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浙江省名校协作体2023-2024学年高二下学期2月月考数学试题
一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．（2024高二下·浙江月考）抛物线的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·浙江月考）数列1，，，，…的通项公式可能是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·浙江月考）已知直线：，：，若，则m的值为（　　）
A．1 B．－3 C．1或－3 D．－1或3
4．（2024高二下·浙江月考）已知两条直线m，n，两个平面，，则下列命题正确的是（　　）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若且，则
5．（2024高二下·浙江月考）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·浙江月考）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．30米
7．（2024高二下·浙江月考）在正三棱台中，，，则异面直线OC与所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·浙江月考）如图，是由一系列直角三角形拼接而成的几何图形，已知，记，，…，的长度构成的数列为，则的整数部分是（　　）
A．87 B．88 C．89 D．90
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错和不选的得0分．
9．（2024高二下·浙江月考）已知向量，，则下列正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量为
10．（2024高二下·浙江月考）若正项数列为等比数列，公比为q，其前n项和为，则下列正确的是（　　）
A．数列是等比数列
B．数列是等差数列
C．若是递减数列，则
D．若，则
11．（2024高二下·浙江月考）如图所示，抛物线的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线l的垂线，垂足分别为，，则（　　）
A．A，B两点的纵坐标之和为常数
B．在直线l上存在点P，使
C．A，O，三点共线
D．在直线l上存在点P，使得的重心在抛物线上
12．（2024高二下·浙江月考）在正三棱锥中，SA，SB，SC两两垂直，，点M是侧棱SC的中点，AC在平面内，记直线BM与平面所成角为，则当该三棱锥绕AC旋转时的取值可能是（　　）
A．53° B．60° C．75° D．89°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高二下·浙江月考）经过，两点的直线的方向向量为，则　 　．
14．（2024高二下·浙江月考）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，当取最大值时，　 　．
15．（2024高二下·浙江月考）已知某圆锥底面直径与母线长之比为，其内切球半径为1，则此圆锥的体积等于　 　．
16．（2024高二下·浙江月考）已知双曲线C的渐近线方程为，两顶点为A，B，双曲线C上一点P满足，则　 　．
四、解答题：共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024高二下·浙江月考）已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求；
（2）若、、成等比数列，求k的值．
18．（2024高二下·浙江月考）已知圆C的圆心在直线上，且过，两点．
（1）求圆C的方程；
（2）已知l：，若直线l与圆C相切，求实数m的值．
19．（2024高二下·浙江月考）如图，已知斜三棱柱，底面是正三角形，，，点N是棱的中点，．
（1）求证：；
（2）求平面与平面ANB的夹角的余弦值．
20．（2024高二下·浙江月考）已知点F为抛物线C：的焦点，点在抛物线C上，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l与抛物线C交于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为，，且，求证：直线l过定点．
21．（2024高二下·浙江月考）已知数列满足，．
（1）若，求数列的前n项和；
（2）若，设数列的前n项和为，求证：．
22．（2024高二下·浙江月考）已知离心率为的双曲线：过椭圆：的左，右顶点A，B．
（1）求双曲线的方程；
（2）是双曲线上一点，直线AP，BP与椭圆分别交于D，E，设直线DE与x轴交于，且，记与的外接圆的面积分别为，，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为 抛物线方程为，所以焦点在y轴，又2p=4，所以 ，
所以 准线方程为 y=-1.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线定义，先确定焦点位置，即可求得准线方程.
2．【答案】A
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解： 因为数列1，，，，… ，可以转化为，，，，… ，
所以通项公式可能是.
故答案为：A.
【分析】观察各项发现n与关系.即可求得通项公式.
3．【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解： 因为直线：，：，，
所以，所以m=-3.
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行的条件，列出，解出即可.
4．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A，mlln且n，则m与可以是平行或m，故A错误.
对于B，mlla且n，则m与n可以是平行或异面，故B错误.
对于C， 若且，则 ，故C正确.
对于D， 若且 ，则m与β可以是平行、相交或者线面，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据线线、线面、面面位置关系，逐一判断即可判断A、B、D错误，根据线面垂直性质可判断C正确.
