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管理统计学
6 正交试验
6.1 正交试验设计的基本概念
6.2 正交表
6.3 正交试验的操作方法
6.4 极差分析法
6.1 正交试验设计的基本概念
6.1.1 正交试验基本概念
6.1.2 正交试验一般步骤
6.1.3 正交试验设计方法
6.1.1 正交试验基本概念
正交试验：是研究与处理多因素实验的一种科学方法，是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法
常用术语：
试验指标：作为试验研究过程的因变量，常为试验结果特征的量（如得率、纯度等）
因素：作试验研究过程的自变量，常常是造成试验指标按某种规律发生变化的那些原因（如温度、压力、原料配比的用量等）
水平（等级）：试验中因素所处的具体状态或情况
6.1.2 正交试验一般步骤
根据科研和生产实际需要，选择研究课题，明确试验目的，确定考核指标
挑选因素，确定水平，制定因素水平表
选用合适的正交表，确定试验方案
严格按试验条件操作，准确测定试验结果
分析试验结果，通过“直接看”和“算一算”确定最优方案
6.1.3 正交试验设计方法
正交试验设置是利用现成的表——正交表进行科学的安排试验
基本思路：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况
优点：在很多试验方案中挑选出代表性较强的少数试验方案，通过对这少数试验方案试验结果的统计分析，推断出最优方案，同时进一步分析
适用范围：多因素多水平试验
正交试验设计方法（续）
缺陷：交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂
特点
合理安排试验，减少试验次数
在众多影响因素中，分清因素主次，抓住主要矛盾
正交试验设计是掌握各影响因素与产品质量指标之间关系的有效手段，为生产过程的质量控制提供有利的条件
找出最优的设计参数和工艺条件
6.2 正交表
正交表（Lp(nm) ）
用于安排多因素试验的一种特殊的表格
L：正交表；p：试验的次数；n：因素的水平数； m：表中的列数，即最多可安排的因素数
正交表特点（正交性）
在每一列中，各个不同的数字出现的次数相同
表中任意两列并列在一起形成若干个数字对，不同数字对出现的次数也都相同
因素T、P间有交互作用（T×P）
因素T的数值和水平发生变化时，试验指标随因素p变化的规律也发生变化
因素p的数值和水平发生变化时，试验指标随因素T变化的规律也发生变化
6.2.1 各列水平数均相同的正交表
单一水平正交表
各列水平均为2的常用正交表
L4（23），L8（27），L12（211），
L16（215），L20（219），L32（231）
各列水平数均为3的常用正交表
L9（34），L27（313）
各列水平数均为4的常用正交表：L16（45）
各列水平数均为3的常用正交表：L25（56）
6.2.2 混合水平正交表
混合水平正交表 ：各列水平数不相同的正交表
L8（41×24）常简写为L8（4×24），此混合水平正交表含有1个4水平列，4个2水平列，共有1＋4＝5列
6.2.3 选择正交表的基本原则
先看水平数
若各因素全是n水平，就选用L(n＊)表；若各因素的水平数不相同，就选择适用的混合水平表
每一个交互作用在正交表中占一列或二列
还要留一个空白列对试验结果进行方差分析或回归分析， “误差”列在极差分析中要作为“其他因素”列处理
要看试验精度的要求
要求高，宜取实验次数多的L表
选择正交表的基本原则（续）
试验费用昂贵/有限/人力和时间都比较紧张，不宜选实验次数太多的L表
按原来考虑的因素、水平和交互作用去选择正交表，无正好适用的正交表可选时，适当修改原定的水平数
对某因素或某交互作用的影响是否确实存在没有把握的情况下，条件许可时尽量选用大表，让影响可能性较大的因素和交互作用各占适当的列
某因素或某交互作用的影响是否真的存在，留到方差分析进行显著性检验时再做结论
