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2.3.1　课时1　一元二次不等式及其解法(一)
【学习目标】
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.(数学抽象)
2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.不等式x2+>0是一元二次不等式吗
2.一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗
3.若二次函数y=x2-4的函数值大于零,如何求解 x的取值范围
4.二次函数与一元二次方程的解、一元二次不等式的解集有什么对应关系
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解. (　　)
(2)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1,x2(x1(3)不等式x2-2x+3>0的解集为R. (　　)
2.(多选题)下列所给的关于x的不等式中一定为一元二次不等式的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.3x+4<0 B.x2+mx-1>0
C.ax2+4x-7>0 D.x2<0
3.不等式(2x-5)(x+3)<0的解集为　　　　　　.
4.不等式x2<2的解集是　　　　　　　　.
【合作探究】
探究1：一元二次不等式
情境设置
　　观察下列不等式:
(1)x2>0;(2)-x2-2x≤0;(3)x2-5x+6>0.
问题1:以上给出的三个不等式,它们含有几个未知数 未知数的最高次数是多少
问题2:上述三个不等式在表达形式上有何共同特点
新知生成
1.一元二次不等式
把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0.
2.解一元二次不等式的步骤
(1)确定对应一元二次方程ax2+bx+c=0的根;
(2)画出对应二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的大致图象;
(3)由图象得出不等式的解集.
新知运用
一、不含参数的一元二次不等式的解法
例1　解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
方法指导　先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.
【方法总结】解一元二次不等式的一般步骤:(1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零;(2)计算对应方程的判别式;(3)求出相应的一元二次方程的实数根,或根据判别式说明方程没有实数根;(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.
二、含参数的一元二次不等式的解法
例2　解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R).
方法指导　先求出方程x2-ax-2a2=0的两个根,再通过比较两根的大小写出不等式的解集.
【方法总结】解含参数的一元二次不等式:(1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数分大于0、等于0与小于0进行讨论;(2)若求对应的一元二次方程的根需要用公式,则应对判别式Δ进行讨论;(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.
巩固训练
1.解下列不等式:
(1)2x2-x+6>0;
(2)x2-6x+9≤0;
(3)x(7-x)>0.
2.解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0).
探究2：三个“二次”的关系
情境设置
问题1:一元二次函数与一元二次方程有什么关系
问题2:一元二次不等式与一元二次方程有什么关系
新知生成
三个“二次”的关系
设y=ax2+bx+c(a>0),方程 ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac
判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0
解不等式 y>0或 y<0 的步骤 求方程y=0的解 有两个不相等的实数根x1,x2(x1画函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
得不等式的解 集 y>0 {x|xx2} xx∈R且 x≠- R
y<0 {x|x1新知运用
例3　若不等式ax2+bx+c≥0的解集是,求不等式cx2+bx+a<0的解集.
方法指导　一元二次不等式解集的端点值是相应的一元二次方程的根,据此,利用根与系数的关系可求得,的值,将,的值整体代入,转化所求不等式进行求解.
【方法总结】　1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象,在x轴上方的部分所对应的x的值满足不等式ax2+bx+c>0;在x轴下方的部分所对应的x的值满足不等式ax2+bx+c<0.
巩固训练
已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为.
(1)求a,c的值;
(2)解关于x的不等式:ax2+(ac+2)x+2c≥0.
【随堂检测】
1.不等式3x2-2x+1>0的解集为(　　).
A.x-1C. D.R
2.若不等式ax2+bx-1≥0的解集是x-≤x≤-,则实数a=(　　).
A.-6 B.-5 C. D.6
3.不等式x(2-x)>3的解集是　　　　.
4.解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0.
22.3.1　课时1　一元二次不等式及其解法(一)
【学习目标】
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.(数学抽象)
2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.不等式x2+>0是一元二次不等式吗
【答案】不是,一元二次不等式一定为整式不等式.
2.一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗
【答案】不可以,若a=0,则不是二次不等式了.
3.若二次函数y=x2-4的函数值大于零,如何求解 x的取值范围
【答案】结合二次函数的图象求解,可得x的取值范围为x<-2或 x>2.
4.二次函数与一元二次方程的解、一元二次不等式的解集有什么对应关系
【答案】可以借助二次函数的图象分析,二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根,二次函数图象与x轴的相关位置可确定一元二次不等式的解集.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解. (　　)
(2)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1,x2(x1(3)不等式x2-2x+3>0的解集为R. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√
2.(多选题)下列所给的关于x的不等式中一定为一元二次不等式的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.3x+4<0 B.x2+mx-1>0
C.ax2+4x-7>0 D.x2<0
【答案】BD
【解析】由于a可能为0,故ax2+4x-7>0不一定是一元二次不等式;x2+mx-1>0,x2<0一定是一元二次不等式;3x+4<0是一次不等式.故选BD.
3.不等式(2x-5)(x+3)<0的解集为　　　　　　.
【答案】
4.不等式x2<2的解集是　　　　　　　　.
【答案】{x|-【解析】由x2<2得(x-)(x+)<0,解得-【合作探究】
探究1：一元二次不等式
情境设置
　　观察下列不等式:
(1)x2>0;(2)-x2-2x≤0;(3)x2-5x+6>0.
问题1:以上给出的三个不等式,它们含有几个未知数 未知数的最高次数是多少
【答案】它们只含有一个未知数,未知数的最高次数都是2.
问题2:上述三个不等式在表达形式上有何共同特点
【答案】形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c为常数,且a≠0.
新知生成
1.一元二次不等式
把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0.
