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压轴第10题 递推数列问题（一题多变）
（2023-2024学年温州市普通高中高三期末统一考试）已知数列满足，
若，，则的值可能为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】对于选项，易得数列为周期数列，利用周期求解即可；
对于选项，容易通过等差中项公式得数列为等差数列利用等差数列通项公式求解．
对于选项C，需要利用特征根法求解，再利用迭代法、配凑法求通项．
对于选项D，易观察出每两项的和为定值来求解．
【解答】逐项验证
对于选项A：当时，
，两式相减得，
即周期为2，所以，
不符合题意，故选项A错误；
对于选项B：当时，，即为等差数列，
由得，故选项B正确；
对于选项C：当时，，①
设，即，
与①式比较，可令，解得：，或．
所以
解得，所以，
选项C正确；
对于选项D：当时，，
则，是首项为3，公比为的等比数列，
，相减得，
所以的偶数项构成首项为2，公差为6的等差数列，
所以，则选项D正确．
综上：选BCD．
【总评】本题涉及到递推公式、等差中项和等差数列、配凑法、特征根法、迭代法、周期性等，考察学生的综合能力，该题实际上属于利用递推公式求通项公式的各种形式的大杂烩考察学生对这一专题的基本功，个别选项对于计算准确度和速度要求较高．对于等差、等比数列的基本概念的理解要求较高但是又不至于让学生无从下手，只不过要选全需要花一定的时间.
三项递推关系改为两项
【变化角度】将三项递推关系改为两项递推关系，如下题：
（2023浙江金华·校联考模拟预测）
1．对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，数列满足，则（ ）
A．等差数列是“线性数列” B．等比数列是“线性数列”
C．若是等差数列，则是“线性数列” D．若是等比数列，则是“线性数列”
【举一反三】
（23-24高三上·湖北襄阳·期末）
2．数列中，，若恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．15
（23-24高三上·安徽池州·期末）
3．已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为递增数列
C． D．
递推关系改为
【变换角度】将递推关系改为前n项和与通项关系如下题：
4．已知数列的前项和为，则（ ）
A．若，则数列为等比数列
B．若，则
C．若，且，则
D．若，，，，，则数列为等差数列的必要条件为
【举一反三】
（23-24高三上·广东深圳·期末）
5．已知数列的首项不为零，前项和为，若，则下列结论正确的为（ ）
A．不可能为常数列
B．
C．当时，为等差数列
D．若为等比数列，则的公比唯一
（23-24高三上·重庆·阶段练习）
6．已知正项数列的前n项积为，且，则使得的最小正整数n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
单数列改为双数列
【变换角度】将单数列递推关系改为双数列递推关系，如下题：
（2022潍坊二模）
7．已知数列，，有，，，则（ ）
A．若存在，，则
B．若，则存在大于2的正整数n，使得
C．若，，且，则
D．若，，则关于的方程的所有实数根可构成一个等差数列
【举一反三】
（23-24高二上·江苏南京·期末）
8．若数列满足，且，则下列结论成立的是（ ）
A． B．，满足
C．，满足 D．，使得成立
（2024·山东烟台·一模）
9．给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（ ）
A．存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．对任意，总存在，使得
D．对任意，总存在，使得
（23-24高三下·浙江·开学考试）
10．已知数列的前项和为，则下列结论不正确的是（ ）
A．是递增数列 B．是递增数列
C． D．
（23-24高二上·安徽芜湖·期末）
11．已知数列满足：，则下列命题正确的是（ ）
A．若数列为常数列，则 B．存在，使数列为递减数列
C．任意，都有为递减数列 D．任意，都有
（23-24高二下·江西·阶段练习）
12．已知数列共有项，，且，记这样的数列共有个，则（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高三下·广东·阶段练习）
13．已知数列的前项和为，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是等比数列
C．是递增数列 D．
（23-24高三上·广西柳州·阶段练习）
14．已知是等差数列的前项和，满足，设，数列的前项和为，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．使得成立的最大的值为4045
C．
D．当时，取得最小值
（23-24高三下·重庆·阶段练习）
15．设数列满足（且），是数列的前项和，且，，数列的前项和为，且.则下列结论正确的有（ ）
A． B．数列的前2024项和为
C．当时，取得最小值 D．当时，取得最小值
16．已知正项数列满足，则（　　）
A．为递增数列
B．
C．若，则存在大于1的正整数，使得
D．已知，则存在，使得
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．ABD
【分析】
对A,B根据“线性数列”的定义进行判断，C，找特例，代入即可判断；D，结合定义，设出等比数列，代入求的，再结合线性数列的定义，看是否存在实数即可.
【详解】对A，数列为等差数列，则，即，
满足“线性数列”的定义，A正确；
对B，数列为等比数列，则，即，
满足“线性数列”的定义，B正确；
对C，是等差数列，设，
则，若是“线性数列”，
则，则应有，
故不是“线性数列”，C错误；
对D，是等比数列，设首项为，公比为，
若时，，则，满足“线性数列”的定义；
若时，由，得，
，
累加的，
则，
经验证当时，满足，则，
若是“线性数列”，则存在实数，使得成立，
则，
，
，
则，则，
则是“线性数列”，D正确.
