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压轴小题13 函数奇偶性与零点的结合
【天津市南开区2023-2024学年高三下学期质量监测（一） T15】
已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为______
先根据奇函数和偶函数的定义求得表达式，原题转化为有唯一零点，通过偶函数性质可以判断零点位于原点处，代入求得参数的值，并逐一检验充分性即可.
解：由已知即
由①＋②得．
由已知有唯一零点．
注意到是偶函数．
∴，或
①当时，
当且仅当时，等号成立，此时有唯一零点．
②当时，．
若，则函数单调递增．
∴，当且仅当时，等号成立
此时，有唯一零点
综上，或．
1．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
2．已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．已知函数有唯一零点，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，若函数有唯一零点，则实数的值为 .
5．函数，分别为上的偶函数和奇函数，（且），若，函数有唯一零点，则实数的值可以为（ ）
A． B． C．1 D．
先根据奇函数和偶函数的定义求得表达式，根据函数对称性，参变分离后转化为图象交点问题，找出零点并代入即可.
解：设
设 偶－偶＝偶
关于对称，关于对称
有唯一零点，即有唯一解
即与有唯一交点
当且仅当时，与有唯一交点
6．已知，是函数的两个零点，则（ ）
A．1 B．e C． D．
先根据奇函数和偶函数的定义求得表达式，对参数分类讨论并结合导数与函数单调性、最值的关系求解答案即可.
①当时，，不符合题意
②当时时，，
时，
∵为偶函数，∴在上单调递减
③当时时，，
，时，
由②③可知中，有唯一零点充分条件时，即
或．
7．若关于的方程恰有四个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数有两个零点，则的最小整数值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
9．已知函数，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A．或 B．1或 C．或 D．或1
10．存在实数使得函数有唯一零点，则实数可以取值为（ ）
A． B． C． D．1
11．已知函数有唯一零点，则 ，的解集为 ．
12．已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，若函数有唯一零点，则实数λ的值为 ．
13．已知函数有唯一零点，则实数__________.
14．若函数有唯一零点，则实数的值为 .
15．已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足，则函数的解析式为 ；若函数有唯一零点，则实数的值为 ．
16．若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ．
17．若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，求出，结合函数的对称性得出关于对称，由有唯一零点，可知，即可求.
【详解】已知，①
且，分别是上的偶函数和奇函数，
则，
得：，②
①+②得：
∴令∵有唯一零点，且是偶函数，
所以，∴
∴或
若时，则
当时，则令解得，∴（不合题意舍去）
若时，则
∵在上单调递减∴
∵是偶函数∴只有唯一零点0
∴只有唯一零点2023
综上：.
故选：D.
2．D
【分析】设，由函数奇偶性定义得到为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，由零点唯一性得到，求出的值.
【详解】设，定义域为R,
∴，
故函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称，
故函数的图象关于直线对称，
∵有唯一零点，
∴，即．
故选：D．
3．D
【解析】把函数等价转化为偶函数，利用偶函数性质，有唯一零点，由得解.
【详解】因为，
令 则，
因为函数有唯一零点，
所以也有唯一零点，且为偶函数，图象关于轴对称，由偶函数对称性得，所以，解得，
故选：D.
【点睛】本题考查函数零点的情况求参数的值，属于中档题.
4．或
【分析】
由已知函数有唯一零点，结合偶函数的性质，证明函数为偶函数，根据条件列方程求λ的值.
【详解】
因为函数有唯一零点，
所以函数有唯一零点，
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
所以，
所以函数为偶函数，又函数有唯一零点，
所以函数的零点为，
所以，
因为函数是定义在上的奇函数，所以，
又由可得，所以，
所以
解得或．
故答案为：或．
5．AB
【分析】利用函数，奇偶性可得，令，
由奇偶性定义可得是偶函数，关于直线对称，函数有唯一零点，可得，
再由可求得答案.
【详解】因为函数，分别为上的偶函数和奇函数，
所以函数，，
又，
，
两式相减，可解得，
令，
，
所以是偶函数，图象关于轴对称，
所以关于直线对称，
，函数有唯一零点，所以，即，
，
又因为，
所以，解得或，
故选：AB.
6．D
【分析】
由题意构造，将原函数的零点问题转化为的图象的交点问题，判断函数的对称性，即可求得答案.
【详解】由，可知，
故时，则可得，
而，是函数的两个零点，
令，则的图象必有两交点
且，是两交点的横坐标，
由于，即的图象关于点对称，
而，即的图象也关于点对称，
故的交点关于点对称，则，
故，
故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的零点问题，解答的关键是根据函数特征，构造新函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，结合对称性即可解决.
7．D
【分析】
等价变形给定方程，再分类讨论去绝对值符号，并借助函数的单调性求解即得.
