-a-1(a∈R);
(3)y=ax2+bx+c,其图象如图所示.
方法指导　(1)直接解出相应方程的根;(2)对二次项的系数a分a=0,a≠0两类进行讨论,当a≠0时,还要比较两根的大小;(3)根据相应函数的图象,找到其与x轴交点的横坐标.
【方法总结】(1)求函数的零点就是解相应的方程,相应方程的实数根就是函数的零点.
(2)函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点.
(3)求含有参数的函数y=ax2+bx+c的零点需要分类讨论,分类讨论的步骤:①若二次项系数中含有参数,则讨论二次项系数是否为零;②若二次项系数不为零,则讨论对应方程的根的判别式的符号,判定方程是否有实数根,若可以因式分解,则一定存在零点;③若二次项系数不为零,且相应方程有实数根,则讨论相应方程的实数根是否相等.
巩固训练
　　求下列函数的零点.
(1)y=2x2-3x-2;
(2)y=ax2-x-1;
(3)y=ax2+bx+c,其图象如图所示.
【随堂检测】
1.函数y=3x2+x-2的零点为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1,- B.-1, C.2,- D.-2,
2.若关于x的一元二次方程x2-4x+m=0没有实数根,则实数m的取值范围为(　　).
A.m<2 B.m>4 C.m>16 D.m<8
3.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1,0),(2,5)两点,则二次函数的解析式为(　　).
A.y=x2+2x-3 B.y=x2-2x-3
C.y=x2+2x+3 D.y=x2-2x+6
4.设x1,x2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根,则+的值为　　　　.
22.2　从函数观点看一元二次方程
【学习目标】
1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及根的个数.(数学运算)
2.了解函数的零点与方程的根的关系.(逻辑推理、数学运算)
3.会求一元二次方程的根以及二次函数的解析式.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.一元二次函数的一般形式是什么
【答案】其一般形式为y=ax2+bx+c(a≠0).
2.如何求一元二次函数的解析式
【答案】若已知二次函数图象上的三点,可设二次函数的一般式,通过建立方程求解;若已知顶点坐标,可设为配方式y=a(x+n)2+m(a≠0),建立方程求解.
3.如何求一元二次函数图象与x轴的交点
【答案】令ax2+bx+c=0(a≠0),解方程即可.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)y=mx2-5x是一元二次函数. (　　)
(2)函数y=x2-2x的零点为2和0. (　　)
(3)函数y=ax2+bx+c有两个零点. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×
2.已知某一元二次函数的图象与函数y=2x2的图象的形状一样,开口方向相反,且其顶点为(-1,3),则此函数的解析式为　　　　　　　　.
【答案】y=-2(x+1)2+3
3.已知二次函数y=x2+ax+b的两个零点分别是2和3,求a,b的值.
【解析】因为二次函数y=x2+ax+b的两个零点分别是2和3,
所以x2+ax+b=0的两个根分别为2和3,
所以2+3=-a,2×3=b,即a=-5,b=6.
【合作探究】
探究1：一元二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系
情境设置
观察下列一元二次方程与对应的二次函数:
(1)x2-4=0与y=x2-4;
(2)x2-4x+4=0与y=x2-4x+4;
(3)x2-2x+2=0与y=x2-2x+2.
问题1:上述一元二次方程是否有实根 若有,请求出.
【答案】(1)有两个不等实根,x1=-2,x2=2;
(2)有两个相等实根,x1=x2=2;(3)无实根.
问题2:画出上述一元二次函数的简图,观察图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程的根之间的关系.
　　【答案】(1)如图①,图象与x轴的交点为(-2,0),(2,0),图象与x轴交点的横坐标即相应方程的根;(2)如图②,图象与x轴的交点为(2,0),图象与x轴交点的横坐标即相应方程的根;(3)如图③,图象与x轴无交点,相应方程无实根.
新知生成
当a>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c的图象之间的关系如表所示:
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+ bx+c (a>0) 的图象
ax2+bx+c =0(a>0) 的根 有两个相异的实根x1,x2(x1新知运用
例1　二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;
(2)若方程ax2+bx+c=2k-1有两个不等实根,求实数k的取值范围.
【解析】(1)观察图象可知,方程ax2+bx+c=0的两个根分别是-1,3.
(2)若ax2+bx+c=2k-1有两个不等实根,即二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=2k-1有两个交点,结合图象可知y=2k-1>-3,解得k>-1.
【方法总结】涉及方程根的问题常转化为二次函数的图象与直线的交点问题,利用数形结合求解.
巩固训练
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,且经过点(1,2).
(1)求方程ax2+bx+c=0的根和对应的二次函数解析式;
(2)若方程ax2+bx+c=1-k无实根,求实数k的取值范围.
【解析】(1)由图可知,ax2+bx+c=0的两个根分别为-1,2.