2.解一元二次不等式的步骤
(1)确定对应一元二次方程ax2+bx+c=0的根;
(2)画出对应二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的大致图象;
(3)由图象得出不等式的解集.
新知运用
一、不含参数的一元二次不等式的解法
例1　解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
方法指导　先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.
【解析】(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-,x2=2.
因为函数图象是开口向上的抛物线,如图①所示,
图①
所以不等式的解集是xx<-或x>2.
(2)不等式可化为3x2-6x+2<0.
因为方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-,x2=1+,
且函数y=3x2-6x+2的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是.
(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=,函数y=4x2-4x+1的图象是开口向上的抛物线,如图②所示,所以原不等式的解集是.
图②
图③
(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,
所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,如图③所示,所以原不等式的解集为R.
【方法总结】解一元二次不等式的一般步骤:(1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零;(2)计算对应方程的判别式;(3)求出相应的一元二次方程的实数根,或根据判别式说明方程没有实数根;(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.
二、含参数的一元二次不等式的解法
例2　解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R).
方法指导　先求出方程x2-ax-2a2=0的两个根,再通过比较两根的大小写出不等式的解集.
【解析】原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0,对应的一元二次方程的根分别为x1=2a,x2=-a.
①当2a>-a,即a>0时,不等式的解集为{x|-a②当2a=-a,即a=0时,原不等式化为x2<0,无解;
③当2a<-a,即a<0时,不等式的解集为{x|2a综上所述,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a【方法总结】解含参数的一元二次不等式:(1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数分大于0、等于0与小于0进行讨论;(2)若求对应的一元二次方程的根需要用公式,则应对判别式Δ进行讨论;(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.
巩固训练
1.解下列不等式:
(1)2x2-x+6>0;
(2)x2-6x+9≤0;
(3)x(7-x)>0.
【解析】
图①
(1)∵方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0,
∴函数y=2x2-x+6的图象开口向上,与x轴无交点(如图①).∴观察图象可得,不等式的解集为R.
(2)x2-6x+9≤0,即(x-3)2≤0,∴原不等式的解集为{x|x=3}.
(3)
图②
原不等式可化为x(x-7)<0,方程x(x-7)=0的两根分别是x1=0,x2=7,
函数y=x(x-7)的图象是开口向上的抛物线,
与x轴有(0,0),(7,0)两个交点(如图②).
观察图象,可得不等式的解集为{x|02.解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0).
【解析】原不等式移项得ax2+(a-2)x-2≥0,
化简为(x+1)(ax-2)≥0.
∵a<0,∴(x+1)x-≤0.
∴当-2当a=-2时,x=-1;
当a<-2时,-1≤x≤.
综上所述,当-2当a=-2时,解集为{x|x=-1};
当a<-2时,解集为.
探究2：三个“二次”的关系
情境设置
问题1:一元二次函数与一元二次方程有什么关系
【答案】一元二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根.
问题2:一元二次不等式与一元二次方程有什么关系
【答案】一元二次不等式解集的端点值,就是相应一元二次方程的根.
新知生成
三个“二次”的关系
设y=ax2+bx+c(a>0),方程 ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac
判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0
解不等式 y>0或 y<0 的步骤 求方程y=0的解 有两个不相等的实数根x1,x2(x1画函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
得不等式的解 集 y>0 {x|xx2} xx∈R且 x≠- R
y<0 {x|x1新知运用
例3　若不等式ax2+bx+c≥0的解集是,求不等式cx2+bx+a<0的解集.
方法指导　一元二次不等式解集的端点值是相应的一元二次方程的根,据此,利用根与系数的关系可求得,的值,将,的值整体代入,转化所求不等式进行求解.
【解析】∵原不等式的解集为,
∴-,2是方程ax2+bx+c=0的两个根,且a<0.
由根与系数的关系得
即
∵a<0,∴不等式cx2+bx+a<0可化为x2+x+1>0,即-x2-x+1>0,化简得2x2+5x-3<0,则(2x-1)(x+3)<0,解得-3∴不等式cx2+bx+a<0的解集为.
【方法总结】　1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象,在x轴上方的部分所对应的x的值满足不等式ax2+bx+c>0;在x轴下方的部分所对应的x的值满足不等式ax2+bx+c<0.
巩固训练
已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为.
(1)求a,c的值;
(2)解关于x的不等式:ax2+(ac+2)x+2c≥0.
【解析】(1)由题意知,不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根分别为和,
由根与系数的关系得解得
(2)由a=-6,c=-1知,不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0,即3x2-4x+1≤0,解得≤x≤1,所以原不等式的解集为.
【随堂检测】
1.不等式3x2-2x+1>0的解集为(　　).
A.x-1C. D.R
【答案】D
【解析】因为Δ=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0,且对应二次函数图象开口向上,所以不等式3x2-2x+1>0的解集为R.
2.若不等式ax2+bx-1≥0的解集是x-≤x≤-,则实数a=(　　).
A.-6 B.-5 C. D.6
【答案】A
【解析】∵不等式ax2+bx-1≥0的解集为x-≤x≤-,
∴-和-为方程ax2+bx-1=0的两个实数根,且a<0,
根据韦达定理得-×-=,解得a=-6.
3.不等式x(2-x)>3的解集是　　　　.
【答案】
【解析】将不等式化为标准形式得x2-2x+3<0,因为对应方程的判别式Δ<0,所以不等式x(2-x)>3的解集为 .
4.解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0.
【解析】方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a,函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上.
当a<-1时,原不等式的解集为{x|a当a=-1时,原不等式的解集为 ;
当a>-1时,原不等式的解集为{x|-12

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