5．【答案】D
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：由可得圆心Q（4，2），半径r=4
所以以P(-4，2)、Q（4，2）为直径的圆的方程为(x+4)(x-4)+(y-2)(y-2)=0，即x2 + (y - 2)2 = 16，
两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为x=2，
圆心Q(4，2)到a直线x=2距离d=2，所以所求公共弦的长为
故答案为：D.
【分析】先求出以PQ为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，求出圆Q的圆心Q(4，2)到直线x=2的距离d，根据弦长等于即可求公共弦的长.
6．【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【解答】解：
设双曲线方程为(a>0，y<0)，如图建立直角坐标系，水面上升5米后，设水面宽为CD，
设D(x，-a-5). ，因为，所以可得，
代入双曲线方程得a=20，所以D(x，-25)，
将D点坐标代入双曲线方程得 ，所以x=15，所以D(15.-25).
又由对称性可得C(-15.-25)，则水面上升5米，则水面宽为30米.
故答案为：D.
【分析】建立直角坐标系，设出双曲线方程，得B点坐标，代入求出双曲线方程，设出D点坐标，
代入双曲线方程即可求得.
7．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：取AB中点O1，取A1B1中点Q，连接QO1，O在QO1上，，
因为在正三棱台ABC-A1B1C1中，所以 ，又，
在梯形O1CC1Q中，过点C1作C1RO1C，垂足为R，过点Q作QSO1C，垂足为S，
过点O作OTO1C，垂足为T.所以OTQS，则，
设|C1R|=h，|RC|=x，在Rt△C1RC和Rt△QSO1中，
|CC1|2 -|RC|2=|C1R|2=|QS|2=|QO1|2-|O1S|2 ，即 32-x2=3322-332-x2
解得，
因为△A1OQ与△BOO1相似，所以，即
如图，分别以O1B，O1C所在直线为x轴，y轴，过O1且垂直于平面ABC的直线为z轴
建立空间直角坐标系，A1B AB1 =O，所以B(3.0，0)，C(0， 3，0)
，
设异面直线OC与BC1所成角为α，α∈(0，)因为
，所以
故答案为： B.
【分析】分别以O1B，O1C所在直线为x轴，y轴，过O1且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而，利用向量数量积公式求出的夹角余弦.
8．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】解：因为，
都是直角三角形，所以)，
所以是以 1为首项，1为公差的等差数列，所以，因为
所以，所以，
所以，所以整数部分为88.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形求出边长关系，得是以 1为首项，1为公差的等差数列，利用等差数列通项公式求得，利用放缩法，结合裂项求和，即可求解.
9．【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为 =2（-1，2，0）=2，所以、，故A、C正确，B错误.
在方向上的投影向量 ，故D正确.
故答案为：A、C、D.
【分析】根据空间向量平行的条件可判断A、C正确，B错误，根据投影向量公式计算可判断D正确.
10．【答案】A,B,C
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：对于A， 因为正项数列为等比数列，公比为q， 所以，
所以数列是等比数列 ，故A正确；
对于B，， 所以数列是等差数列 ，故B正确；
对于C，因为an是正项等比数列，所以an>0，又an是递减数列，所以0< q< 1，故C正确；
对于D，由题意得 a1 = S1=1-r，a2 = S2 - S1 =2，
a3 = S3 - S2 =4，因为是等比数列，所以 a22= a1a3， 即 22= 4(1 -r)，解得r= 0，故D不正确.故故答案为：A、B、C.
【分析】根据等比、等差数列定义即可判断A、B正确，根据数列单调性结合an>0，可判断C正确，利用求出数列前三项，根据等比中项即可求解，判断D错误.
11．【答案】C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】解：对于A，设直线，AB的方程为.
联立， 消去x得所以，不为常数，故A错误.
对于B，设P()，，
所以
则∠APB≤90，故在直线l上不存在点P，使∠APB>90°，故B错误.
对于C， ，
所以，所以 A，O，三点共线 .故C正确.
