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压轴小题11 函数的公切线问题（一题多变）
【湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考（三）数学试题】
1．已知函数，若存在直线，使得是曲线与曲线的公切线，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C．2 D．3
【变化角度】将求参数的范围变为求公切线方程，如：（2023·浙江·一模）已知函数，，写出斜率大于且与函数，的图象均相切的直线的方程： .
【思路分析】公切线问题，求导，再利用斜率相等即可解题.
【详解】∵，，
∴，，
设相切的直线与函数，的图象的切点分别为，，
且，
∴，且，
解得，
∴两切点分别为，，
∴与函数，的图象均相切的直线的方程为：.
故答案为：.
【举一反三】
（22-23高二下·安徽六安·期中）
2．设直线l是函数，和函数的公切线，则l的方程是 ．
（2018·山东日照·一模）
3．已知（e为自然对数的底数），，直线l是的公切线，则直线l的方程为
A． B．
C． D．
【变换角度】将求参数的范围变为求公切线的条数，如：（2023·广东·模拟预测）曲线与的公共切线的条数为 .
【思路分析】设公切线关于两函数图像的切点为，则公切线方程为：
，则
，则公切线条数为零点个数.
【详解】
设公切线关于两函数图像的切点为，则公切线方程为：
，则，
注意到，，则由，可得
.
则公切线条数为方程的根的个数，
即函数的零点个数.
，令，则，
得在上单调递增.因，
则，使得.则在上单调递减，在上单调递增，
故，
又注意到，
，则，
使得，得有2个零点，即公共切线的条数为2.
故答案为：2
【举一反三】
（22-23高三上·江苏·阶段练习）
4．若直线与曲线和曲线都相切，则直线的条数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数条
（2018·江西南昌·一模）
5．已知函数，则和的公切线的条数为
A．三条 B．二条 C．一条 D．0条
（19-20高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）
6．曲线：与曲线：公切线的条数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（14-15高三·江苏·阶段练习）
7．曲线与曲线公切线（切线相同）的条数为 ．
（江苏省无锡市四校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）
8．若二次函数的图象与曲线存在公切线，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）
9．若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围为 ．
（23-24高二上·重庆·期末）
10．若函数与函数的图象存在公切线，则实数t的取值范围为 .
（2020届山西省太原市第五中学校高三上学期9月阶段性检测数学（理）试题）
11．已知函数，（）
（1）试判断与的大小关系;
（2）试判断曲线和是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．ACD
【分析】
分别设出直线与两曲线的切点坐标，，利用导数的几何意义求出切线方程，根据题意得到，记，分类讨论a与1的大小关系，利用导数与函数的单调性结合零点存在性定理分析求解.
【详解】设直线为曲线在点处的切线，，
所以，即；
设直线为曲线在点处的切线，，
所以，即；
由题意知，因为，可知，
由可得，
将其代入可得：，
令，则在上有零点，
令，则，
令，解得；令，解得；
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，
当时，，故在上恒有零点，从而恒成立；
当时，，无零点，不成立；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且当时，，
则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：求曲线的切线问题主要分两大类：
一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点和斜率即可；
另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标，利用导数表示切线的斜率以及切线方程，根据所过的点求切点，得出切线方程.
2．
【分析】
根据导数几何意义和斜率的比值定义式，以及导数确定函数的单调性即可求解.
【详解】设直线l与函数的切点为A，
直线l与函数的切点为B，
，所以，
，所以，
所以，
后面等式整理得，
代入前面等式整理得，
化简得，
令，
因为，
所以，
所以，
令，
所以，
容易知道，为减函数，
，
所以恒成立，
所以单调递增，
所以最多一个零点，
容易知道，
所以只有一个解，
故，
所以A点坐标为，
切线斜率为，
所以切线方程为，
即.
故答案为：.
【点睛】双切点联立方程，结合导数几何意义，构造函数是关键.
3．C
【分析】设直线与的切点为，与的切点为，根据公切线可得的方程组，解出可得公切线方程.
【详解】设直线与的切点为，与的切点为，则，消去得到，
故或者，
所以切线方程为：或，故选C.
【点睛】解决曲线的切线问题，核心是设出切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.
4．B
【分析】
根据两函数解析式，在同一坐标系下画出函数图象，对两曲线进行求导，利用导函数的几何意义求出斜率的表达式，再根据三角函数和指数函数的值域，即可求出公切线与两曲线的切点位置，进而确定公切线的条数.
