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压轴第6题 利用导数求两动点的距离最值
【华附、深中等四校2024年联考】在同一平面直角坐标系中，分别是函数和函数图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数的最大值为______.
【答案】
【分析】由得，令，利用导数求得最大值，并得到，进而利用数形结合法可知，的最小值为圆心到直线的距离减去半径，再求出等号成立的条件，从而得到实数的最大值.
【详解】由，整理得，
即在圆心，半径为1的半圆上.，
令，则，又，
所以，当时，，则为单调递增，
当时，，则为单调递减，
综上可知，在处取得极大值，也是最大值，即，
于是，即，
当且仅当时，等号成立，
所以曲线的一条切线为，
数形结合可知，当分别为对应切点，且与两切线垂直时取得最小值，
即的最小值为圆心到直线的距离减去半径，
即的最小值为.
过圆心与垂直的直线方程，
所以，当且仅当即时取到最小值.
综上所述，，而恒成立，
所以，则的最大值为.
故答案为：.
【感悟反思】易知的图象是半圆，对于，由切线放缩得，不论的值如何变化，总有，这样只需求半圆上的点到直线的距离最小值，即圆心到直线的距离减去半径.注意：是一条定直线，如果不是定直线，那么本解法的逻辑就有问题了.
【试题总评】本题设计十分巧妙，关键是对解析式的处理，用切线放缩化，将问题转化为半圆上的动点到定直线距离是难点.要求考生对常见函数的切线放缩公式掌握得较为熟练，如果本题用两点间距离公式硬算，其计算难度真的令人望而生畏，根本无法计算到底.这类问题的一般解法有：1、数形结合（例如本题的切线放缩），2、直接代数法求导硬算.
【变化角度】将曲线变为直线，如：（2021·四川成都·二模）已知是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
【思路分析】先表示出最小值，利用导数判断单调性，求出取最小值时对应的x.
【详解】设，点在直线上，
当取最小值时，垂直于直线.
此时
记，最小时，最小.
当时，
∴时，，有，∴单减；时，，有，∴单增；
∴当时，最小时，最小.
故选：C
【举一反三】
（2016·江苏·一模）
1．若点分别是曲线与直线上的动点，则线段长的最小值 .
（17-18高二上·河北保定·期末）
2．函数与的图象关于直线对称，分别是函数图象上的动点，则的最小值为
【变换角度】将最大值变为最小值，如：（21-22高二下·重庆巴南·阶段练习）已知函数，，下列结论正确的是（ ）
A.函数在上单调递增
B.函数的最小值为2
C.若、，分别是曲线和上的动点，则的最小值为
D.若对恒成立，则<
【思路分析】A选项直接由导数判断即可；B选项先求导确定极小值点，极小值即为最小值，再结合基本不等式判断即可；C选项利用图像关于直线对称，借助切线求解即可；D选项先通过构造函数将不等式转化为，再参变分离求解即可
【详解】对于A：由函数，则，令，可得在上恒成立，则在上单调递增，而，故在上恒成立，即在上单调递减，故A错误；
对于B：因为，故存在，使得，所以，解得，所以当时，，即函数单调递减，当时，，即函数单调递增，
所以，因为，所以，故B错误；
对于C，因为函数与函数的图象关于直线对称，所以当直线分别和两函数图像相切时其距离最小.曲线与直线相切于点，函数与直线相切于点，则的最小值为，故C正确；
对于D，若对恒成立，则对恒成立，即，可设，易可知在上单调递增，则可化为，即，可设，，可知在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，则，解得，又因为，所以，故D正确.
故选：CD.
【举一反三】
（2023·河南·模拟预测）
3．已知动点M，N分别在抛物线：和圆：上，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
（18-19高二下·安徽黄山·期中）
4．点是曲线上的一个动点，点是曲线上的一个动点，则的最小值为．
A． B．
C． D．
（湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研数学试题）
5．在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为 ．
（河北省2024届高三上学期学生全过程纵向评价（一）数学试题）
6．在同一直角坐标系中，分别是函数和图象上的动点，若对于任意.都有恒成立.则实数的最大值为 .
（山西省吕梁市2023-2024学年高三第一次模拟考试数学试题）
7．已知分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为 ．
（22-23高二下·辽宁铁岭·期末）
8．已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是 ．
（22-23高二下·上海奉贤·期末）
9．已知点是函数图像上任意一点，点是曲线上一点，则、两点之间距离的最小值是 .
（22-23高二上·福建莆田·期末）
10．点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值是，则实数a的值是 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．##
【分析】
将问题转化为直线到到与其平行的曲线上的切线的距离，从而利用导数的几何意义与平行线间的距离公式即可得解.