对于D：设P()，又，
所以 的重心 坐标为，
代入抛物线方程得，即
所以在直线/上存在点P，使得△APB的重心在抛物线上，D正确.
故答案为：C、D.
【分析】对于A，设出直线方程，与抛物线联立，通过韦达定理即可判断A错误.
对于B，通过计算的正负即可判断B错误.
对于C，通过计算是否相等即可判断C正确.
对于D，求出重心，代入抛物线方程，看方程是否有解即可判断D正确.
12．【答案】A,B
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图建立空间直角坐标系，
设OA=t，则A(1，0，0)，B(-1，0，0)， c(0，0，1)， S(0， 0， )， M(0，0，)，
=(-1，0，1) = (1，0， )，
设平面a的法向量为n =(x，y，z)，则 所以
取= (1，2t，-2t)，所以
|
因为t> 0，θ∈[0，]所以.
选答案为：A、B.
【分析】建立空间直角坐标系，求出各点坐标， 求出直线BM与平面所成角的余弦即可。
13．【答案】2
【知识点】斜率的计算公式；直线的方向向量
【解析】【解答】解：因为直线经过A(0，2)，B(-1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，所以
解得k= 2.
故答案为：2.
【分析】利用直线的斜率公式结合方向向量定义即可求出.
14．【答案】6
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：
根据题意，数列{an}为等比数列，a1=32，公比，则an=a1qn-1=26-n，
当n=6时，an=1，当n<6时，an>1，当n>6时，an<1，
若Tn是数列{an}的前n项积，当n≥2时，
则当n<6时，>1，则Tn>Tn-1，当n>6时，<1，则Tn当n=6时，=1，Tn=Tn-1 ，
故当n=6时，Tn有最大值.
故答案为：6.
【分析】先根据等比数列通项公式求出an=26-n，结合意义得，讨论变化规律，即可求解.
15．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设该圆锥的底面直径为6x，则底面半径为3x.
因为底面直径与母线长之比为6：5，所以母线长5x，所以该圆锥的高，
因为内切球的半径为1，
根据面积相等，可得圆锥轴截面的面积为号，
解得，所以圆锥的底面半径为2，高为，
所以此圆锥的体积.
故答案为：.
【分析】设该圆锥的底面直径为6x，结合题意得出底面半径、母线长、圆锥的高，画出圆锥的轴截面，根据轴截面面积相等，利用三角形面积公式与内切圆半径的关系s=(a+b+c)r，求出圆锥的高与底面半径，然后利用圆锥体积公式即可求得 .
16．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：不妨设双曲线C的方程为x2-y2-g2(a>0)，A，B为左右顶点.
设P(x，y)，因为|PA|=3|PB|，所以(x+a)2+y2=9(x-a)2+9y2，
化简得：，联立，
设P在第一象限，作PDx轴于D，则IPD|=a，|BD|=-a=，|AD|=|AB|+|BD|=，
所以.
故答案为：.
【分析】先设P(x，y)，根据|PA|=3|PB|列出方程，得到，联立椭圆方程得到P点坐标，作出辅助线，得到tanㄥAPD=3，tanㄥBPD，利用正切的差角公式即可求解.
17．【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为d，
由，，所以，
解得，所以，则．
（2）解：由（1）可知，，，
又、、成等比数列，所以，
即，解得或（舍去）．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差中项
【解析】【分析】（1）利用等差数列求和公式和通项公式，组成方程组，解得、d，代入求和公式即可.
(2)利用上面前n项和表示 、、 ，根据等比中项得方程，解之即可.
18．【答案】（1）解：方法一：设圆心C的坐标为，则，
又，则即，
得，，所以圆C的半径，
所以圆C的方程是（或）．
方法二：AB的中点坐标为，，则AB的中垂线方程为．
则，解得，所以圆心C的坐标为，
所以圆C的半径，
所以圆C的方程是（或）．
（2）解：设圆心C到直线的距离为d，
由题意可得，
平方整理后可得，解得或．
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【分析】（1）方法一：根据圆心在上满足直线方程，和，列出方程组，解得圆心、半径即可.
