资源简介

2.3.2　一元二次不等式的应用
【学习目标】
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程,理解一元二次不等式的现实意义.(数学建模)
2.能使用分离参数法、主参换位法和数形结合法解决“不等式恒成立、能成立”的问题.(数学运算)
【合作探究】
探究1：一元二次不等式的实际应用
例1　某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个,出厂价为60元/个,日销售量为1000个.为适应市场需求,计划提高蛋糕档次,适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0(1)为使日利润有所增加,求x的取值范围;
(2)当每个蛋糕成本增加的百分率为多少时,日利润最大,并求出最大日利润.
【解析】(1)由题意知,日利润为y=[60(1+0.5x)-40(1+x)]×1000(1+0.8x)=2000(-4x2+3x+10)(0若要日利润有所增加,则y-(60-40)×1000>0,
即-4x2+3x>0,解得0(2)由(1)知日利润为y=2000(-4x2+3x+10)=2000-4x-2+=-8000x-2+21125,
当x=时,日利润最大,最大日利润是21125元.
【方法总结】一元二次不等式应用题常以二次函数为模型,解题时要弄清题意,准确找出其中的不等关系,再利用一元二次不等式求解,确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.
巩固训练
设某企业每月生产电机x台,根据企业月度报表数据,每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足下列关系:m=x-,n=-x2+5x+.当m-n≥0时,该企业称为不亏损企业;当m-n<0时,该企业称为亏损企业,且n-m为亏损额.
(1)企业要成为不亏损企业,每月至少要生产多少台电机
(2)当月总产值为多少时,企业亏损最严重,最大亏损额为多少
【解析】(1)依题意,m-n≥0,即x-≥-x2+5x+,
整理得x2-2x-8≥0,解得x≥4或x≤-2(舍去),
∴企业要成为不亏损企业,每月至少要生产4台电机.
(2)由(1)可知当0亏损额n-m=-x2+5x+-x-=-(x-1)2+,
∴当x=1时,n-m取最大值,最大值为,
此时m=×1-=,
即当月总产值为万元时,企业亏损最严重,最大亏损额为万元.
探究2：一元二次不等式与基本不等式的实际应用
例2　某企业有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元,为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,从原有的员工中调整出x(x∈N+)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10(a-0.8x%)万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业
(2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下,若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少
【解析】(1)由题意,得10(1000-x)(1+0.4x%)≥10×1000,
即x2-750x≤0,又x>0,所以0即最多调整出750名员工从事第三产业.
(2)从事第三产业的员工创造的年利润为10a-x万元,
从事原来产业的员工的年总利润为10(1000-x)1+x万元,
则10a-x≤10(1000-x)1+x,
所以ax-≤1000+4x-x-x2,
所以ax≤+1000+3x,
即a≤++3在x∈(0,750]时恒成立.
因为+≥2=2=4,当且仅当=,即x=500时等号成立,所以a≤7.
又a>0,所以0　　所以a的取值范围为(0,7].
巩固训练
共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析,每辆单车的营运累计利润y(单位:元)与营运天数x(x∈N+)满足函数关系式y=-x2+60x-800.
(1)要使每辆单车的营运累计利润高于800元,则营运天数的取值范围是多少
(2)每辆单车营运多少天时,每天的平均营运利润的值最大
【解析】(1)要使每辆单车的营运累计收入高于800元,令-x2+60x-800>800,解得40所以营运天数的取值范围为40天到80天.
(2)=-x-+60≤-2+60=-2+60=20,
当且仅当x=时等号成立,解得x=40,
所以每辆单车营运40天时,每天的平均营运利润最大,最大为每天20元.
【随堂检测】
1.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系:y=-2x2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上,则它在一个星期内大约应该生产的摩托车数量为　　　　.
【答案】51辆到59辆之间
【解析】由题意得-2x2+220x>6000,
即x2-110x+3000<0,因为Δ=100>0,所以方程x2-110x+3000=0有x1=50,x2=60两个实数根,
所以不等式的解为50因为x只能取整数,所以当这条摩托车整车装配流水线在一星期内生产的摩托车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂能够获得6000元以上的收益.