【详解】
依题意，设直线的平行直线方程为，且与相切，
当线段长取得最小值时，为直线与的切点，
因为，所以，
又直线的斜率为，所以，解得，
当时，，则，
此时两直线、间距离为；
当时，，则，
此时两直线、间距离为；
故线段长的最小值为.
故答案为：.
2．2
【分析】根据函数和的图象关于直线对称，则利用导数求出图象上的点到直线的距离的最小值，从而求得的最小值.
【详解】由，得，
因为和的图象关于直线对称，
所以图象上的点到直线的距离的最小值的2倍，即为的最小值，
平移直线恰好与图象相切，设切点为，

则，得，
令，则，
所以在上单调递增，
因为，所以有唯一的零点，
所以方程有唯一的解，而，所以切点为，
所以图象上的点到直线的距离的最小值为，
所以的最小值为.
故答案为：.
3．A
【分析】
由圆的性质可得，根据两点间的距离公式结合抛物线的方程整理可得，构建函数，利用导数求其最小值，进而可得结果.
【详解】设，则，即，
由题意可得：，
∵，
令，则在R上单调递增，且，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，则，
即，，则.
故选：A.
4．A
【解析】先由与互为反函数，得到两函数图像关于直线对称；因此只需两点关于直线对称，点到直线距离最小时，最小；设，根据点到直线距离公式、以及导数的方法求解即可.
【详解】因为与互为反函数，所以两函数图像关于直线对称；点是曲线上的一个动点，点是曲线上的一个动点，所以只需两点关于直线对称，点到直线距离最小时，最小；
设，
由点到直线的距离公式可得，
点到直线距离，
令，
则，
由可得：；由可得：，
所以在上单调递减，在上单调递增；
故,
所以，因此的最小值为.
故选A
【点睛】本题主要考查导数的应用、以及函数图像的对称性，熟记导数的方法求函数的最值，灵活掌握点到直线距离公式等，即可求解，属于常考题型.
5．
【分析】
利用同构思想构造，得到其单调性，得到，再构造，，求导得到其单调性及其最小值，设设，利用基本不等式得到，求出答案.
【详解】
，令，，
则
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故在处取得极小值，也是最小值，故，
故，当且仅当时，等号成立，
令，，
则，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，故当时，，当时，，
故时，，单调递减，当时，，单调递增，
故在处取得极小值，也时最小值，最小值为，
设，
由基本不等式得，
，
当且仅当，，时，等号成立，
故，则．
故答案为：
【点睛】
导函数求解取值范围时，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题变形得到，从而构造进行求解.
6．
【分析】
根据题意分析可得，整理得，分析可知值域为，构建，，利用导数判断其单调性和最值，结合恒成立问题分析求解.
【详解】
因为图象即为直线，
则到直线的距离，
可知：，
又因为，
由，可知在上单调递增，
则在上单调递增，
且当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，
所以值域为，
构建，，则，
令，解得；令，解得；
可得在上单调递增，在上单调递减，
则在处取得极小值，也是最小值，即，
可知，可得，
所以实数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
关键点睛：导函数求解取值范围时，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题变形得到，从而构造进行求解.
7．
【分析】先求出到直线的距离，则，再利用导数求出函数的最小值，即可得解.
【详解】
点到直线的距离，
则，
又，
由知，和在上单调递增，
所以在上单调递增，其值域为，
又，令，
令，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
因为对任意的，都有恒成立，所以，
所以实数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
8．
【分析】
分析函数单调性得图象，确定A，B两点之间距离的最小值的情况，利用导数的几何意义可得切线方程，从而求得最小距离.
【详解】由题意可得，令得
所以当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，所以，
所以的图象如下图：

要使得A，B两点之间距离最小，即直线与平行时，当直线与曲线相切时，
与的距离即为A，B两点之间最小的距离，
令，解得．由，
所以直线的方程为，即
则与的距离的距离，
则A，B两点之间的最短距离是．
故答案为：．
9．
【分析】
依题意可得曲线表示圆心为，半径的圆，由距离公式表示出，令，利用导数说明函数的最小值，即可求出的最小值，最后由计算可得.
【详解】曲线表示圆心为，半径的圆，
则，
令，则，
令，则，
所以单调递增，又，
所以当时，即，即在上单调递减，
当时，即，即在上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，即，
所以，
所以.
故答案为：
10．
【分析】首先确定点线距离最小时点的位置，再由导数的几何意义求点坐标，最后应用点线距离公式表示出最小距离，列出方程即可求解.
【详解】由题设且，
令，即；令，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
且，如图所示，
当为平行于并与曲线相切直线的切点时，距离最近.
令，可得（舍）或，
所以，则曲线上切线斜率为1的切点为，
所以，即（舍去）或，
故答案为：.
答案第1页，共2页
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