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2.3.1 课时2 一元二次不等式及其解法(二)
【学习目标】
1.会解简单的分式不等式.(数学运算)
2.会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.如何判断二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的位置关系
2.若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R,则实数a应满足什么条件
3.不等式 <0与(x-3)(x+2)<0的解集相同吗
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)不等式>1的解集是{x|x<1}. (　　)
(2)若a<0,则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0有解的充要条件是Δ=b2-4ac≥0. (　　)
2.不等式≥0的解集为　　　　.
3.已知不等式x2+x+k>0恒成立,则实数k的取值范围为　　　　.
【合作探究】
探究1：分式不等式的解法
情境设置
问题1:已知函数y=x2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标分别是2,3,则不等式x2+bx+c≥0的解集是什么
问题2:>0与(x-3)(x+2)>0等价吗 将>0变形为(x-3)(x+2)>0,有什么好处
新知生成
1.解分式不等式时,要注意先移项,使右边化为零,再注意含等号的分式不等式的分母不为零.
2.分式不等式的4种形式及解题思路
令y1=a1x+b1,y2=a2x+b2,
(1)>0 y1y2>0;
(2)<0 y1y2<0;
(3)≥0 y1y2≥0且y2≠0 y1y2>0或y1=0;
(4)≤0 y1y2≤0且y2≠0 y1y2<0或y1=0.
3.不等式与不等式组的等价关系
(1)y1y2≥0 或
(2)y1y2≤0 或
(3)y1y2>0 或
(4)y1y2<0 或
新知运用
例1　解下列不等式:
(1)<0;(2)≤1.
方法指导　将分式不等式转化为一元二次不等式求解.
【方法总结】1.对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.
2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零的不等式,然后用上述方法求解.
巩固训练
　　解下列不等式:
(1)≥0;(2)<3.
探究2：不等式恒成立问题
情境设置
问题1:若一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R,则二次函数y=ax2+bx+c的图象是怎样的
问题2:若一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,则a,b,c应满足什么关系
新知生成
一般地,“不等式ax2+bx+c>0在{x|x1≤x≤x2}上恒成立”的几何意义是函数y=ax2+bx+c在{x|x1≤x≤x2}上的图象全部在x轴上方.{x|x1≤x≤x2}是不等式ax2+bx+c>0的解集的子集.
令y=ax2+bx+c,恒成立的不等式问题通常转化为函数的最值问题,即k≥y恒成立 k≥ymax;k≤y恒成立 k≤ymin.
新知运用
例2　对于一切实数x,mx2-mx-1<0恒成立,求实数m的取值范围.
方法指导　分类讨论,联想二次函数的图象进行求解.
【方法总结】对于含参数的二次函数在给定范围内的函数值恒大(小)于或等于零的问题,可以利用函数的图象与性质求解,也可以分离变量,转化为二次函数的最值问题求解.
巩固训练
　　已知不等式x2+2x+a2-3>0的解集为R,求实数a的取值范围.
探究3：一元二次不等式在给定区间上的恒(能)成立问题
例3　(1)当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围.
(2)当10有解,求实数m的取值范围.
【方法总结】结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴,端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解.也可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
巩固训练
已知函数y=x2+mx-1.
(1)若对于任意的x∈[m,m+1],都有y<0成立,求实数m的取值范围;
(2)若关于x的不等式x2+mx-1≤有解,求实数m的取值范围.
【随堂检测】
1.不等式<0的解集为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x|x>1} B.{x|x<-2}
C.{x|-21}
2.若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=,则A∩B=(　　).
A.{x|-1≤x<0}　　　　　 B.{x|0C.{x|0≤x<2} D.{x|0≤x≤1}
3.设x2-2x+a-8≤0对于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
4.若ax2+2x+2>0对一切x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
22.3.1 课时2 一元二次不等式及其解法(二)
【学习目标】
1.会解简单的分式不等式.(数学运算)
2.会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.如何判断二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的位置关系
【答案】二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac的三种取值情况来确定.当Δ>0时,二次函数图象与x轴有两个交点;当Δ=0时,二次函数图象与x轴有一个交点;当Δ<0时,二次函数图象与x轴无交点.
2.若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R,则实数a应满足什么条件
【答案】结合二次函数图象可知,若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R,则解得a∈ ,所以不存在a使不等式ax2+x-1>0的解集为R.
3.不等式 <0与(x-3)(x+2)<0的解集相同吗
【答案】相同.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)不等式>1的解集是{x|x<1}. (　　)
(2)若a<0,则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0有解的充要条件是Δ=b2-4ac≥0. (　　)
【答案】 (1)×　(2)√
2.不等式≥0的解集为　　　　.
【答案】{x|-1≤x<1}
【解析】≥0 解得-1≤x<1.
3.已知不等式x2+x+k>0恒成立,则实数k的取值范围为　　　　.
【答案】kk>
【解析】由题意知Δ<0,即1-4k<0,
得k>,即实数k的取值范围为kk>.
【合作探究】
探究1：分式不等式的解法
情境设置
问题1:已知函数y=x2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标分别是2,3,则不等式x2+bx+c≥0的解集是什么
【答案】不等式x2+bx+c≥0的解集是{x|x≤2或x≥3}.
问题2:>0与(x-3)(x+2)>0等价吗 将>0变形为(x-3)(x+2)>0,有什么好处
【答案】等价,好处是将不熟悉的分式不等式化为已经熟悉的一元二次不等式.
新知生成
1.解分式不等式时,要注意先移项,使右边化为零,再注意含等号的分式不等式的分母不为零.
