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管理统计学
3 参数估计
3.1 基本原理
3.2 点估计
3.3 区间估计
3.1 基本概念
估计量与估计值
抽样估计/参数估计：用样本统计量估计总体参数的特征值
估计量：用来估计总体参数的统计量名称
估计值：用来估计总体参数，是计算出来的估计量的具体数值
科学的抽样估计方法
要有合适的统计量作为估计量
要有合理的允许误差范围
要有一个可接受的置信度
3.1 基本原理
统计估计值关系式
参数估计方法
点估计
区间估计
样本数据所估计
估计值
+
参数
方法偏差
抽样误差
=
+
总体真正的特性
不当抽样所造成
抽样对象不同所造成
3.2.1 点估计的概念
点估计是以样本统计量作为相应总体参数的估计量
例如：用样本均值 直接作为总体均值 的估计值
点估计的优点
能够提供总体参数的具体估计值，可以作为行动决策的数量依据
点估计的不足
任何点估计不是对就是错，并不能提供误差情况如何、误差程度有多大的信息
3.2.2 点估计的优良性标准
无偏性
设总体的参数为 ，其估计量为 ，如果 即估计量 的数学期望等于被估计的总体参数，我们称估计量 是参数 的无偏估计量
样本平均数是总体平均数的无偏估计量
无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求
无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差
点估计的优良标准（续）
相合性/一致性
设 是参数 估计量，若对于任意的 ，当 时 依概率收敛于 ，则称 为 的相合估计量
对任意 有，
有效性
设 和 都是参数的无偏估计量，若对任意 ， ，且至少对于
某个 上式中的不等号成立，则称 较 有效
矩法
矩估计法：英国统计学家K.皮尔逊最早提出
由辛钦定理 ,若总体 的数学期望 有限,则有
矩法的定义
用样本原点矩估计相应的总体原点矩
用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的连续函数
矩法的优点
简单易行，并不需要事先知道总体是什么分布
矩法的缺点
当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息；一般场合下，矩估计量不具有唯一性
其中 为连续函数
矩法的具体步骤
设总体的分布函数中含有k个未知参数 那么它的前k阶矩 ，
从这 k 个方程中解出
用诸 的估计量 分别代替上式中的诸
可得诸 的矩估计量：
矩估计量的观察值为矩估计值
例3.1 矩法估计例题
设总体 ， 为总体的样本，求 ， 的矩法估计量。
解：
例3.2 灯泡平均寿命分析
设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时)1050，1100，1080，1120，1200，1250，1040，1130，1300，1200。试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差。
解：
极大似然估计的基本概念
一种在总体类型已知条件下使用的参数估计方法
首先是由德国数学家高斯在1821年提出的，费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质
原理
如果一个随机试验有若干种可能的条件，若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利
在试验的诸多可能条件中，认为使事件A发生的概率最大的那种条件成立
极大似然估计的基本概念（续）
似然函数
设 是取自总体 的一个样本
样本的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为
当给定样本 时，定义似然函数为：
是样本的观察值
极大似然估计法
用使 达到最大值的 去估计
求极大似然估计的一般步骤
写出似然函数
对似然函数取对数，并整理
求导数
解似然方程
称 为 的最大似然估计值
称为 的最大似然估计量
例3.4 极大似然估计例题
设总体X服从N( ， )，是X 的样本值，求 ， 的极大似然估计
解：
似然方程为：
，S2的极大似然估计量分别为 ，
，
频次分析模块
Analyz→Descriptive Statistics → Frequencies Statistics
均值
中位数
众数
样本数据值总和
数据分布的斜度
数据分布的峰度
最大值与最小值之差
标准差
方差
均值标准差
最大值
最小值
计算四分点
按顺序分组
设置指定的百分点
频次分析模块（续）
Statistics
净重
N Valid 100
Missing 0
Mean 343.76
Std. Deviation 4.130
Variance 17.053
从100个样本中推断总体的净重均值为343.76g，方差为17.053
从100个样本中推断总体的净重均值为343.76g，方差为17.053