设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-2),
把点(1,2)代入,解得a=-1,
所以对应的二次函数解析式为y=-x2+x+2.
(2)由(1)得y=-x-2+,
所以结合图象可知,当1-k>,即k<-时,方程ax2+bx+c=1-k无实根.
探究2：二次函数的零点
情境设置
已知ax2+bx+c=0.
问题1:当a<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c的图象之间的关系是怎样的
【答案】当a<0时,二次函数的图象开口向下,若Δ>0,二次函数的图象与x轴有2个交点,交点的横坐标即相应方程的根;若Δ=0,二次函数的图象与x轴有1个交点,交点的横坐标即相应方程的根;若Δ<0,二次函数的图象与x轴无交点,此时相应的方程无实根.
问题2:什么是二次函数的零点
【答案】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值,即二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标,也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.
问题3:二次函数的零点就是二次函数图象与x轴的交点吗
【答案】不是,二次函数的零点是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
新知生成
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点,也就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标.
新知运用
例2　求下列函数的零点.
(1)y=3x2-2x-1;
(2)y=ax2-x-a-1(a∈R);
(3)y=ax2+bx+c,其图象如图所示.
方法指导　(1)直接解出相应方程的根;(2)对二次项的系数a分a=0,a≠0两类进行讨论,当a≠0时,还要比较两根的大小;(3)根据相应函数的图象,找到其与x轴交点的横坐标.
【解析】(1)由3x2-2x-1=0,解得x1=1,x2=-,所以函数y=3x2-2x-1的零点为1和-.
(2)①当a=0时,y=-x-1,由-x-1=0,解得x=-1,所以函数的零点为-1.
②当a≠0时,由ax2-x-a-1=0得(ax-a-1)(x+1)=0,解得x1=,x2=-1.
又-(-1)=,
所以当a=-时,x1=x2=-1,函数有唯一的零点,零点为-1;
当a≠-且a≠0时,x1≠x2,函数有两个零点,零点分别为-1和.
综上,当a=0或a=-时,函数的零点为-1;
当a≠-且a≠0时,函数有两个零点,零点分别为-1和.
(3)因为函数的图象与x轴交点的横坐标为-1和3,所以该函数的零点为-1和3.
【方法总结】(1)求函数的零点就是解相应的方程,相应方程的实数根就是函数的零点.
(2)函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点.
(3)求含有参数的函数y=ax2+bx+c的零点需要分类讨论,分类讨论的步骤:①若二次项系数中含有参数,则讨论二次项系数是否为零;②若二次项系数不为零,则讨论对应方程的根的判别式的符号,判定方程是否有实数根,若可以因式分解,则一定存在零点;③若二次项系数不为零,且相应方程有实数根,则讨论相应方程的实数根是否相等.
巩固训练
　　求下列函数的零点.
(1)y=2x2-3x-2;
(2)y=ax2-x-1;
(3)y=ax2+bx+c,其图象如图所示.
【解析】(1)由2x2-3x-2=0解得x1=2,x2=-,
所以函数y=2x2-3x-2的零点为2和-.
(2)①当a=0时,y=-x-1,由-x-1=0,解得x=-1,所以函数的零点为-1.
②当a≠0时,由ax2-x-1=0得Δ=1+4a.
当Δ<0,即a<-时,相应方程无实数根,函数无零点;
当Δ=0,即a=-时,x1=x2=-2,函数有唯一的零点,零点为-2;
当Δ>0,即a>-时,由ax2-x-1=0,解得x1=,x2=,函数有两个零点,零点分别为和.
综上,当a=0时,函数的零点为-1;
当a=-时,函数的零点为-2;
当a>-且a≠0时,函数有两个零点,零点分别为和;
当a<-时,函数无零点.
(3)因为函数的图象与x轴的交点的横坐标为-3和1,所以该函数的零点为-3和1.
【随堂检测】
1.函数y=3x2+x-2的零点为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1,- B.-1, C.2,- D.-2,
【答案】B
【解析】解方程3x2+x-2=0,得x1=-1,x2=,所以-1,是函数y=3x2+x-2的零点.
2.若关于x的一元二次方程x2-4x+m=0没有实数根,则实数m的取值范围为(　　).
A.m<2 B.m>4 C.m>16 D.m<8
【答案】B
【解析】若关于x的一元二次方程x2-4x+m=0没有实数根,则Δ=16-4m<0,解得m>4.
3.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1,0),(2,5)两点,则二次函数的解析式为(　　).
A.y=x2+2x-3 B.y=x2-2x-3
C.y=x2+2x+3 D.y=x2-2x+6
【答案】A
【解析】把点(1,0),(2,5)的坐标代入y=x2+bx+c,
得解得
所以这个二次函数的解析式为y=x2+2x-3.
4.设x1,x2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根,则+的值为　　　　.
【答案】-
【解析】因为x1,x2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根,所以x1+x2=,x1x2=-,所以+===-.
2

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