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第5章 参数估计
第一节 参数估计的一般问题
第二节 一个总体参数的区间估计
第三节 两个总体参数的区间估计
第四节 样本容量的确定
学习目标
估计量与估计值的概念
点估计与区间估计的区别
评价估计量优良性的标准
一个总体参数的区间估计方法
两个总体参数的区间估计方法
样本容量的确定方法
参数估计在统计方法中的地位
参数估计
假设检验
统计方法
描述统计
推断统计
第一节 参数估计的一般问题
一、估计量与估计值
二、参数估计的基本方法
三、评价点估计优良性的标准
估计量：用于估计总体参数的随机变量
如样本均值，样本比率、样本方差等
例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
参数用 表示，估计量用 表示
估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值
如果样本均值 x =78，则78就是 的估计值
估计量与估计值
(estimator & estimated value)
参数估计的方法
估 计 方 法
点 估 计
区间估计
点估计
(point estimate)
用样本的估计量直接作为总体参数的估计值
例如：用样本均值直接作为总体均值的估计
例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计
没有给出估计值接近总体参数程度的信息
点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等
区间估计
(interval estimate)
在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的
根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量
比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
样本统计量 (点估计)
置信区间
置信下限
置信上限
由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间
统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间
用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值
我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个
置信区间
(confidence interval)
置信区间与置信水平
样本均值的抽样分布
(1 - ) % 区间包含了
% 的区间未包含
1 – a
a /2
a /2
无偏性
有效性
一致性
评价估计量优良性的标准
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数
P( )
B
A
无偏
有偏
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
量，有更小标准差的估计量更有效
A
B
的抽样分布
的抽样分布
P( )
一致性
(consistency)
一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数
A
B
较小的样本容量
较大的样本容量
P( )
第二节 一个总体参数的区间估计
一、总体均值的区间估计
二、总体比率的区间估计
三、总体方差的区间估计
一个总体参数的区间估计
总体参数 符号表示 样本统计量
均值
比率
方差
总体均值的区间估计
(大样本)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差( ２) 未知
如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
使用正态分布统计量 z
总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
总体均值的区间估计
(小样本， ２已知)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差( ２) 已知
小样本 (n < 30)
当总体服从正态分布，且方差已知，小样本情形下，总体均值 在1- 置信水平下的置信区间与大样本情形是一致的。
总体均值的区间估计
(小样本， ２未知)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差( ２) 未知
小样本 (n < 30)
使用 t 分布统计量
总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
总体比率的区间估计
1. 假定条件
总体服从二项分布
可以由正态分布来近似
使用正态分布统计量 z
总体比率 在1- 置信水平下的置信区间为
总体方差的区间估计
1. 估计一个总体的方差或标准差
2. 假设总体服从正态分布
总体方差 2 的点估计量为s2,且
4. 总体方差在1- 置信水平下的置信区间为
第三节 两个总体参数的区间估计
一、两个总体均值之差的区间估计
二、两个总体比率之差的区间估计
三、两个总体方差比的区间估计
两个总体参数的区间估计
总体参数 符号表示 样本统计量
均值之差
比率之差
方差比
两个总体均值差的估计
(独立大样本)
1. 假定条件
两个总体都服从正态分布， 1２、 2２已知
若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n1 30和n2 30)
两个样本是独立的随机样本
使用正态分布统计量 z
两个总体均值之差的估计
(大样本)
1. 1２， 2２已知时，两个总体均值之差 1- 2在1- 置信水平下的置信区间为
1２、 2２未知时，两个总体均值之差 1- 2在1- 置信水平下的置信区间为
两个总体均值之差的估计
(独立小样本: 12和 22已知 )
1. 假定条件
两个总体都服从正态分布
两个总体方差已知（ 1２和 2２已知）
两个独立的小样本(n1<30和n2<30)
两个总体均值之差 1- 2在1- 置信水平下的置信区间与大样本情形（且方差已知）是一致的。
两个总体均值之差的估计
(小样本: 12= 22 )
1. 假定条件
两个总体都服从正态分布
两个总体方差未知但相等： 1２= 2２
两个独立的小样本(n1<30和n2<30)
总体方差的合并估计量
估计量 x1- x2的抽样标准差
两个总体均值之差的估计
(小样本: 12= 22 )
两个样本均值之差的标准化
两个总体均值之差 1- 2在1- 置信水平下的置信区间为
两个总体均值之差的估计
(匹配大样本)
假定条件
两个匹配的大样本(n1 30和n2 30)
两个总体各观察值的配对差服从正态分布
两个总体均值之差 d = 1- 2在1- 置信水平下的置信区间为
对应差值的均值
对应差值的标准差
两个总体均值之差的估计
(匹配小样本)
假定条件
两个匹配的大样本(n1< 30和n2 < 30)
两个总体各观察值的配对差服从正态分布
两个总体均值之差 d= 1- 2在1- 置信水平下的置信区间为
1. 假定条件
两个总体服从二项分布
可以用正态分布来近似
两个样本是独立的
2. 两个总体比率之差 1- 2在1- 置信水平下的置信区间为
两个总体比率之差的区间估计
两个总体方差比的区间估计
1. 比较两个总体的方差比
用两个样本的方差比来判断
如果S12/ S22接近于1,说明两个总体方差很接近
如果S12/ S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异
总体方差比在1- 置信水平下的置信区间为
第四节 样本容量的确定
一、估计总体均值时样本容量的确定
二、估计总体比率时样本容量的确定
三、估计总体均值之差时样本容量的确定
四、估计总体比率之差时样本容量的确定
估计总体均值时样本容量n为
样本容量n与总体方差 2、允许误差△、可靠性系数Z或t之间的关系为
与总体方差成正比
与允许误差平方成反比
与可靠性系数平方成正比
估计总体均值时样本容量的确定
（单个总体情形）
其中：
设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2
根据均值之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为
估计两个总体均值之差时
样本容量的确定
其中：
根据比率区间估计公式可得样本容量n为
估计总体比率时样本容量的确定
（单个总体情形）
△的取值一般小于0.1
未知时，可取最大值0.5
其中：
设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2
根据比率之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为
估计两个总体比率之差时
样本容量的确定
其中：
本章小结
参数估计的一般问题
一个总体参数的区间估计
两个总体参数的区间估计
样本容量的确定

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