6.3 正交试验的操作方法
分区组
对于一批试验，为了防止因多台机器或多种原料引起的误差干扰试验的分析，可在实验开始之前，用L表中未排因素和交互作用的一个空白列来安排机器或原料，同样，若试验指标的检验需要几个人来做，可在L表中用一空白列来安排
因素水平表排列顺序的随机化 （抽签或查随机数表）
正交试验的操作方法（续）
试验进行的次序没必要完全按照正交表上试验号码的顺序 （抽签）
确定每一个实验的实验条件时，只考虑所确定的几个因素和分区组该如何取值，不要考虑交互作用列和误差列怎么办的问题
做实验时，要力求严格控制实验条件
6.4 极差分析法
6.4.1 单指标正交试验
6.4.2 多指标正交试验
6.4.3 水平数不等的正交试验
6.4.1 单指标正交实验
考核指标是在试验设计中，根据试验目的而选定的用来衡量是试验效果的量值（指标）
考核指标可以是一个，也可以是多个，前者称为单指标正交试验，后者称为多指标正交试验
例 电机生产工艺优选问题
某企业生产一种标准电机，目前遇到的主要问题是电机的叠压偏差量偏高，该企业希望通过试验、优选找出好的生产工艺，以降低电机的叠压偏差
仅用电机叠压偏差量高低这一指标来衡量电机的好坏，这类问题称为单指标正交试验问题
优选过程（待续）
明确试验目的，确定考核指标
目的为寻找生产标准电机的好生产工艺；考核指标为电机的叠压偏差量
确定因素及其水平数
通过对电机整个生产过程的详细分析，结合电机专业技术知识和经验，选定影响生产电机叠压偏差量的主要因素有：A——硅钢片厚度（mm），B——漆膜厚度(mm)，C——毛刺高度(mm)，D——工装类型
优选过程（待续）
各因素合理试验点（水平）表
选用正交表，安排试验计划
根据因素和水平个数的不同，选用不同的正交表不考虑因素间的交互作用本例可选用L9（34），从81个生产工艺中选择9个典型工艺进行试验
进行试验，得到试验结果
因素水平 A B C D
1 >0.05+0.01 0.025 0.003 >0.08 I型
2 0.05 0.01 >0.025+0.003 0.04～0.08 II型
3 <0.05-0.01 <0.025-0.003 <0.04 III型
优选过程（待续）
各因素不同水平下的试验结果
因素试验号 A B C D 叠压偏差量mm
1 1 1 1 1 2.2
2 2 1 2 2 4.3
3 3 1 3 3 2.9
4 1 2 2 3 6.1
5 2 2 3 1 1.8
6 3 2 1 2 3.5
7 1 3 3 2 2.6
8 2 3 1 3 4.2
9 3 3 2 1 4.0
优选过程（待续）
分析试验结果
直接从9个试验结果可以看出，5号试验（A2B2C3D1）生产的电机叠压偏差量最低，但还不能由此断定A2B2C3D1就是所寻找的最佳生产工艺，还需给出进一步的分析结果
因素 A B C D
k1j (2.2+6.1+2.6)/3=3.63 3.13 3.30 2.67
k2j 3.43 3.80 4.80 3.47
k3j 3.47 3.60 2.43 4.40
极差Rj 0.20 0.67 2.37 1.73
较好水平 A2 B1 C3 D1
因素主次 4 3 1 2
优选过程（续）
做验证试验，确定最优方案
四因素的主次顺序为C D B A，较好水平分别为C3、D1、B1、A2，可能的较优方案为A2B1C3D1
由于可能的较优方案A2B1C3D1不在已做的9个试验中，但在最主要的两个因素C、D的水平上与已做的5号试验工艺A2B2C3D1相同，在对试验精度要求不高的时候，可将5号试验工艺作为近似最佳工艺加以推广使用
若对试验精度要求很高，则需根据可能的较优方案A2B1C3D1做验证试验，将试验所得电机的叠压偏差量结果与5号试验电机的1.8mm叠压偏差量进行比较，谁的叠压偏差量小，其对应的就是最佳生产工艺
例 化工试剂生产工艺优选问题
某化工厂生产一种试剂
问题：试剂的收率太低
影响该试剂收率的主要因素与水平（右上表）
各因素不同水平下的试验结果(右下表)
试分析试验结果
因素水平 反应温度
A（oC） 反应时间B(h) 搅拌
