资源简介

压轴小题1 由直线与圆位置关系求参数
【浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期开学适应性考试】在平面直角坐标系中，圆的方程为，且圆与轴交于，两点，设直线的方程为，直线与圆相交于，两点，直线与直线相交于点，直线、直线、直线的斜率分别为，，，则（ ）
A. B. C. D.
法一：联立直线和圆的方程得出求出A，B，M的坐标，借助，得出，再由得出点P坐标，进而由斜率公式得出，，的关系式.
法二：联立，得出点A坐标，进而代入圆的方程得出是关于的二次方程的两根，由韦达定理得出，再由得出点P坐标，进而由斜率公式得出，，的关系式.
法一：如图，由题意得：，与圆：联立，
消整理得，，
，同理可得
，，即
，，设，
，，即，
.
法二：解：由已知，不妨设点，则直线，直线.
由得即点
由点在圆上得
即.①
同理可得，即.②
由①②知，是关于的二次方程的两根，
（显然，否则若，则.
又是圆的直径，∴的交点位于圆上.这与题意不相符）.
.
由得，
，即点
，选A
（22-23高三上·河南·期末）
1．已知圆与过原点的直线相交于A，B两点，点为x轴上一点，记直线的斜率分别为，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
2．已知圆，若不过原点的直线与圆交于、两点，且满足直线、、的斜率依次成等比数列，则直线的斜率为（ ）
A．或 B．或
C． D．
法一：利用参数方程设A，B坐标，再由化简得出，即，再由得出点P坐标，进而由斜率公式得出，，的关系式.
法二：利用参数方程设A，B坐标，再由得出点共线于直线，且均位于圆上，联立由韦达定理得出，再由得出点P坐标，进而由斜率公式得出，，的关系式.
法三：利用参数方程设A，B坐标，再由化简得出，结合三角恒变换得出，再由得出点P坐标，进而由斜率公式得出，，的关系式.
法一：解：依题意，不妨设点，则
即.
又，．
，．
，得，
，即点，
，选Ａ
法二：解：依题意.不妨设点，则
则，
∴点共线于直线，
且均位于圆上.
记.则
由得，即，
， .
又，，
.
由得，
，即点
，选A
法三：解：依题意.不妨设点，则
其中
即
，或.
又的终边不相同，∴，，，
又
又得，
即点，
，选A
（2022·浙江·模拟预测）
3．已知与轴交于，两点（为坐标原点），过点的直线交于另一点，与轴交于点，且，过点且斜率大于零的直线与相切，则直线的方程为 ；直线的方程为 ．
4．已知圆，过点的直线与圆在轴上方交于，两点，且，则直线的斜率为 ．
由为点关于圆的极线，得出，再由得出点P坐标，并代入得出.
由题意圆，
连接，相交于点，可知即为点关于圆的极线.
即
即，从而
又解得①②
① ②代入*即可得.
（福建省漳州市部分学校2024届高三下学期普通高考模拟测试数学试题）
5．过点作圆：的两条切线，切点分别为A，，若直线与圆：相切，则 ．
极端化，设直线与圆相切于点，此时点、、三点重合，由锐角三角函数定理得出，再由结合半角公式得出，进而由得出.
解：设直线与圆相切于点，此时点、、三点重合.如图：
则，在中可得
为等腰三角形，
而
∵.∴
（2022·全国·模拟预测）
6．已知斜率存在的直线l与圆C：相交于P，Q两点，点A为圆C与y轴正半轴的交点，记直线AP，AQ的斜率分别为，，当时，直线l恒过点（ ）
A． B．
C． D．
（2023·浙江·二模）
7．已知是圆上一点，是圆的直径，弦的中点为.若点在第一象限，直线、的斜率之和为0，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
（2024·宁夏银川·一模）
8．斜率为k的直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点，则 .
（23-24高二上·安徽亳州·期末）
9．已知点，圆的半径为1，圆心是直线和直线的交点.若过点的直线与圆有公共点，则直线斜率的取值范围为 ．
（22-23高二上·江苏连云港·期中）
10．圆的一条切线l，与抛物线相交于A，B两点，与x轴相交于点M．若，则切线l的斜率 ．
（23-24高二上·吉林·期末）
11．设O为坐标原点，P是圆上任意一点，，M是线段PA上的点，且，，则直线BM的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】
先把直线与圆联立求出两根之和与两根之积,再把斜率和转化为用表示,计算即可求解.
