资源简介

压轴小题8 四棱锥中的线面角问题
【名校联盟全国优质校2024届高三大联考】如图，在中，，在直角梯形中，，，，，，二面角的大小为，若，则直线与平面所成角的正弦值最大值为______．
根据题意以和过点垂直于平面的直线建立空间直角坐标系，可知为二面角的平面角，设出点的坐标，由线面角的空间向量法求解最值．
如图，以和过点垂直于平面的直线建立空间直角坐标系，
则
由，，可知为二面角的平面角，
又，，
设，，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
其中，，
当且仅当，即时，取得最大值，
则的最大值为．
故答案为：
（2024·河北沧州·一模）
1．如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，则直线与平面所成角的余弦值的最小值为 ．
（2023·福建厦门·模拟预测）
2．在中，，若空间点满足，则的最小值为 ；直线与平面所成角的正切的最大值是 .
法一：由面得出为二面角的平面角，通过线段比例将点C到平面的距离转化为点到平面距离的2倍，到平面的距离为点到平面距离的2倍，从而得出，设直线与平面所成角的平面角为，由结合换元法、基本不等式得出最值．
法二：过点作垂直于点，利用为二面角的平面角结合几何关系得出，进而由等体积法得出点C到平面SED的距离，由结合换元法、基本不等式得出最值．
法一：通过线段比例转化点面距
因为，，，所以面，
所以为二面角的平面角．
由，可得．
如图在底面中延长交于点．
在中，由，得是中位线，
又．
又交平面与点，所以点到平面的距离为点到平面距离的2倍．过点作垂直于点，因为面，所以面面，且面，所以面．
所以即为点到平面的距离．
在中可得．
从而可得点到平面的距离为．
由得
．
设直线与平面所成角的平面角为．
则．
因为，所以．
所以．
令，因为，得，
所以
，
当且仅当时取“”号．
直线与平面所成角的正弦值最大值为．
法二：等体积法求点面距
过点作垂直于点．
因为．
所以为二面角的平面角．
由，可得．
因为，，．所以面
又因为面，所以．
又因为，，所以平面，
在中有．
设点到平面的距离为，则有
代入计算得，
化简得，故点到平面的距离为．
由得
．
设直线与平面所成角的平面角为．
则．
令，因为，得，
所以
，
当且仅当时取“”号．
直线与平面所成角的正弦值最大值为．
（20-21高二上·浙江杭州·期末）
3．已知正的顶点在平面上，顶点、在平面的同一侧，为的中点，若在平面上的投影是以为直角顶点的三角形，则直线与平面所成角的正弦值的最小值为 .
（22-23高三上·江苏南京·期末）
4．在三棱锥中，，且，则直线PC与平面ABC所成角的余弦值为 .
（23-24高二上·河南新乡·期中）
5．如图，在圆柱中有一内接正六棱柱，圆柱的高为，底面半径为，上、下底面的中心分别为，点在上底面的圆周上运动，若直线与平面所成角的正弦值的最小值为，则 ．
（2021·湖南永州·模拟预测）
6．已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是 ；直线与直线所成角的取值范围为 .
（2022·全国·模拟预测）
7．已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，且平面是边上一动点，直线与平面所成角的正切值的最大值为，则球的表面积为 .
（21-22高二上·浙江·期末）
8．如图，在中，，，所在平面垂直平面，正方体的棱为的斜边，M为中点，在正方体绕棱旋转过程中，直线与平面所成角的正切值的最大值为 ．
（17-18高二上·浙江衢州·期末）
9．如图，矩形与所成的二面角的平面角的大小是，，，现将绕旋转一周，则在旋转过程中，直线与平面所成角的取值范围是 ．
（22-23高二上·山东烟台·阶段练习）
10．三棱锥的所有棱长均为2，点M在棱BC上，满足，点N在棱BD上运动，设直线MN与平面ABC所成角为，则的最小值为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，设出未知点的坐标，利用向量法求线面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.
【详解】连接，过作垂直于的延长线于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：
在三角形中，因为，
故，则，
则，，故点；
又，设点，由，则可得；
，
设平面的法向量，
则，即，取，则，
故平面的法向量，又，
设直线与平面所成角为，
则
因为，且，故令，
则
又，故，，也即，
故的最大值为，又，故的最小值为.
即直线与平面所成角的余弦值的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题用向量法处理线面角的求解，结合问题的关键一是，能够准确求得的坐标，二是能够根据，求得的范围；属综合困难题.
2．
【分析】
根据空间点满足的条件可知点在以直线为旋转轴，底面圆半径为的圆柱上，即可求得的最小值；建立空间直角坐标系利用空间向量求得直线与平面所成角的正弦值的表达式，再利用换元及基本不等式即可求得结果.
【详解】过点作与点，过点作与点，如下图所示