2.分式不等式的4种形式及解题思路
令y1=a1x+b1,y2=a2x+b2,
(1)>0 y1y2>0;
(2)<0 y1y2<0;
(3)≥0 y1y2≥0且y2≠0 y1y2>0或y1=0;
(4)≤0 y1y2≤0且y2≠0 y1y2<0或y1=0.
3.不等式与不等式组的等价关系
(1)y1y2≥0 或
(2)y1y2≤0 或
(3)y1y2>0 或
(4)y1y2<0 或
新知运用
例1　解下列不等式:
(1)<0;(2)≤1.
方法指导　将分式不等式转化为一元二次不等式求解.
【解析】(1)<0 (2x-5)(x+4)<0 -4∴原不等式的解集为.
(2)∵≤1,∴-1≤0,
∴≤0,即≥0.
此不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0,解得x<或x≥4,
　　∴原不等式的解集为.
【方法总结】1.对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.
2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零的不等式,然后用上述方法求解.
巩固训练
　　解下列不等式:
(1)≥0;(2)<3.
【解析】(1)根据商的符号法则,不等式≥0可转化成不等式组解得x≤-1或x>3.
故原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}.
(2)不等式<3可改写为-3<0,即<0.
可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,
解得-1所以原不等式的解集为{x|-1探究2：不等式恒成立问题
情境设置
问题1:若一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R,则二次函数y=ax2+bx+c的图象是怎样的
【答案】二次函数y=ax2+bx+c的图象有两种情况,如图所示.
问题2:若一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,则a,b,c应满足什么关系
【答案】a<0且Δ=b2-4ac≤0.
新知生成
一般地,“不等式ax2+bx+c>0在{x|x1≤x≤x2}上恒成立”的几何意义是函数y=ax2+bx+c在{x|x1≤x≤x2}上的图象全部在x轴上方.{x|x1≤x≤x2}是不等式ax2+bx+c>0的解集的子集.
令y=ax2+bx+c,恒成立的不等式问题通常转化为函数的最值问题,即k≥y恒成立 k≥ymax;k≤y恒成立 k≤ymin.
新知运用
例2　对于一切实数x,mx2-mx-1<0恒成立,求实数m的取值范围.
方法指导　分类讨论,联想二次函数的图象进行求解.
【解析】 已知mx2-mx-1<0恒成立,
若m=0,显然-1<0,满足题意;
若m≠0,则即-4综上所述,实数m的取值范围为-4【方法总结】对于含参数的二次函数在给定范围内的函数值恒大(小)于或等于零的问题,可以利用函数的图象与性质求解,也可以分离变量,转化为二次函数的最值问题求解.
巩固训练
　　已知不等式x2+2x+a2-3>0的解集为R,求实数a的取值范围.
【解析】(法一)∵不等式x2+2x+a2-3>0的解集为R,
∴函数y=x2+2x+a2-3的图象应在x轴上方,
∴Δ=4-4(a2-3)<0,
解得a>2或a<-2.
(法二)由x2+2x+a2-3>0,得a2>-x2-2x+3,
即a2>-(x+1)2+4,要使该不等式在R上恒成立,必须使a2大于-(x+1)2+4的最大值,即a2>4,故a>2或a<-2.
探究3：一元二次不等式在给定区间上的恒(能)成立问题
例3　(1)当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围.
(2)当10有解,求实数m的取值范围.
【解析】(1)令y=x2+mx+4.∵当1≤x≤2时,y<0恒成立,
∴x2+mx+4=0的根一个小于1,另一个大于2.
如图,得
解得m<-5,故实数m的取值范围是(-∞,-5).
(2)(法一)当10有解的反面为
当1∴解得m≤-5.
∴当10有解的m的取值范围为(-5,+∞).
(法二)此题也可转化为mx>-x2-4,即m>-x-=-x+在1即 x∈(1,2),使m>-x+成立.
令y=-x+,只需求y在(1,2)上的最小值即可,
显然x=1时,ymin=-5,∴m>-5,
即实数m的取值范围为(-5,+∞).
【方法总结】结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴,端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解.也可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
巩固训练
已知函数y=x2+mx-1.
(1)若对于任意的x∈[m,m+1],都有y<0成立,求实数m的取值范围;
(2)若关于x的不等式x2+mx-1≤有解,求实数m的取值范围.
【解析】(1)由题意得即解得-所以实数m的取值范围是-,0.
(2)(法一)由题意得≥(x2+mx-1)min=-2+m--1=--1,解得m≤-4或m≥-1,所以实数m的取值范围是(-∞,-4]∪[-1,+∞).
(法二)由题意得x2+mx-1-≤0有解,所以Δ≥0,即m2+5m+4≥0,解得m≤-4或m≥-1,所以实数m的取值范围是(-∞,-4]∪[-1,+∞).
【随堂检测】
1.不等式<0的解集为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x|x>1} B.{x|x<-2}
C.{x|-21}
【答案】C
【解析】由题可得(x-1)(x+2)<0,解得-22.若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=,则A∩B=(　　).
A.{x|-1≤x<0}　　　　　 B.{x|0C.{x|0≤x<2} D.{x|0≤x≤1}
【答案】B
【解析】由题意得A={x|-1≤x≤1},B={x|0∴A∩B={x|03.设x2-2x+a-8≤0对于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
【答案】{a|a≤5}
【解析】原不等式x2-2x+a-8≤0转化为a≤-x2+2x+8对任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立,设y=-x2+2x+8,易知y在{x|1≤x≤3}上的最小值为5,所以a≤5.
4.若ax2+2x+2>0对一切x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】若a=0,显然2x+2>0不能对一切x∈R都成立.
所以a≠0,故只有当二次函数y=ax2+2x+2的图象与x轴无交点且开口向上时,才满足题意,则解得a>.
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