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压轴小题12 一组不等式的恒成立问题
【2024年3月济南市高三模拟考试 】
若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
根据题意直接代入两个端点求解参数范围，再验证该范围对题意成立的充分性即可.
解．首先代入边界条件，
然后相加得．
取等时．如果这是一个大题，下面要验证充分性：．
首先记，则，故．
再记，则，故．
这样充分性得证，最小值为．
1．若函数在上单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，
(1)讨论函数的单调区间；
(2)若在恒成立，求实数取值的集合.
3．设，函数的图象与直线相切，其中是自然对数的底数．
(1)求实数的值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
通过化简将原题转化为直线夹在两端曲线中间的问题，根据参数表示的意义以及图形的特征求解答案即可.
解：∵，∴．
令，对恒成立
∴在上单调递增，
令，对恒成立，∴在上单调递增
作出草图
显然当直线过和时有a的最小值．
，的最小值为
4．若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知函数，若恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C．2e D．
根据选择题的特征，找出选项中最小的值，直接代入检验原题成立即可得到答案！
解：依题意，结合选项知，当时，
记，则，．
在上单调递减，，即．
记，则，在上单调递增．
在上单调递减．
，因此此时，
满足题意，选A．
7．已知正数满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
8．已知在函数，，若对，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．设函数，若对任意，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，若关于x的不等式对一切正实数x恒成立，则当取最小值时，实数的值为 .
13．已知函数，若关于x的不等式（e是自然对数的底数）在R上恒成立，则a的取值范围 ．
14．已知，若恒成立，则实数的值为 .
15．已知对，不等式恒成立，则的最大值是 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】
根据题意可得在上恒成立，构建，结合定点分析运算.
【详解】因为，则，
由题意可得在上恒成立，
构建，则，
注意到，则，解得，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
若，因为，则，
可得；
若，因为，则，
可得；
综上所述：当时，在上恒成立，
则在上单调递增，可得，符合题意；
故实数m的取值范围为.
故选：D.
【点睛】
方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
2．(1)答案见解析
(2)
【分析】
（1）直接求导对参数分类讨论即可；
（2）先通过恒成立得到时取到极小值，求出的值，再通过构造新函数或者再求导验证取到的值的时候函数在时取到极小值.
【详解】（1）
当时，恒成立，此时在单调递增；
当时，令，解得，此时单调递减，
令，解得，此时单调递增，
所以当时在单调递增；
当时在单调递减，在单调递增；
（2）
由题意即在恒成立，
即在时恒成立，
又因为，所以当时，取得最小值.
因为，
则为函数在的一个极小值点，
所以，即 ，解得.
下面证明：当时，为函数在的一个极小值点
因为，.
法一：先证明时，
即证，即 ，
令，，
则，
所以当时，，
当时，，
所以恒成立，
从而恒成立，即在上单调递增，
又因为，所以在时恒成立，此时单调递减，
在时恒成立，此时单调递增，
所以为函数在的一个极小值点.
法二：因为，，
当时，，此时，
所以，所以此时单调递减，
当时，，此时 ，
所以 ，所以此时单调递增，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，所以在上单调递增，
又因为，所以在时恒成立，此时单调递减，
在时恒成立，此时单调递增，
所以为函数在的一个极小值点.
【点睛】方法点睛：导数问题一般可以先求出参数再去验证参数取值正确，该方法称之为必要性探路.
3．(1)
(2)
【分析】
（1）求导，根据导数的几何意义列方程，再根据函数的单调性解方程；
（2）根据的最值情况可知时，不等式恒成立，再构造，可知当时，根据导数可知在上单调递增，所以，成立，当时，二次求导可得，根据导数可确定当时，，即，不成立.
【详解】（1）由，得，
设切点为，
则，
消去得，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，
当时，，
所以若，则，
所以；
（2）由（1）得，，
且，
所以函数在单调递增，
所以，
对于当时，恒成立，
当时，，所以恒成立；
若当时，恒成立，
则在恒成立，
，，
当时，，，
所以在上单调递增，所以，成立；
当时，设，，
在上恒成立，
所以在上单调递增，
因为，，
所以，使，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，
所以当时，，即，与题设矛盾，
综上所述：
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
4．C
【分析】
将题干中的不等式变形为，由题意可知直线恒位于函数图象的上方，函数的图象的下方，代表直线在轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过且与曲线相切时，最小，设切点坐标为，求出的值，即可得出的最小值.
【详解】
令，其中，则，
当时，，则函数在上单调递增，且，
令，则，
因为函数在上单调递增，
，，
所以，存在，使得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，如下图所示：
由题意得，
直线恒位于的图象上方，的图象下方，
代表直线在轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过且与曲线相切时，最小．
设切点为，则，
整理可得，
令，则，
，
而当时，，，
所以，，
所以当时，，则函数在上单调递增，
所以有唯一的零点，
所以，此时直线方程为，故.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的最值，解题的关键在于将不等式变形为，通过作出图象，找出直线与函数相切时，最小，然后利用导数法进行求解.
5．C
【分析】
讨论的取值范围，利用函数图象，结合导数求出，构造函数，利用导数求出函数的最值，进而得解.