方法二：根据圆心在上并且在AB的中垂线上，列出方程组，解得圆心、半径即可.
（2）利用点到直线距离公式，列出圆心C到直线的距离为d=r，解出即可.
19．【答案】（1）证明：取BC的中点M，连接AM，，，，
∵三棱柱中，，∴，
又∵，∴，∴，∴，
又，∴面，∴．
（2）解：方法一：连接MN，在中，，，，
即，即．
如图建系，
，，，
有，，
设面ABN的法向量为，则，
解得面ABN的一个法向量，
面的一个法向量，∴，
所以平面与平面ANB的夹角的余弦值为．
方法二：连接MN，在中，，，，
即，即．
作于F，连BF．
因为平面AMN，平面AMN，所以，又，
所以平面BMF，平面BMF，所以，
所以为二面角的平面角．
在中，，得．
则，所以．
所以平面与平面ANB的夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证得，根据全等得，即可根据线面垂直判定证得面，从而根据线面垂直性质证得.
(2)方法一：利用空间向量求出各点坐标， 平面与平面ANB的 法向量，两者夹角的余弦即为 平面与平面ANB的夹角的余弦值 .
方法二：通过证明、，找到为二面角的平面角．利用余弦定理即可求解.
20．【答案】（1）解：由题意得：，
解得，或（舍去），所以抛物线C的方程为．
（2）解：方法一：①当直线l斜率存时，
设直线l：，，，
则，消去x，整理得，
则，，，
而，
整理得，所以，
所以直线l：，所以直线l过定点．
②当直线l斜率不存时，设直线l：，
则，，则，得，
所以直线l：，则点在直线l上．
综上：直线l过定点．
方法二：设，，
则，
则，直线l的方程为，
则，
所以直线l过定点．
【知识点】恒过定点的直线；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【分析】（1） 根据点在抛物线C上，且，列出方程组，即可解得.
（2）方法一：①分直线l斜率存时、直线l斜率不存时分类讨论，设出直线方程与抛物线联立，转化为关于y的一元二次方程，利用韦达定理及，求出直线方程，即可求得定点.
方法二：设，，根据斜率公式代入，利用点斜式求出直线方程，即可求得定点.
21．【答案】（1）解：当时，则，得，所以，
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列．
所以=2+（n-1）=n+1，则，
所以，
，
两式相减得
，所以．
（2）解：当时，由，得，
所以，
所以数列单调递增，因为，所以，
又由，可得，
所以，即，
则，
所以，易知为递增数列，且，
所以，即：．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）将代入，得数列是以为首项，公差为1的等差数列．利用等差数列通项公式求得，利用错位相减法求和即可.
(2)将代入，得，转化为，从而可得为递增数列，即可求解.
22．【答案】（1）解：由题意得：，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）解：方法一：设直线AP：，，
则，消y得：，
得：，
又因为在双曲线上，满足，即，
所以，即．
同理设直线BP：，，可得，所以．
因为，所以，因为，所以．
把代入双曲线方程得，解得，则点．
设与的外接圆的半径分别为，，
由正弦定理得，，
因为，所以．
则．
因为，所以，所以．
方法二：设直线DE：，，，
则，消x得：，
所以，，得，
因为P，A，D三点共线，则，
因为P，B，E三点共线，则，两式相除得，
而
．
因为，所以．
因为，所以，得，
把代入双曲线方程得，解得，则点．
设与的外接圆的半径分别为，，
由正弦定理得，，
因为，所以，
则，
因为，所以，所以．
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据已知双曲线离心率结合a、b、c关系列出方程组即可解得.
（2）方法一：设直线AP：，，联立直线和双曲线方程，结合在双曲线上，得，同理得，代入结合双曲线方程得P点坐标，利用正弦定理，结合代入化简得，根据，即可求解.
方法二：设直线DE：，，，联立方程组，利用韦达定理，结合P，A，D三点共线和P，B，E三点共线，列方程化简得，从而得，结合双曲线方程得P点坐标，利用正弦定理，结合代入简得，根据，即可求解.