故选：ABD
2．A
【分析】
先将条件变形得到，进而构造常数数列求出的通项公式，代入，通过参变分离，求最值即可.
【详解】由已知，
两边同时除以可得
，
即，
即，
则数列为常数数列，
所以，
所以，
又恒成立，
即恒成立，
因为，，
所以，
所以
又
所以要恒成立，有，所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过递推式两边同时除以后，构造常数数列，可快速求出的通项公式，然后通过参变分离将恒成立问题转化为最值问题.
3．ACD
【分析】
利用作差法由数列单调性可求得数列为递增数列，可得A正确；再根据以及复合函数单调性可判断B，化简整理可判断C正确，由关系式可得，再利用累加法可判断D正确.
【详解】
因为，即，
所以数列为递增数列，可得，选项A正确；
因为数列为递增数列且，则为递减数列，选项B错误；
因为，可得，
两边平方整理得，选项C正确．
因为，整理得，
两边平方得，即，
可得，
累加可得，
即，所以，故D正确．
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：再判断D选项时，关键要对表达式整理变形后进行合理放缩可得，即，再利用累加法即可作出判断.
4．BC
【分析】
对于A,D两项，主要是通过举反例或举例子的方法验证结论，而B,C两项是将递推式中的和互相转化，再构造等差或等比数列进行求解通项或前项和.
【详解】对于A选项，若则满足，但不是等比数列，故A项错误；
对于B选项，由，得，则，即，
.当时，，即，解得，，
，∴数列是以为首项，2为公比的等比数列，即，
，故B项正确；
对于C选项，由，得，，
即，.，，，
即，∴数列是以2为公差的等差数列.当时，，解得或（舍去），
，故C项正确；
对于D选项，若，则满足数列是等差数列，此时对于，，，恒成立，
从而不是数列为等差数列的必要条件，故D项错误.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：已知数列中已知前项和与通项的递推式时常用的方法：
（1）互相转化法：根据题意将和 互相转化，构造等差或等比数列求解；
（2）反例验证法；对于难以正面处理的数列特征判断题，常可以通过举反例说明不成立.
5．ABD
【分析】假设为常数列，推出矛盾，故选项A错误；选项B，通过当时进行验证即可；通过对条件进行变形得到①，当时，化简得或，故选项C错误；选项D，当为等比数列时，由①得，分别讨论，，时，即可做出判断.
【详解】对于选项A，若为常数列，则，且，
所以，即
由，所以，显然为常数，则为常数，矛盾，
所以不可能为常数列，故选项A正确；
对于选项B，当时，，即，
所以，所以，故选项B正确；
对于选项C，因为，所以，所以，
所以，整理得①，
当时，由①得，所以，
所以，或，所以不一定为等差数列，故选项C错误；
对于选项D，当为等比数列时，，设的公比为，则，
由①得，整理得②，
（i）当时，②显然不成立；
（ii）当时，由②得；
（iii）当时，由②得，因为是常数，所以为常数列，所以，与矛盾，
故若为等比数列，则的公比，即的公比唯一，故选项D正确，
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题条件中给出的是数列的通项与前项和满足的关系式，二者的关系是解决题目的关键.
6．C
【分析】由递推关系可得，取对数并利用累乘法可求得的通项公式，再求出，利用等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】由题，，又，
，，两式相除可得，
上式两边取对数，可得，即，，
，
化简得，解得，
又，即，
所以的通项公式为，
，
要使，即，解得，
且，所以满足题意的最小正整数的值为6.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题要由递推关系求出通项公式，再根据前项积求出.
7．ACD
【分析】根据题意，证明得到时，且，再逐个选项进行计算和证明，逐个选项判断即可求解.
【详解】因为，，，，所以，，即，所以，，必有，得到；
对于A，若存在，取，有，则，所以，必有，则有，同理，若，由可得故A正确；对于B，若，则，，又因为，必有，得到，所以当时，因为，必有，故B错；
对于C，若，，且，则，则，又，所以，，根据递推公式，可得，；利用累加法，，整理得，
又因为，必有，得到，所以，
，所以，
，所以，C正确；
对于D，若，，，得到，所以，，则关于的方程可以化为，
，化简得，
，
设，可得，
化简得，，
所以，或(舍去)，
，得，写成数列形式，即所有实数根可构成一个等差数列，其通项公式为：，故D正确；
故选：ACD
8．C
【分析】
由，可得，化简得，即有、，可得、，由、时可得、、、，即可逐项研究判断.
