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压轴小题9 立体几何中折线长度最值问题
【2024年广东省广州六中高考数学一调试卷】已知正三棱锥的底面边长为，外接球表面积为，点分别是线段的中点，点分别是线段和平面上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
根据外接球表面积求得外接球半径，进而求得三棱锥的高，并推出侧面为等腰直角三角形，作辅助线，将两个三角形展开到同一平面计算最短距离．将转化为一条线段，从而确定最小时的线段的位置，再结合三角函数值，解直角三角形从而求得答案．
依题意，，解得，
由 是正三角形可知：其外接圆半径为 ，
设点S到平面ABC的距离为h，故，
解得或，+
则或（舍去），
故，则 ，而 ，故 为等腰直角三角形， ，
故 为等腰直角三角形，，则 ，
又 ，故平面SCM，
取CB中点F，连接NF交CM于点O，则 ，则平面SCM ，
故平面SCM，则，
要求最小，首先需PQ最小，此时可得平面SCM，则；
再把平面SON绕SN旋转，与平面SNA共面，即图中 位置，
当共线且时，的最小值即为的长，
由 为等腰直角三角形，
故，，
∴，即，∴，
可得，，
故选：B．
（21-22高一·全国·单元测试）
1．已知三棱锥的各棱长都相等，，为上一点，且的最小值为，则该棱锥外接球的体积为
（19-20高二上·山西·期中）
2．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，为线段上的动点，则的最小值为 ．
通过引入变量，设利用直角三角形的边角关系、相似三角形的性质得出，把这类问题转化为函数，利用导数求出函数最小值，即可利用代数方法求解．
同解法一可得，则，
设，
则，
由知得，
即，化简得，
，
设，
则，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以．故选：B．
（2023·湖南长沙·模拟预测）
3．已知底面边长为a的正四棱柱内接于半径为的球内，E，F分别为，的中点，G，H分别为线段，EF上的动点，M为线段的中点，当正四棱柱的体积最大时，的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
（2024·湖南长沙·模拟预测）
4．四棱锥的底面为正方形，PA与底面垂直，，，动点M在线段PC上，则（ ）
A．不存在点M，使得
B．的最小值为
C．四棱锥的外接球表面积为5π
D．点M到直线AB的距离的最小值为
（23-24高三上·贵州安顺·期末）
5．如图，在棱长为2的正方体中，点E、F、G、H分别为棱、、、的中点，点M为棱上动点，则（ ）

A．点E、F、G、H共面 B．的最小值为
C．点B到平面的距离为 D．
（2023·河南·三模）
6．已知正方体的棱长为2，，，，.点P是棱上的一个动点，则（ ）
A．当且仅当时，平面DMN
B．当，时，平面
C．当时，的最小值为
D．当时，过B，M，N三点的截面是五边形
（23-24高三上·福建福州·期中）
7．在四棱锥中，底面为矩形，平面，则以为球心，以为半径的球，被底面截得的弧长为 ；若是上的动点，则的最小值为 ．
（20-21高一下·湖北十堰·期末）
8．如图，在正四棱锥中，.从拉一条细绳绕过侧棱和到达点，则细绳的最短长度为 .
（19-20高二上·浙江·期中）
9．如图，棱长为1的正方体中，为的中点，为对角线上的动点，为棱上的动点，则的最小值为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】先把侧面和展开到同一平面中，利用的最小值为求出三棱锥的棱长，再找到外接球的球心，利用勾股定理建立半径的关系，求出半径，进而求出体积.
【详解】将三棱锥的侧面和展开到同一平面中，
如图所示，设，则三棱锥的各棱长均为，
在中，，，，
由余弦定理得的最小值为：
，解得，
还原回三棱锥，如图所示，
设底面的中心为，外接球的球心为，
连接、、，则，，
设三棱锥的外接球半径为，
则，∴，外接球体积.
故答案为：.
2．
【分析】根据长度关系得到，，将翻折至与平面共面，如图所示，得到当为与的交点时，取得最小值，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】平面 ，，平面
易知：，，
在中，.
利用余弦定理得到：，所以.
将翻折至与平面共面，如图所示：
则图中，
当为与的交点时，取得最小值.
此时，.
故答案为
【点睛】本题考查了立体几何中的最值问题，将立体问题转化为平面问题是解题的关键，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
3．B
【分析】
求出正四棱柱的高，表示出体积，用导数求得最大值，得正四棱柱为正方体，的最小值就是点G到EF的距离，为的中点（即与的交点）时，，然后两个，沿展开翻折至共面．如图，当M，G，H三点共线时，最小，由此计算可得．
【详解】
正四棱柱的高．
，令，
则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的最大值为．
当时，，此时正四棱柱为正方体．
的最小值就是点G到EF的距离，
由正方体的性质知，，（因为正方体的棱与底面垂直，因此与底面内的直线垂直），与是平面内两相交直线，
因此平面，
而E，F分别为，的中点，因此，所以平面，
易知当H为EF的中点时，，平面，所以，
动线段GH，GM分别在，内，将两个平面沿展开翻折至共面．如图，当M，G，H三点共线时，最小，可得，又因为M为线段的中点，
所以．
故选：
【点睛】
方法点睛：求空间线段之和的最小值问题，常用方法是把两条线段所在平面剪开摊平到一个平面，利用平面上两点间线段最小的性质求解，这里动点一般在两个平面的交线上，沿此交线摊平两个平面是基本思路．
4．BD
【分析】
当点为中点时，利用垂直关系的转化，即可判断A；利用展开图，利用数形结合求的最小值，即可判断B；利用几何体与外接球的关系，即可求解球心，并求外接球的表面积，即可判断C；利用异面直线的距离的转化，即可判断D.
【详解】对于A：连接BD，且，如图所示，当M在PC中点时，
因为点O为AC的中点，所以，因为平面ABCD，
所以平面ABCD，又因为平面ABCD，所以，
因为ABCD为正方形，所以．
又因为，且BD，平面BDM，所以平面BDM，
因为平面BDM，所以，所以A错误；
对于B：将和所在的平面沿着PC展开在一个平面上，如图所示，
和是全等的直角三角形，，，
连结，，
则的最小值为BD，直角斜边PC上高为，即，
直角斜边PC上高也为，所以的最小值为，所以B正确；
对于C：易知四棱锥的外接球直径为PC，
半径，表面积，所以C错误；
对于D：点M到直线AB的距离的最小值即为异面直线PC与AB的距离，
因为，且平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，
所以直线AB到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离，过点A作，
因为平面ABCD，面，所以，
又，且，面，
故平面PAD，平面PAD，所以，
因为，且PD，平面PCD，所以平面PCD，
所以点A到平面PCD的距离，即为AF的长，如图所示，
在中，，，可得，
所以由等面积得，即直线AB到平面PCD的距离等于，所以D正确，
故选：BD．
5．ACD
【分析】根据题意建立空间之间坐标系，利用平面向量基本定理可对A判断，利用向量的垂直表示可对D判断；利用正方体面展开图可对B判断；利用等体积法可对C判断.
【详解】如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，