【详解】设，，因为直线的方程为，
代入圆C的方程，得，
所以，.所以
.
因为，所以，解得.
故选:.
2．A
【分析】
设直线的方程为，设点、，将直线的方程与圆的方程联立，利用韦达定理结合斜率公式可求得的值.
【详解】
由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
设点、，联立可得，
由韦达定理可得，，
，
所以，，解得.
故选：A.
3．
【分析】（1）依题意可知B为中点，设，则可得，根据在轴上，可解得，进而求得点坐标，从而求得（2）利用直线与圆相切，可求得的斜率，即可求解
【详解】依题意，设，（）
因为，所以B为中点，所以，
又在轴上，所以，所以（舍）或，
所以，则，故直线，
，设：（）即
则圆心到的距离
故直线．
故答案为：；
4．
【解析】由题意设出直线的参数方程为，代入圆的方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合，得到，与平方关系联立求得，的值，即可求得直线的斜率．
【详解】解：设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为，
代入，得，
设，对应的参数分别为，，则，，
由，得，，，
，
整理得：，
由题可知，，则，得，
联立，解得，则，
即直线的斜率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查直线参数方程的用法，考查计算能力，是中档题．
5．81
【分析】
由题意可知点在以为直径的圆上，结合两圆相交可得直线的方程为，再根据直线与圆相切列式求解.
【详解】圆：的圆心为，半径；
圆：的圆心为，半径；
由题意可知：，可知点在以为直径的圆上，
以为直径的圆为，
整理得，结合圆：，
两圆方程作差，可得直线的方程为，即，
若直线与圆：相切，
则，整理得.
故答案为：81.
6．A
【分析】
根据题意设直线l的方程为，联立与圆的方程，结合韦达定理，根据，列出方程，即可得到定点坐标.
【详解】
设直线l的方程为，，
联立直线与圆的方程可得，消去可得
结合韦达定理可得
由题知，由，得，
整理得，
所以，
化简得，所以直线l的方程为，即，
由，得，故直线l恒过点，
故选:A．
7．C
【分析】
由题可得圆的方程，设直线的斜率为，则直线的方程为，代入圆的方程可得的坐标，从而可得的坐标，于是根据斜率关系可解得的值，由于点在第一象限，对的值进行取舍，即可得所求.
【详解】已知是圆上一点，所以
设直线的斜率为，则直线的方程为，所以，
则，恒成立，所以
由于，所以，则，由于是圆的直径，
所以，则弦的中点为坐标为
因为直线、的斜率之和为0，所以，整理得
解得或，又点在第一象限，所以，故，即直线的斜率是.
故选：C.
8．
【分析】设出坐标，根据在抛物线上，坐标满足方程，两式相减可得，继而利用,两直线斜率相乘等于1建立方程解出即可.
【详解】设，
则又
两式相减得，
则.
设圆心为，则，
因为直线l与圆相切，所以，
解得，代入得
,
故答案为：.
9．
【分析】
由题意求出圆的标准方程，设出过点的直线方程，由圆心到直线的距离小于等于半径即可求解.
【详解】
由题得圆心在直线和直线上.则联立，解得，
即圆心的坐标为, 故圆的方程为，
设过点的直线的方程为，即，当直线与圆切于点时直线的斜率最大，当直线与圆切于点时直线的斜率最小，
由直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足，
解得，所以直线斜率的取值范围为，
故答案为：.
10．
【分析】
设，根据，得到关系，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，即可得到的关系，然后再根据直线与圆相切，列出方程即可求得结果.
【详解】设，显然直线的斜率存在且不为0
则直线方程为
因为
因为，则，即
联立消去，化简可得
由韦达定理可得
且，所以
所以
即直线方程为
且直线与圆相切，则
令，则，解得或（舍）
即
故答案为:
11．C
【分析】
令，，根据及向量线性关系的坐标表示得，进而有轨迹方程为，再判断直线BM的斜率最大，直线与圆相切且，即可求最大斜率.
【详解】令，，又，则，
所以，可得，
故轨迹方程为，即圆心为，半径为的圆，
令直线，要使直线BM的斜率最大，只需直线与圆相切且，
所以最大斜率.
故选：C
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