1 / 1浙江省名校协作体2023-2024学年高二下学期2月月考数学试题
一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．（2024高二下·浙江月考）抛物线的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为 抛物线方程为，所以焦点在y轴，又2p=4，所以 ，
所以 准线方程为 y=-1.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线定义，先确定焦点位置，即可求得准线方程.
2．（2024高二下·浙江月考）数列1，，，，…的通项公式可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解： 因为数列1，，，，… ，可以转化为，，，，… ，
所以通项公式可能是.
故答案为：A.
【分析】观察各项发现n与关系.即可求得通项公式.
3．（2024高二下·浙江月考）已知直线：，：，若，则m的值为（　　）
A．1 B．－3 C．1或－3 D．－1或3
【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解： 因为直线：，：，，
所以，所以m=-3.
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行的条件，列出，解出即可.
4．（2024高二下·浙江月考）已知两条直线m，n，两个平面，，则下列命题正确的是（　　）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若且，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A，mlln且n，则m与可以是平行或m，故A错误.
对于B，mlla且n，则m与n可以是平行或异面，故B错误.
对于C， 若且，则 ，故C正确.
对于D， 若且 ，则m与β可以是平行、相交或者线面，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据线线、线面、面面位置关系，逐一判断即可判断A、B、D错误，根据线面垂直性质可判断C正确.
5．（2024高二下·浙江月考）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：由可得圆心Q（4，2），半径r=4
所以以P(-4，2)、Q（4，2）为直径的圆的方程为(x+4)(x-4)+(y-2)(y-2)=0，即x2 + (y - 2)2 = 16，
两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为x=2，
圆心Q(4，2)到a直线x=2距离d=2，所以所求公共弦的长为
故答案为：D.
【分析】先求出以PQ为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，求出圆Q的圆心Q(4，2)到直线x=2的距离d，根据弦长等于即可求公共弦的长.
6．（2024高二下·浙江月考）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．30米
【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【解答】解：
设双曲线方程为(a>0，y<0)，如图建立直角坐标系，水面上升5米后，设水面宽为CD，
设D(x，-a-5). ，因为，所以可得，
代入双曲线方程得a=20，所以D(x，-25)，
将D点坐标代入双曲线方程得 ，所以x=15，所以D(15.-25).
又由对称性可得C(-15.-25)，则水面上升5米，则水面宽为30米.
故答案为：D.
【分析】建立直角坐标系，设出双曲线方程，得B点坐标，代入求出双曲线方程，设出D点坐标，
代入双曲线方程即可求得.
7．（2024高二下·浙江月考）在正三棱台中，，，则异面直线OC与所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：取AB中点O1，取A1B1中点Q，连接QO1，O在QO1上，，
因为在正三棱台ABC-A1B1C1中，所以 ，又，
在梯形O1CC1Q中，过点C1作C1RO1C，垂足为R，过点Q作QSO1C，垂足为S，
过点O作OTO1C，垂足为T.所以OTQS，则，
设|C1R|=h，|RC|=x，在Rt△C1RC和Rt△QSO1中，
|CC1|2 -|RC|2=|C1R|2=|QS|2=|QO1|2-|O1S|2 ，即 32-x2=3322-332-x2
解得，
因为△A1OQ与△BOO1相似，所以，即
如图，分别以O1B，O1C所在直线为x轴，y轴，过O1且垂直于平面ABC的直线为z轴
建立空间直角坐标系，A1B AB1 =O，所以B(3.0，0)，C(0， 3，0)
，
设异面直线OC与BC1所成角为α，α∈(0，)因为
，所以
故答案为： B.
【分析】分别以O1B，O1C所在直线为x轴，y轴，过O1且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而，利用向量数量积公式求出的夹角余弦.