又，则，又，则，
即点为空间中到直线的距离为，
所以点在以直线为旋转轴，底面圆半径为的圆柱上，如图所示

易知当点与点三点共线时，最小，
且最小值为；
以所在平面为，建立空间直角坐标，如下图所示：

则平面的法向量为，不妨设与轴正方向夹角为，
则，，
即，
当，且时，最小，即当点与点三点共线时，最小，且最小值为；
记直线与平面所成角为，则，
因为，所以，
令，则，则，
而，
所以，当且仅当，等号成立，
此时，
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知条件确定空间中点的轨迹，再利用空间向量解决线面角取值范围的问题.
3．.
【分析】本题首先可结合题意绘出图像，设、以及，然后根据投影的相关性质得出以及，结合线面角的相关性质得出即直线与平面所成角，再然后根据得出，根据得出，从而求出，最后根据以及基本不等式即可求出最小值.
【详解】如图，结合题意绘出图像，即在平面上的投影，
作平面于点，连接，
设，，，则，
因为即在平面上的投影，为的中点，
所以点在线段上且点是线段的中点，，
因为是以为直角顶点的三角形，所以，
因为平面于点，所以，即直线与平面所成角，
因为，，，
所以，
因为，即，
联立，解得，
则，
当且仅当时等号成立，直线与平面所成角的正弦值的最小值为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查线面角的正弦值的求法，能否结合线面角的性质确定线面所成角是解决本题的关键，考查勾股定理的灵活应用，考查通过基本不等式求最值，考查计算能力，考查数形结合思想，是较难题.
4．
【分析】
先利用线面垂直的判定定理与性质定理证得面，从而得到为直线PC与平面ABC所成角的平面角，再利用余弦定理与勾股定理求得，从而求得，由此得解.
【详解】记的中点为，连结，过作交的延长线于，如图，
因为，为的中点，所以，
因为，，，所以，则，
又为的中点，所以，
因为面，所以面，
又面，所以，
因为，面，所以面，
所以为直线PC与平面ABC所成角的平面角，
不妨设，
在中，，则，，
在中，，
在中，，则，
即，故，
在中，，
所以在中，，
又，则，即，
所以，
所以，
故直线PC与平面ABC所成角的余弦值为.
故答案为：.
5．
【分析】
用向量法解决直线与平面的夹角问题，结合三角函数解决最值问题.
【详解】
取的中点，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，设，
则，.
设平面的法向量为，则
，，
可取，因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为
，
当时，直线与平面所成角的正弦值取得最小值，
则，则.
故答案为：
6．
【分析】设A在面内的投影为E，故E为三角形的中心，设正四面体的棱长为x，球O的半径为R，球心O在上，列式求出得 ，则可求出 ，，推导出P的轨迹为平面内以E为圆心，为半径的圆，三点共线时，且P在之间时，可求得的最小值；以E为圆点，所在直线为x轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线与直线所成角的取值范围．
【详解】在正四面体中，设A在面内的投影为E，故E为三角形的中心，
设正四面体的棱长为x，球O的半径为R，
则 ，
依题意正四面体内接于半径为的球中，故球心O在上，
设球的半径为R,则，
即，解得 ，（舍去），
则，，
又，
故P的轨迹为平面 内以E为圆心，为半径的圆，
而，当三点共线时，且P在之间时，最小，最小值是；
以E为圆心，所在直线为x轴，在底面内过点E作的垂线为y轴，为z轴，建立如图所示直角坐标系，
则,,,，
设，，
故，,
设直线与直线所成角为，
,
因为，故，故，
又，故，故，
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：求解的最小值时，关键在于根据正四面体中的相关计算，确定点P的轨迹为以E为圆心，为半径的圆，结合圆的几何性质，即可求得答案.求解直线与直线所成角时，将问题转化为利用向量的夹角公式求解，关键是要明确向量的夹角与直线所成的角之间的关系.
7．
【分析】
根据题意，结合线面角的定义求得的最小值，从而确定的形状，再利用直三棱柱的外接球的性质即可得解.
【详解】将三棱锥放入直三棱柱，则两者外接球相同，
取底面的外心为，连接，取其中点为，连接，如图所示，

平面，则为直线与平面的所成角，
又直线与平面所成角的正切值的最大值为，
所以，则，此时，
在中，，
，
是边长为的等边三角形，
，又，
则球的表面积为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
8．
【分析】取中点，根据可将问题转化为直线与平面所成角的正切值最大值的求解；过作平面，明确所求角为，设，利用线面垂直的判定和性质可知，由此得到，由此确定当时，正切值最大，从而得到结果.
【详解】取中点，连接，
，，四边形为平行四边形，，
直线与平面所成角即为直线与平面所成角；
设，则，，
过作平面，垂足为，则直线与平面所成角为，
平面，，
，，，，，
又平面，，平面，
平面，，
，
当，即平面时，取得最大值，最大值为，
即直线与平面所成角的正切值的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与平面所成角的最值的求解，解题关键是能够通过平移直线明确直线与平面的交点，从而利用线面垂直关系确定所求的线面角.
9．
【分析】
根据给定条件，确定所得旋转体的结构特征，作出平面截旋转体所得轴截面，再借助二面角的定义求出范围作答.
【详解】
绕旋转一周所得旋转体是一个以AD为底面圆半径，高为AB的圆锥，如图，
依题意，，则是矩形与所成的二面角的平面角，即，
平面FAB截圆锥BA得圆锥轴截面，中，，则，
从而得，
而平面，平面，有平面平面，因此直线是直线在平面内的射影，
则分别是二面角与二面角的平面角，
因此是直线与平面所成的最小角，的邻补角是直线与平面所成的最大角，而，
所以直线与平面所成角的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的几何体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.
10．
【分析】设中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，可得，利用线面角的向量求法，结合二次函数的性质即得.
【详解】取中点，连接，
三棱锥各棱长均为，
在底面内的投影为的中心，，
以为坐标原点，正方向为轴，作的平行线作为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
，
因为平面的一个法向量，
设，，
，，
即，
，
；
当时，，；
当时，，
设，则，
当时，，
，
；
综上所述：的最小值为.
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