对A：，，，
设，即，解得，，
所以共面，故A正确．
对B：将正方体沿剪开展开如下图，连接交于一点，此点为点，
此时为最小值，故B错误；

对C：由等体积法可知，即，
由，，求解得，故C正确.
对D：，，，
，则，所以，故D正确.
故选：ACD.
6．ABC
【分析】建立空间直角坐标系利用坐标法可判断AB；转化为平面中距离最短问题判断C；利用平面性质作出截面判断D.
【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，
因为，，，，所以，
对于A，，，
若平面DMN，则，
所以恒成立，
，解得，
故当且仅当时，平面DMN，正确；
对于B，当，时，，，
因为平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，所以为平面的一个法向量，
因为，所以，
又平面，所以平面，正确；
对于C，将平面和平面展开成一个平面，连接，如图，

由三点共线时距离之和最小，即，显然当时，
最小为的高h，对于，利用面积相等得
，即，解得，所以，正确；
对于D，当时，M，N分别为，的中点，连接，如下图所示，
过点B作AC的平行线交延长线于点，交于点，连接并延长，交于点，
交于，连接并延长，交于点，根据对称性在直线上，连接，
因为M为中点，N为中点，所以，又因为，所以，
所以共面，此时，
四边形为截面，所以截面为四边形，错误.

故选：ABC
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
7． ##
【分析】
以为球心，以为半径的球与底面的交线为以为圆心，为半径的圆弧，求出圆心角即可求出弧长，将面翻折到与平面共面，连接交于点，此时取得最小值为，再在平面四边形中求出的长度，即可得解.
【详解】
因为平面，底面为矩形，则以为球心，以为半径的球与底面的交线为以为圆心，为半径的圆弧，
在上取一点，使得，连接，则的长度即为以为球心，以为半径的球，被底面截得的弧长，
由，，所以，则，所以，
则的长度为，
即以为球心，以为半径的球，被底面截得的弧长为，
将面翻折到与平面共面，连接交于点，此时取得最小值为（平面图形如下所示），
因为，，，所以，，
，，，
所以，又，
所以，，
所以
，
又
，
所以（负值舍去），
即的最小值为.
故答案为：；
【点睛】关键点睛：对于处理线段和最值问题，一般是化折为直，利用两点间线段最短解决.
8．
【分析】将图形展成平面图形，进而解三角形PAD即可求得答案.
【详解】如图﹐将侧面侧面侧面展开到一个平面内，
由题意可知，，
设则，从而，
由二倍角公式可得，则.
由余弦定理可得，则.
故答案为：.
9．
【分析】将三角形和三角形展开成平面图形，点到直线的距离，也即的最小值.
【详解】将三角形和三角形展开成平面图形如下图所示.过作，交于，交于，则是的最小值.过作，交于.三角形和三角形是全等的直角三角形.设，则，所以.所以.所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查空间线段和的最小值的求法，考查空间想象能力，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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