速度 C
1 30 2 中
2 50 1 慢
3 40 1.5 快
因素
试验号 A B C 收率(%)
1 1 1 1 1 60
2 1 2 2 2 80
3 1 3 3 3 75
4 2 1 2 3 82
5 2 2 3 1 81
6 2 3 1 2 79
7 3 1 3 2 85
8 3 2 1 3 90
9 3 3 2 1 86
优选过程
明确试验目的，确定考核指标
寻找生产某种试剂的好生产工艺以提高其收率,考核指标为试剂的收率
确定因素及其水平数
选用正交表，安排试验计划
根据因素和水平个数的不同，选不同的正交表不考虑因素间的交互作用本例可选用L9（34）,从81个生产工艺中选择9个典型工艺进行试验
进行试验
优选过程（待续）
分析试验结果
直接从9个试验结果可以看出，8号试验（A2B3C1）生产的试剂收率最高，但还不能由此断定A2B3C1就是所寻找的最佳生产工艺，还需给出进一步的分析结果
因素 A B C
k1j 71.67 75.67 76.33
k2j 80.67 83.67 82.67
k3j 87.00 80.00 80.33
极差Rj 15.33 8.00 6.34
较好水平 A3 B2 C2
因素主次 1 2 3
优选过程（续）
对于本问题来说，各因素对应指标平均值最大的水平为该因素的较好水平
做验证试验，确定最优方案
三因素的主次顺序为 A B C，较好水平分别为A3、B2、C2，可能的较优方案为A3B2C2，A3B2C2不在已做的9个试验中，但在最主要的因素A、B的水平上与已做的8号试验工艺A3B2C1相同
对试验精度要求不高时，8号试验工艺可以作为近似最佳工艺加以推广使用；若对试验精度要求很高，需根据可能的较优方案A3B2C2做验证试验，将试验所得试剂的收率结果与8号试验试剂的90%收率进行比较，收率高者对应的就是最佳生产工艺
6.4.2 多指标正交试验
某矿用精矿粉生产球团，目前遇到球团抗压强度和落下强度低、裂纹度高等质量问题
优选出生产球团的好工艺，以提高球团的抗压强度和落下强度、降低其裂纹度
优选过程
明确试验目的，确定考核指标
寻找生产精矿粉球团的好生产工艺；考核指标为精矿粉球团的抗压强度、落下强度和裂纹度
确定因素及其水平数
通过对精矿粉球团整个生产过程的详细分析和对精矿粉性能指标的详细了解，选定影响精矿粉球团质量的主要因素及各因素的合理试验点（水平）
因素水平 A水分(%) B粒度(%) C碱度(%) D 膨润土(%)
1 9 30 1.2 1.0
2 10 60 1.4 1.5
3 8 80 1.6 2.0
优选过程（待续）
选用正交表，安排试验计划
根据因素和水平个数不同，选用不同的正交表不考虑因素间的交互作用可选用L9（34），从81个生产工艺中选择9个典型工艺进行试验
进行试验，试验结果见下页表
试验结束后，请专家综合球团抗压强度、落下强度和裂纹度三指标给各试验工艺下生产出来的球团质量一个综合评分，进而将多指标正交试验问题转化为单指标正交试验问题求解，最佳生产工艺的确定对综合评分十分灵敏，因此，综合评分过程要十分慎重
优选过程（待续）
试验结果表
因素试验号 A B C D 考核指标 综合评分
抗压强度
(kg/个) 落下强度(0.5m/次) 裂纹度
1 1 1 1 1 11.3 1.0 2 65
2 1 2 2 2 4.4 3.5 3 50
3 1 3 3 3 10.8 4.5 3 60
4 2 1 2 3 7.0 1.0 2 55
5 2 2 3 1 7.8 1.5 1 65
6 2 3 1 2 23.6 15.0 0 100
7 3 1 3 2 9.0 1.0 2 60
8 3 2 1 3 8.0 4.5 1 70
9 3 3 2 1 13.2 20.0 0 95
优选过程（待续）
分析试验结果
直接从9个试验结果可以看出，6号试验（A2B3C1D2）生产的精矿粉球团综合评分最高，但还不能由此断定A2B3C1D2就是所寻找的最佳生产工艺，还需给出进一步的分析结果
因素 A B C D
k1j 58.3 60.0 78.3 75.0