【详解】如图所示
设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，直线的斜率；
所以，，即在点处的斜率为，
，即在点处的斜率为，
得；
又因为，所以斜率
由得，或；
由得，；
因此，存在，和，使得，
即此时直线即为两条曲线的公切线；
同时，存在，和，使得，且；
所以，直线即为异于直线的第二条曲线的公切线；
综上可知，直线的条数有2条.
故选：B.
5．A
【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程，构造函数，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.
【详解】设公切线与和分别相切于点，，解得，代入化简得，构造函数，原函数在，极大值
故函数和x轴有交3个点，方程有三解，故切线有3条.
故选A.
【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题，即转化为函数图像和x轴的交点问题.
6．C
【解析】设公切线与的切点为，公切线与的 切点为，利用导数的几何意义分别得出在切点，处的切线方程，由得到，构造函数，利用导数得出方程的根的个数，即可得出结论.
【详解】设公切线与的切点为，公切线与的 切点为
的导数为；的导数为
则在切点处的切线方程为，即
则在切点处的切线方程为，即
，整理得到
令，则
；
在区间上单调递减，在区间上单调递增
即函数与的图象，如下图所示
由图可知，函数与有两个交点，则方程有两个不等正根，即曲线：与曲线：公切线的条数有2条
故选：C
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于较难题.
7．1
【分析】由已知，分别根据两函数的解析式，设出切点写出共切线方程，然后利用待定系数法找到与之间的关系，消掉得到一个关于的函数关系，然后设出函数，利用导数研究函数的单调性和零点即可完成求解.
【详解】由已知，的导数为，的导数为，
设公切线在函数切点为（），函数的切点为，
则切线为，，两切线相同，
则有，消去，整理得，
记，则，
当时，，递减，
且，，
因此在上只有一解，即方程只有一解，
因此所求公切线只有一条．
故答案为：1.
8．AC
【分析】设公切线与的图象相切于点，与的图象相切于点，写出切线方程并联立，得出，设函数，利用导数求的取值范围，即的取值范围，再判断各选项.
【详解】由得；
由得.
设公切线与的图象相切于点，与的图象相切于点，
所以，即，
可得或，
因为，，则，即，
，，
令，，
可得，
由，得；由，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以实数的取值范围.
因为，，，，即，，则，则AC正确.
故选：AC.
9．
【分析】设切点为，求导计算得到切线方程，与二次函数联立，计算得到，构造，求导得到函数的单调区间，计算最值得到，解不等式得到范围.
【详解】，可得，
设切点为，则，
则公切线方程为，即，
，则，
所以，整理可得，
又由，可得，解得，
令，其中，可得，
令，可得，函数在上单调递增，
且，
当时，，即，此时函数单调递减，
当时，，即，此时函数单调递增，
所以，且当趋近于时，趋近正无穷，
所以函数的值域为，
所以且，解得，即实数的取值范围为．
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决公切线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将公切线问题根据转化为函数的最值问题是解题的关键，构造新函数是常用的方法，需要熟练掌握.
10．
【分析】
求出函数的导数，设出曲线与公切线的坐标，利用导数的几何意义求得两切点坐标之间的关系式，进而求出t的表达式，构造函数，利用导数求其最值，即可求得答案.
【详解】由题意得，，
设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，
则，则，，
当时，，函数与的图象存在公切线，符合题意；
当时，，即，
故，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，故，
综合得实数t的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答时要设出曲线与公切线的切点，利用导数的几何意义，求得切点坐标之间关系，关键在于由此结合该关系求得参数t的表达式，进而构造函数，利用导数解决问题.
11．（1） （2）不存在，理由见解析
【分析】（1）构造函数,求得导函数,并令,利用导函数符号可判断函数的单调性,求得最小值,即可比较大小.
（2）假设存在公切线,并分别设出两个切点坐标.表示出切线方程,联立后构造函数.求得导函数,即可利用导函数符号判断函数单调性,求得最小值.判断出相应的方程无解,即可知两个曲线不存在公切线.
【详解】（1）设,则
令,解得,
当时,,当时,
所以在区间单调递减,在区间单调递增,
则在时取得最小值,为,
,
即
（2）假设曲线与有公切线,切点分别为和
因为,,所以分别以和为切线的切线方程为,
令即.
令,
所以令得.
显然,当时,,当时,,
所以,
所以方程无解
∴曲线和不存在公切线
【点睛】本题考查了导函数在判断函数单调性与最值中的应用,通过构造函数法研究函数的单调性与最值,函数公切线的判断方法,属于难题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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