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第13题 正余弦定理与解三角形小题
（2024·四川泸州·二模）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为＿＿＿＿＿．
由正余弦定理、三角恒等变换→→的最值由基本不等式可得
详解 模板总结
由余弦定理得， 两式相减得， 因为，所以， 由正弦定理得， 即， 所以， 则， 因为在中，不同时为，，故， 所以， 又，所以，则，故，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最大值为. 故答案为：. 1.利用余弦定理时要注意三个公式之间的联系，以及公式的变形，例如本题将余弦定理的两个公式进行作差； 2.利用正弦定理进行边化角或者角化边时，要注意等号左右两边次数相等，例如，若本题中如果出现如下式子，则不能直接将化成； 3.基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等”，特别是等号成立的条件，如果不满足，需要通过其他手段求最值.
三角形中的最值、范围问题解题策略：
（1）定基本量：根据题中条件，利用正余弦定理求出相关边、角，选择边、角作为基本量，并确定基本量的范围；
（2）构建函数：根据正余弦定理或者三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式；
（3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性求函数的最值.
（2024·山东菏泽·一模）
1．四边形ABCD中，，，，设△ABD与△BCD的面积分别为，，则的最大值为 .
（2024·宁夏·一模）
在中，，，点D与点B分别在直线AC的两侧，且，，则BD的长度的最大值是＿＿＿＿＿．
判断为直角三角形，设，→由正余弦定理确定与之间的数量关系→在中，利用余弦定理→辅助角公式得BD范围.
详解 模板总结
如图，在中，由正弦定理： 可得：，因，则，即. 设，则， 在中，设， 由正弦定理，，则得：， 由余弦定理可得：，即. 在中，由余弦定理，， 因，则，则当时，即时，，此时. 故答案为：. 1.在三角形中，条件为边角混合结构，并且不容易直接找出边角关系时，可以同时设边和角，利用正余弦定理将边角化一； 2.利用辅助角公式化成同名三角函数解题，要明确变量的范围，避免出错.
思路点睛：本题主要考查利用正、余弦定理求边长的最大值问题，解决此类题型的思路就是，要善于在图形中选设与已知条件和所求结论都相关的角，借助于正、余弦定理将所求量表示成关于角的三角函数式，最后根据三角函数的值域求得最值.
（2024·安徽黄山·一模）
2．记的内角的对边分别为，其外接圆半径为，且，则角大小为 ，若点在边上，，则的面积为 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．##
【分析】根据正弦定理得，再结合余弦定理及基本不等式得，得，设，由，可求得，从而可求解.
【详解】因为，由正弦定理得，
所以，即，因为，所以，，，
所以，，
由余弦定理得，所以，当时取等号，
所以，
设，则，在中由余弦定理得
，
所以，
当时，取得最大值，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
2．
【分析】化简得，解得，得角大小；由外接圆半径，求，，两边同时平方，结合余弦定理，求出，面积公式求的面积.
【详解】中，，
即，得，解得，（舍），
由，得.
的外接圆半径为，则，解得，
由余弦定理，，得，
点在边上，，
则，
有，
得，
即，
由，解得，
所以的面积为.
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用公式求解，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求解.
答案第1页，共2页
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