8．（2024高二下·浙江月考）如图，是由一系列直角三角形拼接而成的几何图形，已知，记，，…，的长度构成的数列为，则的整数部分是（　　）
A．87 B．88 C．89 D．90
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】解：因为，
都是直角三角形，所以)，
所以是以 1为首项，1为公差的等差数列，所以，因为
所以，所以，
所以，所以整数部分为88.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形求出边长关系，得是以 1为首项，1为公差的等差数列，利用等差数列通项公式求得，利用放缩法，结合裂项求和，即可求解.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错和不选的得0分．
9．（2024高二下·浙江月考）已知向量，，则下列正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量为
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为 =2（-1，2，0）=2，所以、，故A、C正确，B错误.
在方向上的投影向量 ，故D正确.
故答案为：A、C、D.
【分析】根据空间向量平行的条件可判断A、C正确，B错误，根据投影向量公式计算可判断D正确.
10．（2024高二下·浙江月考）若正项数列为等比数列，公比为q，其前n项和为，则下列正确的是（　　）
A．数列是等比数列
B．数列是等差数列
C．若是递减数列，则
D．若，则
【答案】A,B,C
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：对于A， 因为正项数列为等比数列，公比为q， 所以，
所以数列是等比数列 ，故A正确；
对于B，， 所以数列是等差数列 ，故B正确；
对于C，因为an是正项等比数列，所以an>0，又an是递减数列，所以0< q< 1，故C正确；
对于D，由题意得 a1 = S1=1-r，a2 = S2 - S1 =2，
a3 = S3 - S2 =4，因为是等比数列，所以 a22= a1a3， 即 22= 4(1 -r)，解得r= 0，故D不正确.故故答案为：A、B、C.
【分析】根据等比、等差数列定义即可判断A、B正确，根据数列单调性结合an>0，可判断C正确，利用求出数列前三项，根据等比中项即可求解，判断D错误.
11．（2024高二下·浙江月考）如图所示，抛物线的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线l的垂线，垂足分别为，，则（　　）
A．A，B两点的纵坐标之和为常数
B．在直线l上存在点P，使
C．A，O，三点共线
D．在直线l上存在点P，使得的重心在抛物线上
【答案】C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】解：对于A，设直线，AB的方程为.
联立， 消去x得所以，不为常数，故A错误.
对于B，设P()，，
所以
则∠APB≤90，故在直线l上不存在点P，使∠APB>90°，故B错误.
对于C， ，
所以，所以 A，O，三点共线 .故C正确.
对于D：设P()，又，
所以 的重心 坐标为，
代入抛物线方程得，即
所以在直线/上存在点P，使得△APB的重心在抛物线上，D正确.
故答案为：C、D.
【分析】对于A，设出直线方程，与抛物线联立，通过韦达定理即可判断A错误.
对于B，通过计算的正负即可判断B错误.
对于C，通过计算是否相等即可判断C正确.
对于D，求出重心，代入抛物线方程，看方程是否有解即可判断D正确.
12．（2024高二下·浙江月考）在正三棱锥中，SA，SB，SC两两垂直，，点M是侧棱SC的中点，AC在平面内，记直线BM与平面所成角为，则当该三棱锥绕AC旋转时的取值可能是（　　）
A．53° B．60° C．75° D．89°
【答案】A,B
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图建立空间直角坐标系，
设OA=t，则A(1，0，0)，B(-1，0，0)， c(0，0，1)， S(0， 0， )， M(0，0，)，
=(-1，0，1) = (1，0， )，
设平面a的法向量为n =(x，y，z)，则 所以
取= (1，2t，-2t)，所以
|
因为t> 0，θ∈[0，]所以.
选答案为：A、B.
【分析】建立空间直角坐标系，求出各点坐标， 求出直线BM与平面所成角的余弦即可。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高二下·浙江月考）经过，两点的直线的方向向量为，则　 　．
【答案】2
【知识点】斜率的计算公式；直线的方向向量
【解析】【解答】解：因为直线经过A(0，2)，B(-1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，所以
解得k= 2.
故答案为：2.
【分析】利用直线的斜率公式结合方向向量定义即可求出.