2.某种衬衫进货价为每件30元,若以40元一件出售,则每天能卖出40件;若每件提价1元,则每天卖出的件数将减少1件.为使每天出售衬衫的净收入不低于525元,则每件衬衫的售价的取值范围是　　　　.(结果用区间表示)
【答案】[45,65]
【解析】设每件衬衫提价x元,则每件衬衫的售价为(40+x)元,
故每天出售衬衫的净收入为y=(40+x-30)(40-x)=-(x-15)2+625.
由题可知,-(x-15)2+625≥525,整理得(x-25)(x-5)≤0,解得5≤x≤25,
∴45≤40+x≤65,
∴每件衬衫的售价的取值范围是[45,65].
3.为振兴乡村发展,提高农民收入,政府现将无息贷款10万元给农户养羊,每万元可创造利润0.15万元.若进行技术指导,养羊的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.25x)倍.现将养羊少投资的x万元全部投资网店,进行农产品销售,则每万元创造的利润为0.15(a-0.875x)万元,其中a>0.
(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润,求x的取值范围;
(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润,求a的最大值.
【解析】(1)由题意,得0.15(1+0.25x)(10-x)≥0.15×10,
整理得x2-6x≤0,解得0≤x≤6,又x>0,故x的取值范围是(0,6].
(2)由题意知网店销售的利润为0.15(a-0.875x)x万元,
技术指导后,养羊的利润为0.15(1+0.25x)(10-x)万元,
则0.15(a-0.875x)x≤0.15(1+0.25x)(10-x)恒成立,
又0又+≥2=5,当且仅当x=4时等号成立,
∴022.3.2　一元二次不等式的应用
【学习目标】
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程,理解一元二次不等式的现实意义.(数学建模)
2.能使用分离参数法、主参换位法和数形结合法解决“不等式恒成立、能成立”的问题.(数学运算)
【合作探究】
探究1：一元二次不等式的实际应用
例1　某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个,出厂价为60元/个,日销售量为1000个.为适应市场需求,计划提高蛋糕档次,适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0(1)为使日利润有所增加,求x的取值范围;
(2)当每个蛋糕成本增加的百分率为多少时,日利润最大,并求出最大日利润.
【方法总结】一元二次不等式应用题常以二次函数为模型,解题时要弄清题意,准确找出其中的不等关系,再利用一元二次不等式求解,确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.
巩固训练
设某企业每月生产电机x台,根据企业月度报表数据,每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足下列关系:m=x-,n=-x2+5x+.当m-n≥0时,该企业称为不亏损企业;当m-n<0时,该企业称为亏损企业,且n-m为亏损额.
(1)企业要成为不亏损企业,每月至少要生产多少台电机
(2)当月总产值为多少时,企业亏损最严重,最大亏损额为多少
探究2：一元二次不等式与基本不等式的实际应用
例2　某企业有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元,为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,从原有的员工中调整出x(x∈N+)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10(a-0.8x%)万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业
(2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下,若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少
巩固训练
共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析,每辆单车的营运累计利润y(单位:元)与营运天数x(x∈N+)满足函数关系式y=-x2+60x-800.
(1)要使每辆单车的营运累计利润高于800元,则营运天数的取值范围是多少
(2)每辆单车营运多少天时,每天的平均营运利润的值最大
【随堂检测】
1.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系:y=-2x2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上,则它在一个星期内大约应该生产的摩托车数量为　　　　.
2.某种衬衫进货价为每件30元,若以40元一件出售,则每天能卖出40件;若每件提价1元,则每天卖出的件数将减少1件.为使每天出售衬衫的净收入不低于525元,则每件衬衫的售价的取值范围是　　　　.(结果用区间表示)
3.为振兴乡村发展,提高农民收入,政府现将无息贷款10万元给农户养羊,每万元可创造利润0.15万元.若进行技术指导,养羊的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.25x)倍.现将养羊少投资的x万元全部投资网店,进行农产品销售,则每万元创造的利润为0.15(a-0.875x)万元,其中a>0.
(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润,求x的取值范围;
(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润,求a的最大值.
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