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第7题 导数压轴小题
（2024·浙江台州·模拟预测）
已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是 .
由题意→参变分离可得有解→根据式子结构，令，→利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解.
详解 模板总结
【详解】由得，显然，所以有解， 令，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的最小值是. 故答案为： 1. 参变分离可得（求参数的范围，参变分离法是最常用的思路，转化为求函数的最大（小）值问题） 2.式子里同时含有指对数函数的题目通常用同构的思想进行构造，整体换元.
1.关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出.
2.对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
（2024·山东菏泽·一模）
1．关于的不等式恒成立，则的最小值为 ．
（2024·浙江·一模）
已知曲线，直线，若对任意，直线始终在曲线下方，则实数的取值范围为 ．
由题意→将原问题转换为恒成立→转换主元，令→得对任意，恒成立→即可求出参数的取值范围，从而得解.
详解 模板总结
【详解】由题意，有恒成立，不妨设（先固定）， 即恒成立， 则，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 即，由于这里且任意， 即对任意，恒成立， 所以设，， 令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，所以， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 1. 双变量问题中，确定主元是一种常见的处理办法；（对于双变量问题的处理→减元，方法有：①确定主元，②整体换元，③变量分离） 2. 参变分离可得，利用导数求的最小值. （求参数的范围，参变分离法是最常用的思路，转化为求函数的最大（小）值问题）
解题关键点：本题的双变量恒成立问题解题的钥匙是转换主元，首先固定，通过导数将原问题转换为对任意，恒成立，由此即可顺利得解.
（2024·陕西·一模）
2．已知函数，对于，不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】由，得，利用导数证明，则问题转化为恒成立，即可得解.
【详解】令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
由，得，
而，
令，
则，所以，
若，
如图作出函数的图象，

由函数图象可知，方程有唯一实数根，
即，
由，得，
即，
当时，，即，
又，，所以，
所以不成立，
即当时，不恒成立，
综上所述，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2．C
【分析】设，求出导数后可设，再求新函数的导数，就、分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】设，
故，设，
则，
令，则，
故在上为减函数，故，
当时，，故，
故在上为减函数，故，
所以，故在上为减函数，
故即.
若，则，，
故存在，使得，且，，
所以，，故在为增函数，故.
所以，，故在为增函数，故.
这与题设矛盾.
综上，.
故选：C
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
答案第1页，共2页
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