14．（2024高二下·浙江月考）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，当取最大值时，　 　．
【答案】6
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：
根据题意，数列{an}为等比数列，a1=32，公比，则an=a1qn-1=26-n，
当n=6时，an=1，当n<6时，an>1，当n>6时，an<1，
若Tn是数列{an}的前n项积，当n≥2时，
则当n<6时，>1，则Tn>Tn-1，当n>6时，<1，则Tn当n=6时，=1，Tn=Tn-1 ，
故当n=6时，Tn有最大值.
故答案为：6.
【分析】先根据等比数列通项公式求出an=26-n，结合意义得，讨论变化规律，即可求解.
15．（2024高二下·浙江月考）已知某圆锥底面直径与母线长之比为，其内切球半径为1，则此圆锥的体积等于　 　．
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设该圆锥的底面直径为6x，则底面半径为3x.
因为底面直径与母线长之比为6：5，所以母线长5x，所以该圆锥的高，
因为内切球的半径为1，
根据面积相等，可得圆锥轴截面的面积为号，
解得，所以圆锥的底面半径为2，高为，
所以此圆锥的体积.
故答案为：.
【分析】设该圆锥的底面直径为6x，结合题意得出底面半径、母线长、圆锥的高，画出圆锥的轴截面，根据轴截面面积相等，利用三角形面积公式与内切圆半径的关系s=(a+b+c)r，求出圆锥的高与底面半径，然后利用圆锥体积公式即可求得 .
16．（2024高二下·浙江月考）已知双曲线C的渐近线方程为，两顶点为A，B，双曲线C上一点P满足，则　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：不妨设双曲线C的方程为x2-y2-g2(a>0)，A，B为左右顶点.
设P(x，y)，因为|PA|=3|PB|，所以(x+a)2+y2=9(x-a)2+9y2，
化简得：，联立，
设P在第一象限，作PDx轴于D，则IPD|=a，|BD|=-a=，|AD|=|AB|+|BD|=，
所以.
故答案为：.
【分析】先设P(x，y)，根据|PA|=3|PB|列出方程，得到，联立椭圆方程得到P点坐标，作出辅助线，得到tanㄥAPD=3，tanㄥBPD，利用正切的差角公式即可求解.
四、解答题：共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024高二下·浙江月考）已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求；
（2）若、、成等比数列，求k的值．
【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为d，
由，，所以，
解得，所以，则．
（2）解：由（1）可知，，，
又、、成等比数列，所以，
即，解得或（舍去）．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差中项
【解析】【分析】（1）利用等差数列求和公式和通项公式，组成方程组，解得、d，代入求和公式即可.
(2)利用上面前n项和表示 、、 ，根据等比中项得方程，解之即可.
18．（2024高二下·浙江月考）已知圆C的圆心在直线上，且过，两点．
（1）求圆C的方程；
（2）已知l：，若直线l与圆C相切，求实数m的值．
【答案】（1）解：方法一：设圆心C的坐标为，则，
又，则即，
得，，所以圆C的半径，
所以圆C的方程是（或）．
方法二：AB的中点坐标为，，则AB的中垂线方程为．
则，解得，所以圆心C的坐标为，
所以圆C的半径，
所以圆C的方程是（或）．
（2）解：设圆心C到直线的距离为d，
由题意可得，
平方整理后可得，解得或．
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【分析】（1）方法一：根据圆心在上满足直线方程，和，列出方程组，解得圆心、半径即可.
方法二：根据圆心在上并且在AB的中垂线上，列出方程组，解得圆心、半径即可.
（2）利用点到直线距离公式，列出圆心C到直线的距离为d=r，解出即可.
19．（2024高二下·浙江月考）如图，已知斜三棱柱，底面是正三角形，，，点N是棱的中点，．
（1）求证：；
（2）求平面与平面ANB的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：取BC的中点M，连接AM，，，，
∵三棱柱中，，∴，
又∵，∴，∴，∴，
又，∴面，∴．
（2）解：方法一：连接MN，在中，，，，
即，即．
如图建系，
，，，
有，，
设面ABN的法向量为，则，
解得面ABN的一个法向量，
面的一个法向量，∴，
所以平面与平面ANB的夹角的余弦值为．
方法二：连接MN，在中，，，，
即，即．
作于F，连BF．
因为平面AMN，平面AMN，所以，又，
所以平面BMF，平面BMF，所以，
所以为二面角的平面角．
在中，，得．
则，所以．
所以平面与平面ANB的夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证得，根据全等得，即可根据线面垂直判定证得面，从而根据线面垂直性质证得.