k2j 73.3 61.7 66.7 70
k3j 75.0 85.0 61.7 61.7
极差Rj 16.7 25.0 16.6 13.3
较好水平 A3 B3 C2 D1
因素主次 2 1 3 4
优选过程（续）
对于本问题来说，各因素对应指标平均值最大的水平为该因素的较好水平
做验证试验，确定最优方案
由分析可见：四因素的主次顺序为B A C D，它们的较好水平分别为B3、A3、C2、D1，可能的较优方案为A3B3C2D1；由于可能的较优方案A3B3C2D1不在已做的9个试验中，尚需根据可能的较优方案A3B3C2D1做验证试验
将试验所得精矿粉球团的抗压强度、落下强度和裂纹度等三项指标与6号试验A2B3C1D2工艺下生产的精矿粉球团相应指标进行比较，综合评分高者对应的就是最佳生产工艺
6.4.3 水平数不等的正交试验
由于受试验条件的的限制使某些因素无法多选试验水平或由于某些因素重要而要多选取几个水平进行试验时就出现了水平数不等的正交试验问题，通常采用的方法为混合型正交表法和拟水平法
拟水平法若没有现成的混合型正交表可供使用，则可将水平数较少的因素虚拟一些水平，然后使用水平数相等的正交表进行试验和分析
例 早稻品种优选试验
某农科站为了提高早稻的产量进行早稻品种试验，通过对土质及早稻整个生产过程的详细分析，选定影响早稻产量的主要因素及各因素的合理试验点（水平），试确定生产高产量早稻的生产工艺
因素水平 A品种 B施氮肥量g/m2 C 氮、磷、钾比例 D 插植规格cm cm
1 P1 15 2：2：1 15 18
2 P2 19 3：2：3 18 18
3 P3
4 P4
优选过程
明确试验目的，确定考核指标
寻找生产高产量早稻的好生产工艺；考核指标为早稻产量
确定因素及其水平数
通过对土质及早稻整个生产过程的详细分析，选定影响早稻产量的主要因素及各因素的合理试验点（水平）
选用正交表，安排试验计划
根据因素和水平个数的不同，选用不同的正交表。由于本例中一个因素是四水平，其余三个因素是二水平，可选用混合正交表 L8（4 24）
优选过程（待续）
混合正交表L8（4 24）
因素试验号
1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2
3 2 1 1 2 2
4 2 2 2 1 1
5 3 1 2 1 2
6 3 2 1 2 1
7 4 1 2 2 1
8 4 2 1 1 2
进行试验
优选过程（待续）
试验结果表
分析试验结果
直接从8个试验结果可以看出，4号试验（A2B2C2D1）生产的早稻产量最高，但还不能由此断定（A2B2C2D1）就是所寻找的最佳生产工艺，还需给出进一步的分析结果
因素试验号 A B C D
1 1 1 1 1 1 19.0
2 1 2 2 2 2 20.0
3 2 1 1 2 2 21.9
4 2 2 2 1 1 22.3
5 3 1 2 1 2 21.0
6 3 2 1 2 1 21.0
7 4 1 2 2 1 18.0
8 4 2 1 1 2 18.2
优选过程（待续）
各因素不同水平下的试验结果进一步分析
– 对于本问题来说，各因素对应指标平均值最大的 水平为该因素的较好水平
因素 A B C D
k1j 19.5 20.0 20.0 20.1
k2j 22.1 20.4 20.3 20.2
k3j 21.0
K4j 18.1
极差Rj 4.0 0.4 0.3 0.1
较好水平 A2 B2 C2 D2
因素主次 1 2 3 4
优选过程（续）
做验证试验，确定最优方案
四因素的主次顺序为A B C D，较好水平分别为A2、B2、C2、D2，可能的较优方案为A2、B2、C2、D2
由于可能的较优方案A2B2C2D2不在已做的8个试验中，但与4号试验A2B2C2D1工艺的区别仅在最不重要的因素D上，且因素D的两个水平相差较小，根据农业生产的实际，可将4号试验A2B2C2D1作为好的生产条件加以推广

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