从100个样本中推断总体的净重均值为343.76g，方差为17.053
样本方差
样本均值
描述统计模块
Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives→Options
标准差
均值
方差
Descriptive Statistics
N Mean Std. Deviation Variance
净重 100 343.76 4.130 17.053
Valid N (listwise) 100
净重均值、方差估计值，结果同Statistics表
标准差
均值
方差
标准差
均值
净重均值、方差估计值，结果同Statistics表
方差
标准差
均值
标准差
均值
标准差
均值
方差
标准差
均值
3.3 区间估计
用一个区间去估计未知参数， 即把未知参数值估计在某两界限之间
设 是来自密度 的样本
对给定的 ，如能找到两个统计量 及 ，使得
是置信度，置信度也称为置信概率
是置信度为 的θ的置信区间
称为显著性水平（Significance Level）
。
置信区间
区间示意图
置信区间表达了区间估计的精确度，置信概率表达了区间估计的可靠性，它是区间估计的可靠概率；而显著性水平表达了区间估计的不可靠的概率
可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度
3.3.1 总体方差 已知时，总体均值 的估计
， 为来自总体的样本
样本均值 服从数学期望为μ、方差为 /n的正态分布，即
当 已知时，
可得到1-α置信度下，μ的置信区间为
置信区间的宽度为：
例3.6 零件直径问题
已知某零件的直径服从正态分布，从该批产品中随机抽取10件，测得平均直径为202.5mm，已知总体标准差σ=2.5mm，试建立该种零件平均直径的置信区间，给定置信度为0.95。
解：已知 ， =202.5mm，n=10， =0.95，查标准正态分布表，得 =1.96，所以在 置信度下， 的置信区间为
即［202.5-1.96×2.5/ ，202.5+1.96×2.5/ ］，计算结果为：［200.95，204.05］
3.3.2 总体方差 未知时，总体均值 的估计
n≥30时
通常用样本方差 来估计，只需将 中的σ用S 近似代替即可
n<30时
即1-α置信度下，μ的置信区间为
例3.7 大学生平均完成作业时间
某大学从该校学生中随机抽取100人，调查到他们平均每人每天完成作业的时间为120分钟，样本标准差为30分钟，试以95%的置信水平估计该大学平均每天完成作业时间。
解： 根据题意可知：
=120，S=30，n=100且 =0.95， =1.96
故在95%的置信度下， 的置信区间为
即［120-1.96×30/10，120+1.96×30/10］，计算结果为：［114.12，125.88］
3.3.3 总体方差的区间估计
由于当总体为正态分布时，
其中
所以在1-α置信度下， 的置信区间为
3.3.4 总体比率的区间估计
总体比率
总体比率： p=M/N
设 N为总体容量，M 为具有某种特点（性质）的元素数
样本比率
样本比率：
从N中抽取n个为样本，其中具有某种特点的元素数为X（X=0，1，…，n ）
3.3.4 总体比率的区间估计
给定置信度为1-α时 ，有
总体比例p在1- 置信水平下的置信区间为
（ 未知时）
例3.9 城市下岗女职工比例
某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间。
解：已知n=100，p＝65%，1- =95%， =1.96
故该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%～74.35%
3.3.5 区间估计的SPSS应用
Analyze→Descriptive Statistics→Explore→Statistics
输出均数、中位数、众数、标准误、方差等
置信区间，默认为95%
中心趋势的最大似然确定
输出五个最大值与五个最小值
输出分位数
输出五个最大值与五个最小值
输出分位数
Statistic Std. Error
灯泡寿命 Mean 1490.0000 6.19139
95% Confidence Interval for Mean Lower Bound 1476.8034
Upper Bound 1503.1966
5% Trimmed Mean 1490.0000
Median 1485.0000
Variance 613.333
Std. Deviation 24.76557
Minimum 1450.00
Maximum 1530.00
Range 80.00
Interquartile Range 40.0000
Skewness .030 .564
Kurtosis -1.272 1.091
样本
标准差
样本均值
置信区间为
[1476.8034，1503.1966]

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