(2)方法一：利用空间向量求出各点坐标， 平面与平面ANB的 法向量，两者夹角的余弦即为 平面与平面ANB的夹角的余弦值 .
方法二：通过证明、，找到为二面角的平面角．利用余弦定理即可求解.
20．（2024高二下·浙江月考）已知点F为抛物线C：的焦点，点在抛物线C上，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l与抛物线C交于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为，，且，求证：直线l过定点．
【答案】（1）解：由题意得：，
解得，或（舍去），所以抛物线C的方程为．
（2）解：方法一：①当直线l斜率存时，
设直线l：，，，
则，消去x，整理得，
则，，，
而，
整理得，所以，
所以直线l：，所以直线l过定点．
②当直线l斜率不存时，设直线l：，
则，，则，得，
所以直线l：，则点在直线l上．
综上：直线l过定点．
方法二：设，，
则，
则，直线l的方程为，
则，
所以直线l过定点．
【知识点】恒过定点的直线；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【分析】（1） 根据点在抛物线C上，且，列出方程组，即可解得.
（2）方法一：①分直线l斜率存时、直线l斜率不存时分类讨论，设出直线方程与抛物线联立，转化为关于y的一元二次方程，利用韦达定理及，求出直线方程，即可求得定点.
方法二：设，，根据斜率公式代入，利用点斜式求出直线方程，即可求得定点.
21．（2024高二下·浙江月考）已知数列满足，．
（1）若，求数列的前n项和；
（2）若，设数列的前n项和为，求证：．
【答案】（1）解：当时，则，得，所以，
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列．
所以=2+（n-1）=n+1，则，
所以，
，
两式相减得
，所以．
（2）解：当时，由，得，
所以，
所以数列单调递增，因为，所以，
又由，可得，
所以，即，
则，
所以，易知为递增数列，且，
所以，即：．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）将代入，得数列是以为首项，公差为1的等差数列．利用等差数列通项公式求得，利用错位相减法求和即可.
(2)将代入，得，转化为，从而可得为递增数列，即可求解.
22．（2024高二下·浙江月考）已知离心率为的双曲线：过椭圆：的左，右顶点A，B．
（1）求双曲线的方程；
（2）是双曲线上一点，直线AP，BP与椭圆分别交于D，E，设直线DE与x轴交于，且，记与的外接圆的面积分别为，，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得：，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）解：方法一：设直线AP：，，
则，消y得：，
得：，
又因为在双曲线上，满足，即，
所以，即．
同理设直线BP：，，可得，所以．
因为，所以，因为，所以．
把代入双曲线方程得，解得，则点．
设与的外接圆的半径分别为，，
由正弦定理得，，
因为，所以．
则．
因为，所以，所以．
方法二：设直线DE：，，，
则，消x得：，
所以，，得，
因为P，A，D三点共线，则，
因为P，B，E三点共线，则，两式相除得，
而
．
因为，所以．
因为，所以，得，
把代入双曲线方程得，解得，则点．
设与的外接圆的半径分别为，，
由正弦定理得，，
因为，所以，
则，
因为，所以，所以．
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据已知双曲线离心率结合a、b、c关系列出方程组即可解得.
（2）方法一：设直线AP：，，联立直线和双曲线方程，结合在双曲线上，得，同理得，代入结合双曲线方程得P点坐标，利用正弦定理，结合代入化简得，根据，即可求解.
方法二：设直线DE：，，，联立方程组，利用韦达定理，结合P，A，D三点共线和P，B，E三点共线，列方程化简得，从而得，结合双曲线方程得P点坐标，利用正弦定理，结合代入简得，根据，即可求解.
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