【详解】由，故，
即，
即有，，
由，有，
即，化简得，
有，有，
即，化简得，故B错误；
当时， ，由，故，，
当时，，即，故，，
故A错误；
由，，且，，，，
故当时，恒成立，故D错误；
，
又，有，
故，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，
故，故C正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键是借助，得到，即可得，，从而得到，.
9．BC
【分析】
由已知求出及范围判断AB；利用累加法结合错位相减法求和求出及范围判断C；求出及的范围判断D.
【详解】对于A，由，得，显然有最小值4，无最大值，
因此不存在，使得恒成立，A错误；
对于B，由选项A知，，则，
显然当时，恒成立，B正确；
对于C，由，得，
当时，
即，
于是，
两式相减得，
因此，显然满足上式，则，由，
得数列是递增数列，有最小值1，无最大值，
从而对任意，总存在，使得，C正确；
对于D，，由选项C得，
显然数列是递减数列，，因此对任意，不存在，使得成立，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
10．C
【分析】
利用数列的递推式与放缩法，结合基本不等式，等比数列的求和公式与错位相减法，逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】对于A，由题意易得，
由，得，故A正确；
对于C，由选项A得，所以，
则，故C错误；
对于B，由，得也是递增数列，
所以，即，故B正确；
对于D，由选项AC得，
累加得，
令，则，
两式相减，得
，
则，所以，故D正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握数列的放缩法与错位相减法，从而得解.
11．D
【分析】
解方程判断A,利用单调性结合数学归纳法判断BD,举反例判断C.
【详解】对A:若数列为常数列，则，解得或，故A错误；
对B:易得，若为递减数列，则，解得或且，故不存在使得递减数列，故B错误；
对C,令，则，故不是递减数列，故C错误；
对D,用数学归纳法证明
当显然成立，
假设当，
则时，，故当时成立,
由选项B知，对任意 则数列为递减数列，故故D正确
故选：D
【点睛】利用递推关系结合数学归纳法证明，是本题关键.
12．ABD
【分析】
根据题目条件，得到或1，通过特殊化列举分析，理解数列，再对每个选项逐一判断即可.
【详解】由题意可知，，则或1，
则当时，数列为0，1，故只有1个，
当时，数列为0，1，2或0，2，故有2个，
当时，数列为0，1，2，3或0，2，3或0，1，3，故有3个，
同理可得：
，故A正确；
当，数列可以看成时再增加一项2，或时再增加一项1，
因此，故B正确；
因为，
相加可得：，故C错误；
又因为
，
可得，故D正确.
故选：ABD.
13．AD
【分析】
根据数列递推式，可求出，判断A；计算，根据等比数列定义判断B；根据数列递推式可求得，即可求出数列的通项公式，即可判断C，D.
【详解】
对于A，由题意知，，，
则，故，
，，A正确；
对于B，由于，故不可能为等比数列，B错误；
对于C，D，由于，
故，
即，而，
则是以为首项，2为公比的等比数列，则，
，不适合，
故，而，故不是递增数列，C错误，D正确，
故选：AD
【点睛】
易错点点睛：本题综合考查了利用数列递推式研究数列的性质问题，易错点在于利用数列递推式求解数列的通项公式时，很容易忽略验证的情况.
14．ACD
【分析】
直接利用等差数列的下角标性质及求和公式，裂项相消法，判断ABCD的正误．
【详解】对于A： ，
且，由等差数列性质，，公差，A正确；
对于B，，
所以成立的最大的值为4046，B错误；
对于C：由等差数列性质 ，
且，
故，
则，即，C正确；
对于D，，则数列，
所以．
由于，可得要使取得最小值，需取得最小值，
需先满足，所以或，
由C选项分析知：，
且，故取最小时，即，
此时最小，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：利用等差数列下角标性质得到正负分界是解决此题的关键.
15．BCD
【分析】
根据等差数列的定义以及前项和的应用，结合裂项相消法与二次函数的单调性进行运算对各个选项判断即可.
【详解】
可化为，
易知为等差数列，设其公差为，则也为等差数列，结合等差数列公式，易知公差为，
由，得，则，，A错；
，则，
故2024项和为，B对；
，
当时，，当时，，
易知时，单调递增，且，
，C对；
当时，单调递增，且，，当时，，
所以或时，，
当时，且，，，D对，
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：利用裂项相消法对B选项进行化简以及利用二次函数的单调性讨论数列的最值是解题关键，本题主要考查了等差数列的定义，二次函数讨论单调性求最值以及数列前项和的应用，属于较难题.
16．AB
【分析】
由已知可得，利用单调数列定义判断A；放缩结合累乘法计算判断B；求出的范围并结合（1）判断C；取倒数并借助裂项相消法分析判断D.
【详解】数列中，，由，得，
对于A，，因此为递增数列，A正确；
对于B，，则，因此，B正确；
对于C，，由，得，有，
显然，于是，由选项A知，，
因此不存在大于1的正整数，使得，C错误；
对于D，，则，
即，于是，
因此，，则不存在，使得，D错误.
故选：AB
【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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