【详解】
设，，
若，对任意恒成立，则，对任意恒成立，
当时，在同一坐标系中作出函数的图象，
显然，由图可知，对任意不恒成立；
当时，在同一坐标系中作出函数的图象，
由图可知，临界条件是直线与曲线的图象相切时，
由，求导，
设，解得，且，
∴当的切线斜率为1时，切点坐标为，
故，所以
即
两边同除以，，令
求导
令，得，即
当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，
所以当，函数取到最大值，且
故的最大值为
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立求参数取值范围问题，需要结合图象分类讨论，构造函数将问题转化，考查数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是难题.
6．C
【分析】
根据题意转化为函数与直线的位置关系，以相切为临界，利用导数求过点的切线斜率，结合图象即可得结果.
【详解】
由题意可得：，则，
当时，则；当时，则；
故在上单调递减，在上单调递增，
若与直线相切时，设切点为，则切线斜率，
所以该切线方程为，
注意到切线过点，则，
整理得，解得或，
当时，；当时，；
结合图象可得实数a的取值范围为，即实数a的最大值为2e．
故选：C．
【点睛】
方法定睛：根据过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直等求参数问题的解法：利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．
7．A
【分析】
不等式可化为，分别构造函数，利用导数求出函数的最大、最小值，由不等式左边最小值等于右边的最大值，建立方程即可得解.
【详解】由，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，故，
当且仅当，即时取等号；
设，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
当且仅当时取等号，
又，则，
此时，则.
故选：A
【点睛】关键点点睛：不等式中含有不相关的双变量，据此分别构造不同的函数，利用导数求最值是关键之一，其次根据不等式左边的最小值与不等式右边的最大值相等，由不等式成立得出方程是关键点之二，据此建立方程求解即可.
8．B
【分析】令，即，求导分析单调性可得，即，令，求导分析单调性，求即可
【详解】由题意，
令，
则，恒成立，即恒成立，即
令
令，即在单调递增；
令，即在单调递减.
令
令，即在单调递增；
令，即在单调递减；
故选：B
9．A
【分析】
不等式等价于，原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，等价于存在实数，，不等式成立，分别讨论，，，的情况，先求出，再求出即可解决问题.
【详解】不等式等价于即，
原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，
等价于存在实数，，不等式成立，
记，则，
（1）当时，对任意，恒成立，即在上单调递减
①当，即时，，
②当，即时，，
从而当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；
（2）当时，令，解得，
在区间上单调递增，在上单调递减，
，，，
①当时，此时，
当即时，，
当即时，，
从而当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增,
所以；
令，则，，记，
则，
当时，恒成立，
即在区间上单调递减，即，
即；
②当时，此时，
当即时，，
当即时，，
从而当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以；
（3）当时，对任意，恒成立，即在上单调递增，
①当，即时，，
②当，即时，，
从而当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；
综上所述，，
所以.
故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
10．A
【分析】
求出函数的导数，就、分类讨论导数的符号后可求参数的取值范围.
【详解】函数的导函数，
考虑到，因此讨论分界点为．
情形一：当时，可得对任意实数，有，
符合题意．
情形二：当时，，而单调递增，
所以必然存在唯一正实数使得，
此时在区间上有单调递减，而，不符合题意．
综上所述，实数a的取值范围是．
故选：A.
11．A
【分析】
令，由题意可知：对任意恒成立，且，可得，解得，并代入检验即可.
【详解】
令，则，
由题意可知：对任意恒成立，且，
可得，解得，
若，令，
则，
则在上递增，可得，
即对任意恒成立，
则在上递增，可得，
综上所述：符合题意，即实数的取值范围为.
故选：A.
12．
【分析】
将不等式转化为两个函数图象的问题，再结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】不等式对一切正实数恒成立，
即直线恒在曲线的上方．

当最小，即直线与交点的纵坐标最小．
根据图象可知，
当时，,
所以当直线与曲线相切于点时，取最小值.
因为，所以，所以.
故答案为：
13．
【分析】
首先画出函数的图象，再利用数形结合，通过直线与的图象相切时的临界值，即可求解的取值范围.
【详解】在上恒成立，等价于的图象恒在直线的上方，
，两边平方后得，
所以的图象是以为圆心，半径为1，并且在轴的下半部分的半圆，
，，得，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
当时，函数取得最小值，
如图，画出函数的图象：
直线恒过定点，当直线与相切时，
设切点，
，可得，由，解得：，
则切线的斜率为2，
当直线与，相切时，直线与半圆相切，由，解得：，
由图可知，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确画出函数的图象，并会根据直线与曲线相切，求直线的斜率.
14．
【分析】
根据必要性探路，构造函数，发现，故，得，再证当时，，即可求解.
【详解】解：恒成立，即恒成立，
令，又, 所以，
故是的极小值点，
又所以，，解得：，
下证：当时，，
所以，，
又恒成立，故当时,单调递增，当时，,单调递减，
所以，
综上，，
故答案为：
【点睛】思路点睛：对于恒成立含参问题,可以采取必要性探路解决，即先通过特殊点，求出不等式成立的必要条件，再证充分性，即可.
15．
【分析】
由不等式恒成立，求得，故，只需求的最大值即可.
【详解】
下面证明当时不成立：当时，原不等式变形为，，
若，则，而当时，原不等式不成立；
若，当时，，取，则，，原不等式不成立，
故当时不成立，所以.
不等式可化为，
令，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，，即，
所以，
令，则令可得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故，即，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解答本题的思路是将不等式可化为，然后再构造函数，并对其进行求导，求出函数的最小值为，即，然后求出目标函数的最大值为，即，所以求出的最大值是．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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