【详解】方程或，
（1）当时，原方程等价于或，令函数，
函数在上递增，函数值集合为R，在上递增，函数值集合为R，
①当时，在上递增，，而，
显然，则与各有一个实根，
②当时，或在上各有一个实根，
③当时，在，上递增，显然与在上各有一个实根，
当时，，而，当且仅当时取等号，
当时，，在上方程有一个实根，无实根，
当且时，，在上方程与均无实根，
因此当，时，方程与各有一个实根，
当，时，方程有两个实根，有一个实根，
（2）当时，原方程等价于，解方程得或，
显然当时，原方程在上无实根，当时，原方程在上有一个实根，
当时，原方程在上有两个实根和1，
综上，当时，原方程只有两个实根，当时，原方程有3个实根，当时，原方程有4个实根，
所以实数的取值范围为.
故选：D
【点睛】
思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.
8．C
【分析】对求导，得到，再对进行分类讨论，求出函数的单调区间，再结合零点存在性原理即可求出结果.
【详解】因， 则，
当，，由，得到，只有一个零点，不合题意，
当时，因为恒成立，所以时，，时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又，，取且，则，
又由，得到，所以，此时存在2个零点，
当时，由，得到或，
若，即，当时，，所以在区间上单调递增，
又当时，，所以不存在2个零点，
若，即，当时，，当，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又当时，，所以不存在2个零点，
综上可得，实数，
故选：C.
【点睛】方法点晴：解决函数零点问题的常用思路，①函数零点函数图像与轴交点的横坐标对应方程的根；②零点存在性原理；③用导数研究函数的单调性，结合零点存在性原理解决.
9．C
【分析】先根据题意求得函数的解析式，再结合函数的对称性得到的方程，解方程，即可求得的值，得到答案.
【详解】由题意，函数，分别是奇函数和偶函数，且，
可得，解得，
则，所以为偶函数，
又由函数关于直线对称，
且函数有唯一零点，可得，即，
即，解得或.
故选：C.
10．AB
【分析】
转化为有唯一的解，构造函数，结合基本不等式，得到关于的方程有根，考虑与，结合根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得，存在实数使得有唯一的解，
令，其中，当且仅当，
即时，等号成立，
故关于的方程有根，
即，当时，，此时，满足要求，
当时，由得，，
综上，和满足要求.
故选：AB
【点睛】
方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：
（1）转化为函数最值问题，利用导数解决；
（2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；
（3）参变分离法，结合函数最值或范围解决.
11． 1
【分析】
根据函数特征可知将看成整体，即，再利用换元法根据函数奇偶性和单调性即可求得参数的值，进而解出不等式.
【详解】令，则，所以为偶函数；
又函数有唯一零点，由对称性可知，解得；
易知函数的图象关于对称，且在上单调递增，，
则不等式即为，由对称性可得.
故答案为：1，
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将看成是由和合成的函数，且两个函数都关于对称，再利用换元法判断出函数奇偶性和单调性即可求解.
12．或
【分析】
由已知函数有唯一零点，结合偶函数的性质，证明函数为偶函数，根据条件列方程求λ的值.
【详解】
因为函数有唯一零点，
所以函数有唯一零点，
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
所以，
所以函数为偶函数，又函数有唯一零点，
所以函数的零点为，
所以，
因为函数是定义在上的奇函数，所以，
又由可得，所以，
所以
解得或．
故答案为：或．
13．
【分析】设，则，为偶函数，根据函数的唯一零点得到，解得答案.
【详解】，
设，则，为偶函数，
函数有唯一零点，故，即.
故答案为：.
14．
【分析】根据偶函数的性质，可得，解得，再对的取值分两种情况讨论得解.
【详解】因为，又，所以函数为偶函数.
因为函数有一个零点，根据偶函数的性质，可得，所以，解得.
当，此时，知，有零点()，不符合题意：
当，此时在上单调递增，，根据偶函数对称性，符合题意；所以.
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键如何检验和，用零点存在性定理检验，利用函数的单调性检验.
15． 或
【分析】把方程中的换成，然后利用奇偶性可得另一方程，联立可解得；
令，可得为偶函数，
从而可得关于对称，
由函数有唯一零点，可得，从而可求得的值．
【详解】解：因为函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，
所以，
因为， ①
所以，
即， ②
①②联立，可解得．
令，则，
所以为偶函数，
所以关于对称，
因为有唯一的零点，所以的零点只能为，
即，解得或．
故答案为：；或．
【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，考查函数的零点，解题的关键是令，可得为偶函数，从而可得关于对称，由函数有唯一零点，可得，从而可求得的值，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题
16．
【分析】
根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，分类讨论，再结合根据根存在的条件即可判断的取值范围．
【详解】
（1）当时，即，
即，
若，则，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，即，
即，
若，则，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若，则，显然不成立；
综上，
当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为，
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
17．
【分析】
令，则只有一个零点，即，据此即可求解.
【详解】
函数的定义域为，令，
则只有一个零点，
且该零点为正数，，
根据函数和的图象及凹凸性可知，
只需满足即可，即：，
又因为，所以实数的取值范围是．
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题令，则只有一个零点，即的分析.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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